2022年湖北省荆门市中考数学试卷（Word解析版）

2022年湖北省荆门市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 如果，那么(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

2. 纳米是非常小的长度单位，，将数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，如图，据此可求得，之间的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若函数为常数的图象与轴只有一个交点，那么满足(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

5. 对于任意实数，，恒成立，则下列关系式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，一座金字塔被发现时，顶部已经淡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为的正方形，且每一个侧面与地面成角，则金字塔原来高度为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则四边形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C. 或 D. 以上都不对

9. 如图，点，为函数图象上的两点，过，分别作轴，轴，垂足分别为，，连接，，，线段交于点，且点恰好为的中点．当的面积为时，的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 抛物线为常数的对称轴为，过点和点，且有下列结论：；对任意实数都有：；；若，则其中正确结论的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 计算：______．
12. 八班一组女生的体重单位：分别是：，，，，，，则这组数据的众数为______．
13. 如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，具有性质：：：：：已知的面积为，则的面积为______．

14. 如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿正南方向以海里小时的速度航行小时后，到达位于灯塔的南偏东方向上的点处，则______小时．

15. 如图，过原点的两条直线分别为：，：，过点作轴的垂线与交于点，过点作轴的垂线与交于点，过点作轴的垂线与交于点，过点作轴的垂线与交于点，过点作轴的垂线与交于点，，依次进行下去，则点的坐标为______．

16. 如图，函数的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线为常数相交于三个不同的点，，设，则的取值范围是______．

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17. 已知，求下列各式的值：
    ；
    ．
18. 如图，已知扇形中，，半径．
    求扇形的面积及图中阴影部分的面积；
    在扇形的内部，与，都相切，且与只有一个交点，此时我们称为扇形的内切圆，试求的面积．
     

19. 如图，已知矩形中，，，将沿对折到的位置，和交于点．
    求证：≌；
    求的值用含的式子表示．

20. 为了了解学生对“新冠疫情防护知识”的应知应会程度，某校随机选取了名学生“新冠疫情防护知识”的测评成绩，数据如表：

数据表中有一个数因模糊不清用字母表示．
试确定的值及测评成绩的平均数，并补全条形图；
记测评成绩为，学校规定：时，成绩为合格；时，成绩为良好；时，成绩为优秀．求扇形统计图中和的值：
从成绩为优秀的学生中随机抽取人，求恰好人得分、人得分的概率．
 

21. 如图，为的直径，点在直径上点与，两点不重合，，点在上且满足，连接并延长到点，使．
    求证：是的切线；
    若，试求的值．

22. 已知关于的不等式组．
    当时，解此不等式组；
    若不等式组的解集中恰含三个奇数，求的取值范围．
23. 某商场销售一种进价为元个的商品，当销售价格元个满足时，其销售量万个与之间的关系式为同时销售过程中的其它开支为万元．
    求出商场销售这种商品的净利润万元与销售价格函数解析式，销售价格定为多少时净利润最大，最大净利润是多少？
    若净利润预期不低于万元，试求出销售价格的取值范围；若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？
24. 已知抛物线过点，，．
    求抛物线的解析式及顶点的坐标；
    如图，抛物线向上平移，使顶点落在轴上的点，此时的抛物线记为，过作两条互相垂直的直线与抛物线交于不同于的，两点位于的右侧，过，分别作轴的垂线交轴于点，．
    求证：∽；
    设直线的方程为，求证：为常数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
利用绝对值的意义，直接可得结论．
本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
，
，
故选：．
根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算可求解．
本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：函数为二次函数，，
，
，
函数为一次函数，
，
的值为或；
故选：．
由题意分两种情况：函数为二次函数，函数的图象与轴恰有一个交点，可得，从而解出值；函数为一次函数，此时，从而求解．
此题考查根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：恒成立，
，
故选：．
根据立方差公式，进行分解即可解答．
本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握立方差公式是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

底部是边长为的正方形，
，
，，
，
，

答：这个金字塔原来有米高．
故选：．
根据底部是边长为的正方形求出的长，再由含角的直角三角形的性质求解的长，利用勾股定理求出的长即可．
本题考查的是勾股定理，含角的直角三角形的性质，正方形的性质，理解题意是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，，
，，
，
在中，，
，
四边形的面积．
故选：．
根据，，求出，，并利用勾股定理求出，根据垂径定理求出，即可求出四边形的面积．
本题考查了垂径定理，解题的关键是熟练运用定理．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

8.【答案】 

【解析】解：抛物线上有两点，，且，
，
，或或，
故选：．
根据二次函数的性质判断即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：点为的中点，
的面积的面积，
点，为函数图象上的两点，
，
，
，
∽，
，
，
则，
．
故选：．
根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数的几何意义解答即可．
本题考查的是反比例函数系数的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线为常数的对称轴为，过点，且，
抛物线开口向下，则，故正确；
抛物线开口向下，对称轴为，
函数的最大值为，
对任意实数都有：，即，故错误；
对称轴为，．
当时的函数值大于，即，
，故正确；
对称轴为，点的对称点为，
抛物线开口向下，
若，则，故错误；
故选：．
根据抛物线为常数的对称轴为，过点且，即可判断开口向下，即可判断；根据二次函数的性质即可判断；根据抛物线的对称性即可判断；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了立方根，特殊角的三角函数值，实数的运算，零指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在这一组数据中出现了次，次数最多，
故众数是．
故答案为：．
众数是一组数据中出现次数最多的数，根据定义就可以求解．
此题考查众数的意义，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数有时不止一个．
 

13.【答案】 

【解析】解：：：，的面积为，
的面积为，
的面积为，
点为的中点，
的面积的面积，
的面积为，
故答案为：．
根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案．
本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比等于底之比是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图：

由题意得：
，，海里，
在中，海里，
海里，
在中，海里，
海里，
小时，
故答案为：
根据题意可得：，，海里，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后根据时间路程速度，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为；
同理可得：，，，，，，，，
，，
，为自然数．
，
点的坐标为，即．
故答案为：．
写根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点、、、、、、、等的坐标，根据坐标的变化即可找出变化规律“，，，为自然数”，依此规律结合即可找出点的坐标．
本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，为自然数”是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：由二次函数可知：图象开口向上，对称轴为，
当时函数有最小值为，，
由一次函数可知当时有最大值，当时，
直线为常数相交于三个不同的点，，，
，，
，
，
．
故答案为：
根据、关于对称轴对称，可知，由直线为常数相交于三个不同的点，可以求出的取值范围，进而求出的范围．
本题考查了二次函数的性质，函数的取值范围，数形结合的数学思想，关键是利用图象的特点表示出各个变量的取值范围．
 

17.【答案】解：




；
，



，
，



． 

【解析】利用完全平方公式的特征得到：，用上述关系式解答即可；
将式子用完全平方公式的特征变形后，利用整体代入的方法解答即可．
本题主要考查了求代数式的值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式的特征将所求的式子进行适当变形是解题的关键．
 

18.【答案】解：，半径，
，
，，
是等边三角形，
，
阴影部分的面积．
设与相切于点，连接，，

，，
在中，
，
，
，
的半径．
． 

【解析】根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；
先求出的半径，再利用阴影部分面积扇形的面积圆的面积进行计算．
本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径．
 

19.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
根据折叠的性质得：，，
，，
在与中，
，
≌；
解：设，则，
四边形是矩形，
，，
，
根据折叠的性质得：，
，
，
在中，
，
，
，
． 

【解析】根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，等量代换得到，，根据证明三角形全等即可；
设，则，根据矩形的性质和折叠的性质证明，在中，根据勾股定理表示出的长，根据正切的定义即可得出答案．
本题考查了锐角三角函数的定义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换折叠问题，根据矩形的性质和折叠的性质证出是解题的关键．
 

20.【答案】解：由题意可知，，
，
，
补全的条形统计图如图所示：



；
；
从个人中选个共有个结果，一个分，一个分的有种，
故概率为：． 

【解析】根据统计表中给出的数据和平均数的定义，可得的值以及平均数的值并补全条形图；
根据数据除以总数等于百分比求解；
根据简单事件的概率公式求解．
本题考查条形统计图，扇形统计图、平均数，概率，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：设的半径为，
，
，
，
，
在中，，
，
，舍去，
，
在中，，
，
，
的值为． 

【解析】根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，根据等腰三角形的性质以及对顶角相等可得，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答；
设的半径为，则，在中，利用勾股定理可求出，从而求出，然后在中，根据勾股定理可求出的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握切线的判定与性质，以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

22.【答案】解：当时，不等式组化为：，
解得：；
解不等式组得：，
不等式组的解集中恰含三个奇数，
，
解得：． 

【解析】把的值代入再求解；
先解不等式组，再根据题意列不等式求解．
本题考查了不等式的解法，正确运算是解题的关键．
 

23.【答案】解：

，
当时，最大，最大利润为；
当时，，
解得，，
净利润预期不低于万元，且，
，
随的增大而减小，
时，销售量最大． 

【解析】根据总利润单价利润销量，可得与的函数解析式，再求出时，最大，代入即可；
当时，解方程得出的值，再根据函数的增减性和开口方向得出的范围，结合与的函数关系式，从而解决问题．
本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的性质，一次函数的性质等知识，正确列出关于的函数的解析式是解题的关键．
 

24.【答案】解：将，，代入，
，
解得，
，
，
；
证明：，
，
，
轴，轴，
，
，
，
∽；
证明：由题意可知平移后的抛物线解析式为，
设，，
联立方程组，
整理得，
，，
∽，
，即，
，
或，
、与不重合，
，
为常数． 

【解析】用待定系数法求函数解析式即可；
利用一线三垂直即可证明；
先求平移后的抛物线解析式为，设，，联立方程组，整理得，由根与系数的关系可得，，再由∽，可得，整理后可求或舍．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．