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2019年湖北省荆门市中考数学试卷+答案+解析
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这是一份2019年湖北省荆门市中考数学试卷+答案+解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019年湖北省荆门市中考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的
1．（3分）（2019•荆门）﹣的倒数的平方是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
2．（3分）（2019•荆门）已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（ ）
A．3.1536×106 B．3.1536×107
C．31.536×106 D．0.31536×108
3．（3分）（2019•荆门）已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
4．（3分）（2019•荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
5．（3分）（2019•荆门）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（3分）（2019•荆门）不等式组的解集为（ ）
A．﹣＜x＜0 B．﹣＜x≤0 C．﹣≤x＜0 D．﹣≤x≤0
7．（3分）（2019•荆门）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•荆门）欣欣服装店某天用相同的价格a（a＞0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（ ）
A．盈利 B．亏损
C．不盈不亏 D．与售价a有关
9．（3分）（2019•荆门）如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（ ）
A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0
10．（3分）（2019•荆门）如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐标是
（ ）
A．（，﹣1） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，0）
11．（3分）（2019•荆门）下列运算不正确的是（ ）
A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1）
B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2
C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3
D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3
12．（3分）（2019•荆门）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（ ）
A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13．（3分）（2019•荆门）计算+|sin30°﹣π0|+＝ ．
14．（3分）（2019•荆门）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 ．
15．（3分）（2019•荆门）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为 ．
16．（3分）（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为 ．
17．（3分）（2019•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：
①abc＞0，
②3a+c＜0，
③a（m﹣1）+2b＞0，
④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形．
其中正确结论的序号为 ．
三、解答题：共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（8分）（2019•荆门）先化简，再求值：（）2•﹣÷，其中a＝，b＝．
19．（9分）（2019•荆门）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求证：BD⊥BC．
20．（10分）（2019•荆门）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据．
（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；
（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；
（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？
21．（10分）（2019•荆门）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．
（1）求证：＝2R；
（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．
22．（10分）（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
23．（10分）（2019•荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．
（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；
（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）
（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．
24．（12分）（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；
（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）
2019年湖北省荆门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的
1．（3分）（2019•荆门）﹣的倒数的平方是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
【考点】算术平方根；实数的性质．菁优网版权所有
【分析】根据倒数，平方的定义以及二次根式的性质化简即可．
【解答】解：﹣的倒数的平方为：．
故选：B．
2．（3分）（2019•荆门）已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（ ）
A．3.1536×106 B．3.1536×107
C．31.536×106 D．0.31536×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将31536000用科学记数法表示为3.1536×107．
故选：B．
3．（3分）（2019•荆门）已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【考点】97：二元一次方程组的解；98：解二元一次方程组．菁优网版权所有
【分析】首先解方程组，求出x、y的值，然后代入所求代数式即可．
【解答】解：，
①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，
把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，
∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．
故选：A．
4．（3分）（2019•荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角．菁优网版权所有
【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠2＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，
故选：C．
5．（3分）（2019•荆门）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程﹣x2+4x﹣4＝0得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4），
当y＝0时，﹣x2+4x﹣4＝0，解得x1＝x2＝2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选：C．
6．（3分）（2019•荆门）不等式组的解集为（ ）
A．﹣＜x＜0 B．﹣＜x≤0 C．﹣≤x＜0 D．﹣≤x≤0
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x≥﹣，
解②得x＜0，
则不等式组的解集为﹣≤x＜0．
故选：C．
7．（3分）（2019•荆门）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】根的判别式；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的有19种，
∴方程x2+ax+b＝0有解的概率是，
故选：D．
8．（3分）（2019•荆门）欣欣服装店某天用相同的价格a（a＞0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（ ）
A．盈利 B．亏损
C．不盈不亏 D．与售价a有关
【考点】一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x（1+20%）＝a，设第二件衣服的进价为y元，依题意得：y（1﹣20%）＝a，得出x（1+20%）＝y（1﹣20%），整理得：3x＝2y，则两件衣服总的盈亏就可求出．
【解答】解：设第一件衣服的进价为x元，
依题意得：x（1+20%）＝a，
设第二件衣服的进价为y元，
依题意得：y（1﹣20%）＝a，
∴x（1+20%）＝y（1﹣20%），
整理得：3x＝2y，
该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x﹣0.2y＝0.2x﹣0.3x＝﹣0.1x，
即赔了0.1x元，
故选：B．
9．（3分）（2019•荆门）如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（ ）
A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0
【考点】一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】结合题意，分k＝0和k＞0两种情况讨论，即可求解；
【解答】解：∵y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，
当k＝0，b＜0时成立；
当k＞0，b≤0时成立；
综上所述，k≥0，b≤0；
故选：A．
10．（3分）（2019•荆门）如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐标是
（ ）
A．（，﹣1） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，0）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝1，再利用旋转的性质得到OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，然后利用第四象限点的坐标特征写出点B′的坐标．
【解答】解：如图，
在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，
∴BC＝OC＝×＝1，
∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，
∴OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，
∴点B′的坐标为（，﹣1）．
故选：A．
11．（3分）（2019•荆门）下列运算不正确的是（ ）
A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1）
B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2
C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3
D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式；因式分解﹣分组分解法．菁优网版权所有
【分析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．
【解答】解：xy+x﹣y﹣1＝x（y+1）﹣（y+1）＝（x﹣1）（y+1），A正确，不符合题意；
x2+y2+z2+xy+yz+zx＝[（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B错误，符合题意；
（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3，C正确，不符合题意；
（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，D正确，不符合题意；
故选：B．
12．（3分）（2019•荆门）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（ ）
A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定
【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【分析】连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝DB．
【解答】解：连接BI，如图，
∵△ABC内心为I，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，
即∠4＝∠DBI，
∴DI＝DB．
故选：A．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13．（3分）（2019•荆门）计算+|sin30°﹣π0|+＝ 1﹣ ．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣+1﹣﹣
＝1﹣．
故答案为：1﹣．
14．（3分）（2019•荆门）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 1 ．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
故答案为：1．
15．（3分）（2019•荆门）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点N在双曲线上，而它的纵横坐标都不知道，因此可以用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值，再进行取舍即可．
【解答】解：过点A、M分别作AC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°
∵又OM＝2MA，
∴OM＝2，MA＝1，
在Rt△MOD中，
OD＝OM＝1，MD＝，
∴M（1，）；
∴反比例函数的关系式为：y＝
在Rt△MOD中，
OC＝OA＝，AC＝，
∴A（，），
设直线AB的关系式为y＝kx+b，把A（，），B（3，0）代入得：
解得：k＝﹣，b＝，
∴y＝x+；
由题意得： 解得：x＝，
∵x＞，
∴x＝，
故点N的横坐标为：
16．（3分）（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为 +﹣ ．
【考点】等边三角形的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【分析】过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM＝BC＝×2＝，求得EN＝AM＝，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，
∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AM＝BC＝×2＝，
∵AD＝AE＝1，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴EN＝AM＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，
故答案为：+﹣．
17．（3分）（2019•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：
①abc＞0，
②3a+c＜0，
③a（m﹣1）+2b＞0，
④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形．
其中正确结论的序号为 ②③ ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】由已知可以确定a＜0，b＞0，c＝b﹣a＞0；
①abc＜0；
②当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0；
③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0；
④a＝﹣1时，P（，b+1+），则△PAB为等腰直角三角形，b+1+＝+1，求出k＝﹣2不合题意；
【解答】解：将A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式y＝ax2+bx+c，
∴对称轴x＝，
∴﹣＝m﹣1，
∵1＜m＜3，
∴ab＜0，
∵n＜0，
∴a＜0，
∴b＞0，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＞0
①abc＜0；错误；
②当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正确；
③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正确；
④a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c，
∴P（，b+1+），
若△PAB为直角三角形，则△PAB为等腰直角三角形，
∴AP的直线解析式的k＝1，
∴b+1+＝+1，
∴b＝﹣2，
∵b＞0，
∴不存在点P使△PAB为直角三角形．
④错误；
故答案为②③；
三、解答题：共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（8分）（2019•荆门）先化简，再求值：（）2•﹣÷，其中a＝，b＝．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝，b＝时，
原式＝．
19．（9分）（2019•荆门）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求证：BD⊥BC．
【考点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，设BE＝x，由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝，从而求出BD的长，在△BCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直．
【解答】解：（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：
设BE＝x，CE＝h
在Rt△CEB中：x2+h2＝9①
在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②
联立①②解得：x＝，h＝
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•h＝12；
（2）作DF⊥AB，垂足为F
∴∠DFA＝∠CEB＝90°
∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAF＝∠CBE
又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC
∴△ADF≌△BCE（AAS）
∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝
在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16
∴BD＝4
∵BC＝3，DC＝5
∴CD2＝DB2+BC2
∴BD⊥BC．
20．（10分）（2019•荆门）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据．
（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；
（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；
（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？
【考点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数；众数．菁优网版权所有
【分析】（1）设阅读5册书的人数为x，由统计中的信息列式计算即可；
（2）该校1200名学生数×课外阅读5册书的学生人数占抽查了学生的百分比即可得到结论；
（3）设补查了y人，根据题意列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设阅读5册书的人数为x，由统计图可知：＝30%，
∴x＝14，
∴条形图中丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5；
（2）该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数为1200×＝420（人），
答：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数是420人；
（3）设补查了y人，
根据题意得，12+6+y＜8+14，
∴y＜4，
∴最多补查了3人．
21．（10分）（2019•荆门）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．
（1）求证：＝2R；
（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．
【考点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，于是得到∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）由＝2R，同理可得：＝2R，于是得到2R＝＝2，即可得到BC＝2R•sinA＝2sin45°＝，如图2，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，
则∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝，
∴＝2R；
（2）∵＝2R，
同理可得：＝2R，
∴2R＝＝2，
∴BC＝2R•sinA＝2sin45°＝，
如图2，过C作CE⊥AB于E，
∴BE＝BC•cosB＝cos60°＝，AE＝AC•cos45°＝，
∴AB＝AE+BE＝，
∵AB＝AR•sinC，
∴sinC＝＝．
22．（10分）（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
【考点】相似三角形的应用．菁优网版权所有
【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解答】
解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，
连接GF并延长交OE于点H，
∵GF∥AC，
∴△MAC∽△MFG，
∴，
即：，
∴，
∴OE＝32，
答：楼的高度OE为32米．
23．（10分）（2019•荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．
（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；
（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）
（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n与第x天之间的函数关系式，
（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式，
（3）再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：
（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图知可知
，解得
∴n＝2x+10
同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44
∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝
（2）∵y＝mn﹣80
∴y＝
整理得，y＝
（3）当1≤x≤10时，
∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝＝＝﹣5
∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大
∴x＝10时，y取最大值，则y10＝1270
当10＜x＜15时
∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是x＝﹣＝＝≈13.2＜13.5
∴x在x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2
当15≤x≤30时
∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为x＝＝＞30
∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小
∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1300
综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元
24．（12分）（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；
（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，故可设其顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1，再把点C（0，3）代入即求得a的值，进而得到抛物线解析式．
（2）把抛物线解析式与直线y＝x﹣1联立方程组，解方程组求得点A、B坐标，画出抛物线和直线草图．由图可知，△QAB、△MAB、△NAB以AB为公共底时，高相等才有面积相等．假设M、N在直线AB上方的抛物线上，只要MN∥AB，根据平行线间距离处处相等，则一定有S△MAB＝S△NAB＝S；当点Q在直线AB下方且只有唯一的点Q满足S△QAB＝S，则Q到AB距离取最大值．过点Q分别作y轴平行线QC，作直线AB垂线QD，易证△CDQ为等腰直角三角形，故CQ取得最大值时，DQ也最大．设点Q横坐标为t，用t表示CQ的长并配方求得最大值，进而求得DQ最大值，再用S＝S△QAB＝AB•DQ求得S的值．
（3）由∠APB＝90°，根据勾股定理有AP2+BP2＝AB2，设点P横坐标为p，根据两点间距离公式用p表示AP2、BP2，列得关于p的一元四次方程．化简并对式子进行因式分解，由1＜p＜4可进行两次约公因式达到降次效果，最终得到关于p的一元二次方程，求得的解有一个满足p的范围，即存在满足的点P．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1）
∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1
∵抛物线经过点C（0，3）
∴4a﹣1＝3
解得：a＝1
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3
（2） 解得：，
∴A（1，0），B（4，3）
∴AB＝
设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1）
∴OA＝OE＝1
∴∠AEO＝45°
∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S
∴点Q、M、N到直线AB的距离相等
如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方
∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S
要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大
过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D
∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°
∴△CDQ是等腰直角三角形
∴DQ＝CQ
设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1）
∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+
∴t＝时，CQ最大值为
∴DQ最大值为
∴S＝S△QAB＝AB•DQ＝
（3）存在点P满足∠APB＝90°．
∵∠APB＝90°，AB＝3
∴AP2+BP2＝AB2
设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）
∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16
∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3）2
整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0
p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0
p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0
（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0
∵p＜4
∴p﹣4≠0
∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0
展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0
（p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0
（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0
（p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0
∵p＞1
∴p﹣1≠0
∴p2+p+1﹣4p＝0
解得：p1＝，p2＝（舍去）
∴点P横坐标为时，满足∠APB＝90°．
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日期：2019/7/10 9:53:45；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
2019年湖北省荆门市中考数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的
1．（3分）（2019•荆门）﹣的倒数的平方是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
2．（3分）（2019•荆门）已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（ ）
A．3.1536×106 B．3.1536×107
C．31.536×106 D．0.31536×108
3．（3分）（2019•荆门）已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
4．（3分）（2019•荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
5．（3分）（2019•荆门）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（3分）（2019•荆门）不等式组的解集为（ ）
A．﹣＜x＜0 B．﹣＜x≤0 C．﹣≤x＜0 D．﹣≤x≤0
7．（3分）（2019•荆门）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）（2019•荆门）欣欣服装店某天用相同的价格a（a＞0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（ ）
A．盈利 B．亏损
C．不盈不亏 D．与售价a有关
9．（3分）（2019•荆门）如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（ ）
A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0
10．（3分）（2019•荆门）如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐标是
（ ）
A．（，﹣1） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，0）
11．（3分）（2019•荆门）下列运算不正确的是（ ）
A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1）
B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2
C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3
D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3
12．（3分）（2019•荆门）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（ ）
A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13．（3分）（2019•荆门）计算+|sin30°﹣π0|+＝ ．
14．（3分）（2019•荆门）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 ．
15．（3分）（2019•荆门）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为 ．
16．（3分）（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为 ．
17．（3分）（2019•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：
①abc＞0，
②3a+c＜0，
③a（m﹣1）+2b＞0，
④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形．
其中正确结论的序号为 ．
三、解答题：共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（8分）（2019•荆门）先化简，再求值：（）2•﹣÷，其中a＝，b＝．
19．（9分）（2019•荆门）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求证：BD⊥BC．
20．（10分）（2019•荆门）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据．
（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；
（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；
（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？
21．（10分）（2019•荆门）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．
（1）求证：＝2R；
（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．
22．（10分）（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
23．（10分）（2019•荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．
（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；
（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）
（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．
24．（12分）（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；
（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）
2019年湖北省荆门市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的
1．（3分）（2019•荆门）﹣的倒数的平方是（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣
【考点】算术平方根；实数的性质．菁优网版权所有
【分析】根据倒数，平方的定义以及二次根式的性质化简即可．
【解答】解：﹣的倒数的平方为：．
故选：B．
2．（3分）（2019•荆门）已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（ ）
A．3.1536×106 B．3.1536×107
C．31.536×106 D．0.31536×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将31536000用科学记数法表示为3.1536×107．
故选：B．
3．（3分）（2019•荆门）已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3
【考点】97：二元一次方程组的解；98：解二元一次方程组．菁优网版权所有
【分析】首先解方程组，求出x、y的值，然后代入所求代数式即可．
【解答】解：，
①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，
把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，
∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．
故选：A．
4．（3分）（2019•荆门）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是
（ ）
A．95° B．100° C．105° D．110°
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角．菁优网版权所有
【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝∠2＝45°，
由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，
故选：C．
5．（3分）（2019•荆门）抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程﹣x2+4x﹣4＝0得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4），
当y＝0时，﹣x2+4x﹣4＝0，解得x1＝x2＝2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），
所以抛物线与坐标轴有2个交点．
故选：C．
6．（3分）（2019•荆门）不等式组的解集为（ ）
A．﹣＜x＜0 B．﹣＜x≤0 C．﹣≤x＜0 D．﹣≤x≤0
【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x≥﹣，
解②得x＜0，
则不等式组的解集为﹣≤x＜0．
故选：C．
7．（3分）（2019•荆门）投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】根的判别式；列表法与树状图法．菁优网版权所有
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的有19种，
∴方程x2+ax+b＝0有解的概率是，
故选：D．
8．（3分）（2019•荆门）欣欣服装店某天用相同的价格a（a＞0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（ ）
A．盈利 B．亏损
C．不盈不亏 D．与售价a有关
【考点】一元一次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x（1+20%）＝a，设第二件衣服的进价为y元，依题意得：y（1﹣20%）＝a，得出x（1+20%）＝y（1﹣20%），整理得：3x＝2y，则两件衣服总的盈亏就可求出．
【解答】解：设第一件衣服的进价为x元，
依题意得：x（1+20%）＝a，
设第二件衣服的进价为y元，
依题意得：y（1﹣20%）＝a，
∴x（1+20%）＝y（1﹣20%），
整理得：3x＝2y，
该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x﹣0.2y＝0.2x﹣0.3x＝﹣0.1x，
即赔了0.1x元，
故选：B．
9．（3分）（2019•荆门）如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（ ）
A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0
【考点】一次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】结合题意，分k＝0和k＞0两种情况讨论，即可求解；
【解答】解：∵y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，
当k＝0，b＜0时成立；
当k＞0，b≤0时成立；
综上所述，k≥0，b≤0；
故选：A．
10．（3分）（2019•荆门）如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐标是
（ ）
A．（，﹣1） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，0）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．菁优网版权所有
【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝1，再利用旋转的性质得到OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，然后利用第四象限点的坐标特征写出点B′的坐标．
【解答】解：如图，
在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，
∴BC＝OC＝×＝1，
∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，
∴OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，
∴点B′的坐标为（，﹣1）．
故选：A．
11．（3分）（2019•荆门）下列运算不正确的是（ ）
A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1）
B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2
C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3
D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式；因式分解﹣分组分解法．菁优网版权所有
【分析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．
【解答】解：xy+x﹣y﹣1＝x（y+1）﹣（y+1）＝（x﹣1）（y+1），A正确，不符合题意；
x2+y2+z2+xy+yz+zx＝[（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B错误，符合题意；
（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3，C正确，不符合题意；
（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，D正确，不符合题意；
故选：B．
12．（3分）（2019•荆门）如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（ ）
A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定
【考点】三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．菁优网版权所有
【分析】连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝DB．
【解答】解：连接BI，如图，
∵△ABC内心为I，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，
∵∠3＝∠1，
∴∠3＝∠2，
∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，
即∠4＝∠DBI，
∴DI＝DB．
故选：A．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13．（3分）（2019•荆门）计算+|sin30°﹣π0|+＝ 1﹣ ．
【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝2﹣+1﹣﹣
＝1﹣．
故答案为：1﹣．
14．（3分）（2019•荆门）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为 1 ．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
故答案为：1．
15．（3分）（2019•荆门）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点N在双曲线上，而它的纵横坐标都不知道，因此可以用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值，再进行取舍即可．
【解答】解：过点A、M分别作AC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°
∵又OM＝2MA，
∴OM＝2，MA＝1，
在Rt△MOD中，
OD＝OM＝1，MD＝，
∴M（1，）；
∴反比例函数的关系式为：y＝
在Rt△MOD中，
OC＝OA＝，AC＝，
∴A（，），
设直线AB的关系式为y＝kx+b，把A（，），B（3，0）代入得：
解得：k＝﹣，b＝，
∴y＝x+；
由题意得： 解得：x＝，
∵x＞，
∴x＝，
故点N的横坐标为：
16．（3分）（2019•荆门）如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为 +﹣ ．
【考点】等边三角形的性质；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【分析】过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM＝BC＝×2＝，求得EN＝AM＝，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，
∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，
∴AM＝BC＝×2＝，
∵AD＝AE＝1，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴EN＝AM＝，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，
故答案为：+﹣．
17．（3分）（2019•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：
①abc＞0，
②3a+c＜0，
③a（m﹣1）+2b＞0，
④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形．
其中正确结论的序号为 ②③ ．
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】由已知可以确定a＜0，b＞0，c＝b﹣a＞0；
①abc＜0；
②当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0；
③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0；
④a＝﹣1时，P（，b+1+），则△PAB为等腰直角三角形，b+1+＝+1，求出k＝﹣2不合题意；
【解答】解：将A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式y＝ax2+bx+c，
∴对称轴x＝，
∴﹣＝m﹣1，
∵1＜m＜3，
∴ab＜0，
∵n＜0，
∴a＜0，
∴b＞0，
∵a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＞0
①abc＜0；错误；
②当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正确；
③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正确；
④a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c，
∴P（，b+1+），
若△PAB为直角三角形，则△PAB为等腰直角三角形，
∴AP的直线解析式的k＝1，
∴b+1+＝+1，
∴b＝﹣2，
∵b＞0，
∴不存在点P使△PAB为直角三角形．
④错误；
故答案为②③；
三、解答题：共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18．（8分）（2019•荆门）先化简，再求值：（）2•﹣÷，其中a＝，b＝．
【考点】分式的化简求值．菁优网版权所有
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝，b＝时，
原式＝．
19．（9分）（2019•荆门）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求证：BD⊥BC．
【考点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，设BE＝x，由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝，从而求出BD的长，在△BCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直．
【解答】解：（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：
设BE＝x，CE＝h
在Rt△CEB中：x2+h2＝9①
在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②
联立①②解得：x＝，h＝
∴平行四边形ABCD的面积＝AB•h＝12；
（2）作DF⊥AB，垂足为F
∴∠DFA＝∠CEB＝90°
∵平行四边形ABCD
∴AD＝BC，AD∥BC
∴∠DAF＝∠CBE
又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC
∴△ADF≌△BCE（AAS）
∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝
在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16
∴BD＝4
∵BC＝3，DC＝5
∴CD2＝DB2+BC2
∴BD⊥BC．
20．（10分）（2019•荆门）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据．
（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；
（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；
（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？
【考点】全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；中位数；众数．菁优网版权所有
【分析】（1）设阅读5册书的人数为x，由统计中的信息列式计算即可；
（2）该校1200名学生数×课外阅读5册书的学生人数占抽查了学生的百分比即可得到结论；
（3）设补查了y人，根据题意列不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）设阅读5册书的人数为x，由统计图可知：＝30%，
∴x＝14，
∴条形图中丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5；
（2）该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数为1200×＝420（人），
答：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数是420人；
（3）设补查了y人，
根据题意得，12+6+y＜8+14，
∴y＜4，
∴最多补查了3人．
21．（10分）（2019•荆门）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．
（1）求证：＝2R；
（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．
【考点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，于是得到∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，根据三角函数的定义即可得到结论；
（2）由＝2R，同理可得：＝2R，于是得到2R＝＝2，即可得到BC＝2R•sinA＝2sin45°＝，如图2，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，
则∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝，
∴＝2R；
（2）∵＝2R，
同理可得：＝2R，
∴2R＝＝2，
∴BC＝2R•sinA＝2sin45°＝，
如图2，过C作CE⊥AB于E，
∴BE＝BC•cosB＝cos60°＝，AE＝AC•cos45°＝，
∴AB＝AE+BE＝，
∵AB＝AR•sinC，
∴sinC＝＝．
22．（10分）（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．
【考点】相似三角形的应用．菁优网版权所有
【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．
【解答】
解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，
连接GF并延长交OE于点H，
∵GF∥AC，
∴△MAC∽△MFG，
∴，
即：，
∴，
∴OE＝32，
答：楼的高度OE为32米．
23．（10分）（2019•荆门）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：
如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．
（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；
（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）
（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．
（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n与第x天之间的函数关系式，
（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式，
（3）再依据函数的增减性求得最大利润．
【解答】解：
（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图知可知
，解得
∴n＝2x+10
同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44
∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝
（2）∵y＝mn﹣80
∴y＝
整理得，y＝
（3）当1≤x≤10时，
∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝＝＝﹣5
∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大
∴x＝10时，y取最大值，则y10＝1270
当10＜x＜15时
∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是x＝﹣＝＝≈13.2＜13.5
∴x在x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2
当15≤x≤30时
∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为x＝＝＞30
∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小
∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1300
综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元
24．（12分）（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；
（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，故可设其顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1，再把点C（0，3）代入即求得a的值，进而得到抛物线解析式．
（2）把抛物线解析式与直线y＝x﹣1联立方程组，解方程组求得点A、B坐标，画出抛物线和直线草图．由图可知，△QAB、△MAB、△NAB以AB为公共底时，高相等才有面积相等．假设M、N在直线AB上方的抛物线上，只要MN∥AB，根据平行线间距离处处相等，则一定有S△MAB＝S△NAB＝S；当点Q在直线AB下方且只有唯一的点Q满足S△QAB＝S，则Q到AB距离取最大值．过点Q分别作y轴平行线QC，作直线AB垂线QD，易证△CDQ为等腰直角三角形，故CQ取得最大值时，DQ也最大．设点Q横坐标为t，用t表示CQ的长并配方求得最大值，进而求得DQ最大值，再用S＝S△QAB＝AB•DQ求得S的值．
（3）由∠APB＝90°，根据勾股定理有AP2+BP2＝AB2，设点P横坐标为p，根据两点间距离公式用p表示AP2、BP2，列得关于p的一元四次方程．化简并对式子进行因式分解，由1＜p＜4可进行两次约公因式达到降次效果，最终得到关于p的一元二次方程，求得的解有一个满足p的范围，即存在满足的点P．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1）
∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1
∵抛物线经过点C（0，3）
∴4a﹣1＝3
解得：a＝1
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3
（2） 解得：，
∴A（1，0），B（4，3）
∴AB＝
设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1）
∴OA＝OE＝1
∴∠AEO＝45°
∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S
∴点Q、M、N到直线AB的距离相等
如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方
∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S
要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大
过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D
∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°
∴△CDQ是等腰直角三角形
∴DQ＝CQ
设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1）
∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+
∴t＝时，CQ最大值为
∴DQ最大值为
∴S＝S△QAB＝AB•DQ＝
（3）存在点P满足∠APB＝90°．
∵∠APB＝90°，AB＝3
∴AP2+BP2＝AB2
设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）
∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16
∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3）2
整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0
p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0
p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0
（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0
∵p＜4
∴p﹣4≠0
∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0
展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0
（p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0
（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0
（p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0
∵p＞1
∴p﹣1≠0
∴p2+p+1﹣4p＝0
解得：p1＝，p2＝（舍去）
∴点P横坐标为时，满足∠APB＝90°．
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日期：2019/7/10 9:53:45；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.com；学号：27755521
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