福建省福州市长乐区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份福建省福州市长乐区2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年福建省福州市长乐区九年级第一学期期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．关于二次函数y＝2（x﹣4）2﹣3最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值﹣3 D．有最小值﹣3
3．⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
4．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）

A．10° B．20° C．50° D．70°
5．抛物线向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，则下列结论错误的是（　　）

A．CE＝DE B．AE＝OE C．＝ D．∠COB＝∠DOB
7．在平面直角坐标系xOy中，以原点为中心，将点P（4，4）按顺时针方向旋转135°，得到的点Q所在的位置是（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．x轴上 D．y轴上
8．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
9．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（　　）

A．55° B．70° C．110° D．125°
10．已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数）；当1≤x≤3时，与其对应的函数y的最小值为4，则h的值为（　　）
A．﹣1或5 B．﹣1或3 C．1或5 D．1或3
二、填空题：本题共6小题。每小题4分，共24分。
11．抛物线y＝x2的开口方向是 　 　．
12．点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是　 　．
13．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠ABC＝130°，则∠ADC＝　 　°．

14．飞机着陆滑行的距离y（m）关于滑行时间t（s）的函数解析式为y＝60t﹣1.5t2，在飞机着陆滑行中，总共滑行的距离是 　 　m．
15．用一个半径为30cm，面积是300πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 　 　cm．
16．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论：
①AC＝AD；②AE⊥BC；③∠BAE＝∠BCE；④AB∥CD．
其中一定正确的结论是 　 　．（填序号）

三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，求△ABC的面积．

18．如图，某圆形拱门在地面的宽AB＝4m，拱门所在⊙O的半径OA＝2.5m．求拱门的拱顶到地面的距离CD的长．

19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE，连接BE．
（1）根据题意将图形补充完整；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：BE⊥AB．

20．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1.5m，则水面宽是多少米？（提示：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系）

21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，过点A作OC的平行线，交BC的延长线于D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

22．某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△DBE，点A，C的对应点分别是D，E，连接AD．
（1）如图1，当点E恰好在边AB上时，求∠ADE的大小；
（2）如图2，若F为AD中点，求CF的最大值．


24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为的中点，弦CE⊥AB于点F，与BD交于点G．
（1）求证：BG＝CG；
（2）若OF＝1，求AD的长．

25．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝﹣x+2与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点（点A在点B左边）．
（1）当点A和点B都在坐标轴上时，求抛物线的解析式；
（2）当线段AB被y轴平分时，求b的值；
（3）当△AOB的面积为b时，求c的最大值．


参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故正确；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、不是中心对称图形．故错误．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．关于二次函数y＝2（x﹣4）2﹣3最大值或最小值，下列说法正确的是（　　）
A．有最大值4 B．有最小值4 C．有最大值﹣3 D．有最小值﹣3
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数有最小值，最小值为﹣3，然后即可判断哪个选项是正确的．
解：∵二次函数y＝2（x﹣4）2﹣3，a＝2＞0，
∴该函数图象开口向上，有最小值，当x＝4取得最小值﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确二次函数的性质，会求函数的最值．
3．⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
【分析】根据圆O的半径和圆心O到直线l的距离的大小，相交：d＜r；相切：d＝r；相离：d＞r；即可选出答案．
解：∵⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，
∵8＞4，即：d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：B．
【点评】本题主要考查对直线与圆的位置关系的性质的理解和掌握，能熟练地运用性质进行判断是解此题的关键．
4．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　）

A．10° B．20° C．50° D．70°
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
解：如图．
∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是70°﹣50°＝20°．
故选：B．

【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
5．抛物线向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的规律：上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．
解：抛物线向上平移1个单位长度，得到新抛物线的解析式为：y＝﹣x2+1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
6．如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，则下列结论错误的是（　　）

A．CE＝DE B．AE＝OE C．＝ D．∠COB＝∠DOB
【分析】利用垂径定理得到CE＝DE，＝，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到∠COB＝∠DOB，从而可对各选项进行判断．
解：∵AB⊥CD，
∴CE＝DE，＝，所以A、C选项正确；
∵＝，
∴∠COB＝∠DOB，所以D选项正确．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆心角、弧、弦的关系．
7．在平面直角坐标系xOy中，以原点为中心，将点P（4，4）按顺时针方向旋转135°，得到的点Q所在的位置是（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．x轴上 D．y轴上
【分析】过点P作PA⊥y轴，垂足为A，根据垂直定义可得∠PAO＝90°，再根据点P的坐标可得PA＝OA＝4，然后利用等腰直角三角形的性质可得∠AOP＝∠APO＝45°，从而利用平角定义可得∠1＝135°，即可解答．
解：如图：过点P作PA⊥y轴，垂足为A，

∴∠PAO＝90°，
∵点P（4，4），
∴PA＝OA＝4，
∵∠AOP＝∠APO＝45°，
∴∠1＝180°﹣∠AOP＝135°，
∴以原点为中心，将点P（4，4）按顺时针方向旋转135°，得到的点Q所在的位置在y轴上，
故选：D．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
x
…
﹣2
0
1
3
…
y
…
6
﹣4
﹣6
﹣4
…
下列各选项中，正确的是（　　）
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于﹣6
D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大
【分析】设出二次函数的解析式，根据表中数据求出函数解析式即可判断．
解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
由题知，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，
A．函数图象开口向上，故A选项不符合题意；
B．与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），故B选项不符合题意；
C．当x＝时，函数有最小值为﹣，故C选项符合题意；
D．函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9．如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（　　）

A．55° B．70° C．110° D．125°
【分析】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．
故选：B．

【点评】本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
10．已知二次函数y＝（x﹣h）2（h为常数）；当1≤x≤3时，与其对应的函数y的最小值为4，则h的值为（　　）
A．﹣1或5 B．﹣1或3 C．1或5 D．1或3
【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值0，x＞h时，y随x的增大而增大；当x＜h时，y随x的增大而减小；根据﹣1≤x≤3时，函数的最小值为4可分如下两种情况：①若h＜﹣1≤x≤3，x＝﹣1时，y取得最小值4；②若﹣1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4，分别列出关于h的方程求解即可．
解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值4，
可得：（1﹣h）2＝4，
解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值4，
可得：（3﹣h）2＝4，
解得：h＝5或h＝1（舍）；
③若﹣1＜h＜3时，当x＝h时，y取得最小值为0，不是4，
∴此种情况不符合题意，舍去．
综上，h的值为﹣1或5，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题。每小题4分，共24分。
11．抛物线y＝x2的开口方向是 　上　．
【分析】根据二次项系数的符号即可判断开口方向．
解：∵抛物线y＝x2中，a＝1＞0，
∴抛物线y＝x2的开口方向向上，
故答案为：上．
【点评】本题考查了二次函数的性质．在抛物线y＝ax2+bx+c中，a＞0，抛物线开口向上．
12．点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是　（1，﹣2）　．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：它们的坐标符号相反可直接得到答案．
解：点A（﹣1，2）关于原点对称点B的坐标是（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．
13．如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠ABC＝130°，则∠ADC＝　50　°．

【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可求出∠ADC．
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝130°，
∴∠ADC＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
14．飞机着陆滑行的距离y（m）关于滑行时间t（s）的函数解析式为y＝60t﹣1.5t2，在飞机着陆滑行中，总共滑行的距离是 　600　m．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．
解：∵y＝60t﹣1.5t2，＝﹣1.5（t﹣20）2+600，
∵﹣1.5＜0，
∴当t＝20时，y取得最大值600，
即飞机着陆后滑行600米才能停下来，
故答案为：600．
【点评】此题考查二次函数的实际运用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法是解题关键．
15．用一个半径为30cm，面积是300πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 　10　cm．
【分析】根据扇形面积公式可求出扇形的弧长，再根据扇形的弧长与圆锥底面周长相等，可求出圆锥的底面半径．
解：设扇形的弧长为lcm，圆锥的底面半径为rcm，
∵扇形的半径为30cm，面积是300πcm2，
∴l×30＝300π，
解得l＝20π，
由扇形的弧长等于圆锥底面周长得，
2πr＝20π，
解得r＝10（cm），
故答案为：10．
【点评】本题考查圆锥的计算，掌握扇形面积、弧长的计算公式是正确解答的前提．
16．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论：
①AC＝AD；②AE⊥BC；③∠BAE＝∠BCE；④AB∥CD．
其中一定正确的结论是 　③　．（填序号）

【分析】由旋转的性质可得AC＝CD，∠B＝∠E，∠ACB＝∠ECD，由三角形内角和定理可证∠BAE＝∠ECB．
解：如图，设AE与BC的交点为O，

∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，
∴△ABC≌△DEC，
∴AC＝CD，∠B＝∠E，∠ACB＝∠ECD，
又∵∠AOB＝∠COE，
∴∠BAE＝∠ECB，
故答案为：③．
【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知抛物线y＝x2+2x﹣3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，求△ABC的面积．

【分析】求出点A，B，C的坐标，再用三角形面积公式求面积即可．
解：令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
即（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB＝4，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．
∴△ABC的面积为6．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点以及三角形的面积，关键是求出抛物线与坐标轴的交点．
18．如图，某圆形拱门在地面的宽AB＝4m，拱门所在⊙O的半径OA＝2.5m．求拱门的拱顶到地面的距离CD的长．

【分析】根据垂径定理求出AD，再根据勾股定理求出OD即可．
解：∵AB⊥CD，AB是弦，CD过圆心，
∴AD＝BD＝AB＝2m，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝1.5（m），
∴CD＝OC+OD
＝2.5+1.5
＝4（m），
答：拱门的拱顶到地面的距离CD的长为4m．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是正确解答的关键．
19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE，连接BE．
（1）根据题意将图形补充完整；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：BE⊥AB．

【分析】（1）连接CD，在CD右边作∠DCM＝∠ACB，再在射线CM上截取CE＝CD，连接BE；
（2）由旋转的性质可得CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，由“SAS”可证△ACD≌△BCE，可得BE＝AD，∠CBE＝∠CAD＝45°，可得结论
【解答】（1）解：根据题意作图如下：

（2）证明：∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，∠CBE＝∠CAD＝45°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，
∴BE⊥AB．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1.5m，则水面宽是多少米？（提示：以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系）

【分析】根据题意设出函数解析式，用待定系数法求出函数解析式，再计算水面上升1.5米时水面的宽即可．
解：由题意，设二次函数的解析式为y＝ax2，

把B（2，﹣2）代入得，a＝﹣，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2；
当水面上升1.5m时，水面与抛物线交点的纵坐标为﹣0.5，
把y＝﹣0.5代入解析式y＝﹣x2得：﹣x2＝﹣，
解得x＝±1，
此时水面宽为1+1＝2（米）．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系及熟练掌握待定系数法求函数解析式．
21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，过点A作OC的平行线，交BC的延长线于D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OA，利用圆周角定理和切线的判定定理解答即可；
（2）利用扇形的面积公式与三角形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，

∵∠COA＝2∠ABC，∠ABC＝45°，
∴∠COA＝90°．
∵CO∥DA，
∴∠COA+∠OAD＝180°，
∴∠OAD＝90°，
∴OA⊥DA，
∵OA为⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠COA＝90°，
∴OA⊥OC．
∴阴影部分的面积＝S扇形OAC﹣S△OCA
＝OC•OA
＝4π﹣4×4
＝4π﹣8．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的判定定理，扇形与三角形的面积，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
22．某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝每件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式，再结合x的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．
解：（1）设y＝kx+b，
将（40，300）、（55，150）代入，得：，
解得：，
则y＝﹣10x+700；
（2）设每天获取的利润为W，
则W＝（x﹣30）（﹣10x+700）
＝﹣10x2+1000x﹣21000
＝﹣10（x﹣50）2+4000，
又∵﹣10x+700≥240，
∴x≤46，
∵x＜50时，W随x的增大而增大，
∴当x＝46时，W取得最大值，最大值为﹣10×16+4000＝3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并熟练掌握二次函数的性质．
23．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△DBE，点A，C的对应点分别是D，E，连接AD．
（1）如图1，当点E恰好在边AB上时，求∠ADE的大小；
（2）如图2，若F为AD中点，求CF的最大值．


【分析】（1）由旋转可得：BA＝BD，∠EBD＝∠CBA＝30°，∠DEB＝∠ACB＝90°，再运用三角形内角和定理即可得出答案；
（2）如图2，连接BF，利用等腰三角形的性质证明∠AFB＝90°，然后证明A、C、B、F四点共圆，接着利用圆是圆中最长的弦即可求解．
解：（1）如图1，∵△ABC绕点B顺时针旋转α得到△DEB，点E恰好在AB上，
∴BA＝BD，∠EBD＝∠CBA＝30°，∠DEB＝∠ACB＝90°，
∴∠BAD＝∠BDA＝75°，
∴∠ADE＝90°﹣75°＝15°；
（2）如图2，连接BF，
∵BA＝BD，F为AD中点，
∴BF⊥AD，
∴∠AFB＝90°，
而∠ACB＝90°，
∴A、C、B、F四点共圆，
∴AB为这个圆的直径，CF为这个圆的一条弦，
∵AC＝4，∠ABC＝30°，
∴AB＝8，
∴CF的最大值为8．

【点评】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了含30°角的直角三角形的性质，有一定的综合性．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为的中点，弦CE⊥AB于点F，与BD交于点G．
（1）求证：BG＝CG；
（2）若OF＝1，求AD的长．

【分析】（1）根据垂径定理以及圆周角定理可得＝＝，进而得到∠CBD＝∠CDB＝∠BCE，再根据等腰三角形的判定可得BG＝CG；
（2）利用圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系以及垂径定理、三角形中位线定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵点C为的中点，
∴＝，
又∵弦CE⊥AB，AB是直径，
∴＝，
∴＝＝，
∴∠CBD＝∠CDB＝∠BCE，
∴BG＝CG；
（2）解：如图，过点O作OM⊥BD，垂足为M，
∵＝＝，
∴+＝+，
即＝，
∴BD＝CE，
又∵OM⊥BD，OF⊥CE，
∴OM＝OF＝1，DM＝BM，
∵OA＝OB，
∴OM是△ABD的中位线，
∴OM＝AD，
∴AD＝2OM＝2．

【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理以及圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理，掌握垂径定理、圆周角定理，圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理以及等腰三角形的判定方法、三角形中位线定理是正确解答的前提．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝﹣x+2与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点（点A在点B左边）．
（1）当点A和点B都在坐标轴上时，求抛物线的解析式；
（2）当线段AB被y轴平分时，求b的值；
（3）当△AOB的面积为b时，求c的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）依据题意画出图形，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与y轴交于点P，则AE＝﹣x1，BF＝x2，，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为E，F，利用全等三角形的判定与性质得到x1+x2＝0；将直线与抛物线的解析式联立得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理解答即可得出结论；
（3）分三种情况求得，△AOB的面积＝x2﹣x1，利用（2）的结论和韦达定理得到x2﹣x1＝b，整理即可得到c关于b的函数关系式，再利用配方法即可求得结论．
解：（1）令x＝0，则y＝2，
令y＝0，则x＝2，
∴直线y＝﹣x+2与坐标轴交于点（0，2），（2，0）．
∵直线y＝﹣x+2与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点（点A在点B左边），点A和点B都在坐标轴上，
∴A（0，2），B（2，0）．
∴，
∴．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+2；
（2）当线段AB被y轴平分时，如图，

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与y轴交于点P，
则：AE＝﹣x1，BF＝x2．
由（1）知：P（0，2）．
分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为E，F，
∵线段AB被y轴平分，
∴PA＝PB．
在△PAE和△PBF中，
，
∴△PAE≌△PBF（AAS），
∴AE＝BF，
∴﹣x1＝x2，
∴x1+x2＝0．
∵直线y＝﹣x+2与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点（点A在点B左边），
∴，
∴x2+bx+c＝﹣x+2，
∴x2+（b+1）x+c﹣2＝0，
∴x1，x2是方程x2+（b+1）x+c﹣2＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣（b+1），
∴﹣（b+1）＝0，
∴b＝﹣1；
（3）①当A（x1，y1），B（x2，y2）在y轴的两侧时，如图，

分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为E，F，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与y轴交于点P，则P（0，2），
∴OP＝2，AE＝﹣x1，BF＝x2．
∵S△AOB＝S△AOP+S△BOP，
∴S△AOB＝OP•AE+OP×BF
＝﹣x1+x2；
当A（x1，y1），B（x2，y2）在y轴的左侧时，如图，

分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为E，F，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与y轴交于点P，则P（0，2），
∴OP＝2，AE＝﹣x1，BF＝﹣x2．
∵S△AOB＝S△AOP﹣S△BOP，
∴S△AOB＝OP×AE﹣OP×BF
＝×（﹣x1）﹣（﹣x2）
＝﹣x1+x2；
当A（x1，y1），B（x2，y2）在y轴的右侧时，如图，

分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为E，F，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与y轴交于点P，则P（0，2），
∴OP＝2，AE＝x1，BF＝x2．
∵S△AOB＝S△BOP﹣S△AOP，
∴S△AOB＝OP×BF﹣OP×AE
＝x2﹣x1
＝x2﹣x1，
综上，△AOB的面积＝x2﹣x1，
由（2）知：x1，x2是方程x2+（b+1）x+c﹣2＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣（b+1），x1•x2＝c﹣2．
∵△AOB的面积为b，
∴x2﹣x1＝b，
两边平方得：
，
∴＝2b2．
即：[﹣（b+1）]2﹣4（c﹣2）＝2b2．
∴c＝﹣+b+
＝+．
∵﹣＜0，
∴当b＝1时，c的最大值为．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图形与性质，待定系数法求得函数的解析式，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，分类讨论的思想方法，三角形的面积，配方法求得函数的极值，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．