2021年福建省福州市九年级上学期数学期中考试试卷含答案

这是一份2021年福建省福州市九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.以下列图形是中心对称图形的是〔  〕
A.                             B.                             C.                             D. 
2.二次函数 图象的对称轴是〔  〕
A.                                B.                                C.                                D. 
3.如图，AB为⊙O直径，∠BCD＝30°，那么∠ABD为〔  〕

A. 30°                                       B. 40°                                       C. 50°                                       D. 60°
4.抛物线y=x2-4x+5的顶点坐标是〔   〕
A. 〔-2，1〕                         B. 〔2，1〕                         C. 〔-2，-1〕                         D. 〔2，-1〕
5.如图， 是⊙O的直径， 切⊙O于点 ， 交⊙O于点 ，假设 ，那么 的度数为〔  〕

A. 40°                                       B. 50°                                       C. 60°                                       D. 70°
6.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3，0)，B(1，0)，C(－5，y1)，D(5，y2)四点，那么y1与y2的大小关系是〔     〕
A. y1>y2                                B. y1＝y2                                C. y1 7.?九章算术?是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有以下问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？〞其意思是“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？〞(   )

A. 3步                                       B. 5步                                       C. 6步                                       D. 8步
8.二次函数 的图象如下列图，以下结论中正确的选项是   

A.            B.            C. 当 时，y随x的增大而减小           D. 
9.在 中， ， ， .如下列图，将 绕点 按逆时针方向旋转 后得到 .那么图中阴影局部面积为〔   〕

A.                                     B.                                     C.                                     D. 
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是AB上一动点，以点C为旋转中心，将△ACP顺时针旋转到△BCQ的位置，那么PQ最小值为〔  〕

A.                                        B. 2                                       C.                                        D. 
二、填空题
11.将抛物线 向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线解析式是      .
12.以原点为中心，把 逆时针旋转90°得到点 ，那么点 的坐标为      .
13.如图，四个三角形拼成一个风车图形，假设 ，当风车转动90°时，点 运动路径的长度为      .

14.用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径为________.
15.如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O.假设直线 PA 与⊙O 相切于点 A，那么∠PAB＝      .

16.二次函数 的图象如下列图，对称轴为直线 ，假设关于 的一元二次方程 〔 为实数〕在 的范围内有解，那么 的取值范围是      .

三、解答题
17.如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别是 、 、 .

〔1〕以点 为旋转中心，将 顺时针转动90°，得到 ，在坐标系中画出 ；
〔2〕作出 关于点 的中心对称图形 . 
18.二次函数 的顶点坐标为 ，并经过 点，求二次函数的解析式，并在所给的坐标平面内画出这条抛物线.〔不要求列表〕

19.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，求线段AE的长.

20.：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABC，点E对应点C恰在D的延长线上，假设BC∥AE.求证：△ABD为等边三角形.

21.抛物线 与 轴有两个不同的交点.
〔1〕求 的取值范围；
〔2〕证明该抛物线一定经过某一定点 ，并求出该定点的坐标.
22.如图， 是⊙O的直径，点 在⊙O上， 平分 交⊙O于点 ，过点 作 ，垂足为 .

〔1〕求证： 与⊙O相切；
〔2〕假设 ， ，求 的长.
23.某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件.市场调查反映：如果每件的售价每涨1元〔售价每件不能高于45元〕，那么每星期少卖10件.设每件涨价x元〔x为非负整数〕，每星期的销量为y件.
〔1〕求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
〔2〕如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
24.如图，四边形 内接于⊙O， 是⊙O的直径， 是 上一点， ，连接 .

〔1〕求证： ；
〔2〕连接 ，假设 ， ，求 的长.
25.如图，二次函数 图象的顶点为 ，与 轴交于点 ，点 〔与顶点 不重合〕在该函数的图象上.

〔1〕当 时，求 的值；
〔2〕当 时，假设点 在第三象限内，结合图象，求当 时，自变量 的取值范围；
〔3〕作直线 与 轴相交于点 .当点 在 轴下方，且在线段 上时，求 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据轴对称和中心对称图形特点分别分析判断，轴对称图形沿一条轴折叠180°，被折叠两局部能完全重合，中心对称图形绕其中心点旋转180°后图形仍和原来图形重合.
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴二次函数 图象的对称轴是x= = ；
故答案为：D.
【分析】先把函数式化为二次函数的一般形式，然后根据对称轴公式“〞解答即可.
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°-∠BCD=90°-30°=60°.
故答案为：D.
【分析】由直径所对的圆周角等于90°求出∠ACB，根据同弧所对的圆周角相等结合∠BCD的度数，由∠ABD=∠ACD=90°-∠BCD即可算出答案.
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵y=x2-4x+5=〔x-2〕2+1，
∴顶点坐标为〔2，1〕，
故答案为：B.
【分析】根据y=a(x+)2+将抛物线的解析式配成顶点式即可求解.
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵AC是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴AB⊥AC.
∴∠CAB＝90°.
又∵∠C＝60°，
∴∠CBA＝30°.
∴∠DOA＝60°.
故答案为：C.
【分析】由切线的性质得出∠CAB＝90°，根据直角三角形的性质求出∠CBA，然后根据同弧圆周角和圆心角的关系，即可解答.
6.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵抛物线过A〔﹣3，0〕、B〔1，0〕两点，∴抛物线的对称轴为x= =﹣1．
∵a＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，比较可知C点离对称轴远，对应的纵坐标值小，即y1＞y2 ．
故答案为：A．

【分析】A、B两点皆为x轴上的两点，根据二次函数图像的轴对称性可得抛物线对称轴为x=-1，再根据抛物线开口向下的图像性质，可得y1与y2的大小关系。
7.【答案】 C
【解析】【解答】根据勾股定理得：斜边为
那么该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径 (步)，即直径为6步，
故答案为：C
【分析】用勾股定理先求出斜边的长，再根据直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径=(其中a、b为直角边，c为斜边〕可求解.
8.【答案】 D
【解析】【解答】∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴b＜0，
∵c＝﹣3，
∴abc＞0，故A不符合题意；
∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，故B不符合题意；
∵抛物线与x轴的两个交点分别为〔﹣1，0〕，〔2，0〕，
∴对称轴方程为直线x＝ ，
∴当x＜ 时，y随x的增大而减小，故C不符合题意；
当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故D符合题意；
故答案为：D ．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案．
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵ ，
∴AC=2BC=2，
∴ ，
∵ 绕点 按逆时针方向旋转 后得到 ，
∴
∴
∴ .

故答案为：B
【分析】先求出AC、AB，在根据 求解即可.
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵将△ACP顺时针旋转到△BCQ的位置，
∴PC=CQ，∠PCQ=90°
∴PQ2=PC2+CQ2=2PC2 ，
∴当PC最小时，PQ有最小值
即PC⊥AB时，PQ有最小值，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=2 ，且PC⊥AB
∴PC=
∴PQ的最小值为2
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质，得出∠PCQ=90°，根据勾股定理得出PQ2=2PC2 ， 那么知当PC最小时，PQ有最小值，然后根据垂线段最短的性质，得出PC⊥AB时，PQ有最小值，最后根据等腰直角三角形的性质求出PC，那么可解答.
二、填空题
11.【答案】
【解析】【解答】解：将抛物线y=〔x-3〕2-4先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是将抛物线y=〔x-3+2〕2-4+3，即：y=〔x-1〕2-1.
故答案为：y=〔x-1〕2-1.
【分析】对于二次函数y=a(x+h)2+k, 根据抛物线的平移规律：即左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减即可求出结果.
12.【答案】 〔-4，3〕
【解析】【解答】解：如图：

由旋转的性质可得：M点横坐标等于N点纵坐标的值，
M点纵坐标的值等于N点横坐标的绝对值，
又∵M〔3，4〕，
∴N〔-4，3〕，
故答案为：〔-4，3〕.
【分析】先根据旋转的性质得出M点横坐标等于N点纵坐标的值，M点纵坐标的值等于N点横坐标的绝对值，结合M点的坐标，即可解答.
13.【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得：点B运动路径的长度为＝ ＝ ，
故答案为： .
【分析】根据题意，点B旋转的路径是一个半径为AB，圆心角为90°的圆弧，然后根据弧长公式“〞计算即可.
14.【答案】 1
【解析】【解答】解：设这个圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr= ，
解得r=1，
所以这个圆锥的底面圆半径为1.
故答案为：1.
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的弧长=底面圆的周长，利用弧长公式得到方程并解关于r的方程即可.
15.【答案】 30°
【解析】【解答】解：连接OB，AD，BD，
 
∵多边形ABCDEF 是正多边形，
∴AD 为外接圆的直径，
∠AOB＝ ＝60°，
∴∠ADB＝ ∠AOB＝ ×60°＝30°.
∵直线 PA 与⊙O 相切于点 A，
∴∠PAB＝∠ADB＝30°.
 故答案为：30°.
【分析】连接OB，AD，BD，根据圆内接正多边形的性质求出∠AOB的度数，然后根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠ADB，最后根据同角的余角相等，即可解答.
16.【答案】 ﹣1≤t＜8
【解析】【解答】解：对称轴为直线x＝1，
，
解得a＝1，
所以二次函数解析式为y＝x2﹣2x，
x＝0时，y＝0
x＝1时，y＝﹣1，
x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，
当 时，﹣1≤y＜8
∵x2-2x﹣t＝0的解相当于y＝x2-2x与直线y＝t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在0＜x＜4的范围内有解.
故答案为：﹣1≤t＜8.
【分析】先根据对称轴方程求出a值，那么可得出二次函数的解析式，根据二次函数的性质，求出当 时函数值的范围，由于x2-2x﹣t＝0的解相当于y＝x2-2x与直线y＝t的交点的横坐标，即可解答.
三、解答题
17.【答案】 解：如图， 、  即为所求，

【解析】【分析】〔1〕利用方格纸的特点，以点 O〔0,0〕为旋转中心，将A、B、C分别顺时针转动90°，得到A1、B1和C1 ， 然后将这三点顺次连接起来即可；
〔2〕分别作出A、B、C关于O点中心对称点A2、B2和C2 ， 然后将这三点顺次连接起来即可.
18.【答案】 解：依题意设二次函数的解析式为 ，
将 ， 代入，得 ，
解得 ，
∴二次函数的解析式为 ；
如下列图.

【解析】【分析】根据顶点式设二次函数的解析式为   ， 然后利用待定系数法求函数解析式，在坐标系中，找出顶点、抛物线与坐标轴的交点，然后连线画出函数图象即可.
19.【答案】 解：连接OC，如图，

∵AB是⊙O的直径，AB＝10，
∴OC＝OA＝5，
∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝ CD＝ ×8＝4，
在Rt△OCE中，OC＝5，CE＝4，
∴OE＝ ＝3，
∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2.
【解析】【分析】 连接OC， 根据垂径定理求出CE，然后在Rt△OCE中，根据勾股定理求OC，最后根据线段间的和差关系求AE即可.
20.【答案】 解：由旋转知：△ADE≌△ABC，
∴∠ACB＝∠E，AC＝AE，
∴∠E＝∠ACE，
又BC∥AE，
∴∠BCE+∠E＝180°，
即∠ACB+∠ACE+∠E＝180°，
∴∠E＝60°，
又AC＝AE，
∴△ACE 为等边三角形，
∴∠CAE＝60°
又∠BAC＝∠DAE
∴∠BAD＝∠CAE＝60°
又AB＝AD
∴△ABD为等边三角形.
【解析】【分析】由旋转的性质可得 ， ，可得 ，由平行线的性质可得 ，可得 ，那么可求 ，可得结论.
21.【答案】 〔1〕解：∵ 是二次函数，∴ .
∵抛物线与 轴相交于不同的两点，
∴ ，∴ .
∴ 的取值范围是 且 ；

〔2〕解： ，
故只要 ，那么 的值便与 的取值无关，也就是说抛物线必过定点，
由 ，得〔x-1〕2=0，
∴ ，
当 时， ，即 ，
∴该抛物线一定经过点 ，点 的坐标为 .
【解析】【分析】〔1〕抛物线与x轴有两个交点，即相应的关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，根据△=b2-4ac＞0且m≠0，列不等式求解即可；
〔2〕根据题意得出只要含m项的系数为0  ， 那么y的值便与m的取值无关，为此把含m的项合并，根据m项的系数为0列方程求解，再求出y值，即可得出P点坐标.
22.【答案】 〔1〕证明：连接 .

∵ ，∴ .
∵ 平分 ，∴ .
∴ ，∴ .
∴ .
∵ ，∴ .
∴ .∴ .
∴ 与 相切；

〔2〕解：过 作 于 .
∵ 平分 ， ，∴ .
∵ ，∴ .
∴ ，∴ .
∵ 是 的直径，∴ .
∵ ， ，
∴ .
∵ ，∴ .
∴ .
【解析】【分析】〔1〕连接OD，根据等腰三角形的性质和利用平行线的性质推出OD∥BE，结合DE⊥BC，求出OD⊥DE，即可得证；
〔2〕利用HL证明Rt△ADH和Rt△CDE全等，利用圆周角定理求出∠ADB为90°，然后利用勾股定理求出BD，最后利用等积法求出DH即可.
 
 
23.【答案】 〔1〕解：由题意得每件涨价x元，
那么每星期的销量为 ，〔0≤x≤5且x为整数〕；

〔2〕解：每星期的利润为W元，
  ，
∵x为整数，
∴当x=3或2时，W有最大值1560，
当x=3时，销量为120件，当x=2时销量为130件，
所以定价为42元时才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大，最大利润是1560元.
【解析】【分析】〔1〕根据每件的售价每涨1元，那么每星期将少卖出10件，现上涨x元，那么少卖出10x件，即可得出y与x的函数表达式，结合售价每件不能高于45元和x为非负整数求出自变量的取值范围；
〔2〕利用总利润=销量x每件利润，列出函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大利润和这时的销量即可.
 
 
24.【答案】 〔1〕证明：∵ 是 的直径，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ， ，
∴ ， .
∵ ，
∴ .
∴ ；

〔2〕解：连接DE，过 作 于 ，

∴ .
∵ ，
∴ .
设 ，
∵ ，
∴ .
由〔1〕知 ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ ， .
∴ .
设 ，
那么 ， .
∴ .
∴ .
在 中， ， ， ，
，
.
解得 ， 〔舍去〕.
∴ .
∴ .
【解析】【分析】〔1〕根据含30°直角三角形的性质求出AC=2CD，结合同圆的半径相等，求出OA=CD，然后根据同弧所对的圆周角相等求出∠EAO=∠CDB，∠CAD=∠CBD=30°，推出∠AEO=∠CBD，最后根据AAS证明△OAE和△CDB全等即可；
〔2〕连接DE，过O作OH⊥AB于H ，根据含30°直角三角形的性质，三角形中位线定理，结合三角形全等的性质推出AE=2BE，设OH=x ， 设AH=HB=y  ， 根据AE=2BE求出y与x的关系式，然后在 Rt△OAH中， 利用勾股定理构建方程求解即可.
 
 
25.【答案】 〔1〕解：当 时， .
当 时， ；

〔2〕解：当 时，将 代入函数解析式
，得 ，
解得 或1.

∵点 在第三象限，
∴ .此时抛物线的对称轴 .
∵ 点坐标为 ，根据抛物线的对称性可知，
当 时， 或 .
∴ 的取值范围为 ；

〔3〕解：∵点 与点 不重合，
∴ .
当 时， .
∴点 的坐标为 .
当抛物线向右平移时， 逐渐增大，点 沿 轴正方向移动.
当点 与点 重合时， ，解得 或 .
当点 与点 重合时，如图，顶点 也与 ， 重合，点 到达最低点.

∴ ，解得 .
当抛物线继续向右平移时，点 不在线段 上.
∴ 点在线段 上时， 的取值范围是： 或 .
【解析】【分析】〔1〕把m=3代入函数式得出 ，再将x=-1代入函数式即可求出n的值；
〔2〕当  时，将P点坐标代入函数解析式求解，结合顶点A在第三象限求出m的值，然后根据二次函数图象的性质求出x的范围即可；
〔3〕首先令x=0，把点B的坐标用含m的代数式表示， 由于当抛物线向右平移时，  逐渐增大，点  沿  轴正方向移动，当点B与点C重合时，当点B与C重合时，分别求出m的值，得出m的最大值和最小值，结合m≠-1，即可确定m的范围.