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2021年浙江省湖州市九年级上学期数学期中考试试卷含答案
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这是一份2021年浙江省湖州市九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题〔此题有10小题，每题3分，共30分〕
1.⊙O的半径为8cm，点A到圆心O的距离为6cm，那么点A与⊙O的位置关系是〔 〕
A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 不能确定
2.把抛物线 向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，那么平移后抛物线的解析式为〔 〕
A. B. C. D.
3.以下事件中，必然事件是〔 〕
A. 2月份有31天 B. 一个等腰三角形中，有两条边相等
C. 明天的太阳从西边出来 D. 投掷一枚质地均匀的骰子，出现6点向上
4.如图，四边形ABCD为圆内接四边形∠A=85°，∠B=105°，那么∠C的度数为〔 〕
A. 115° B. 75° C. 95° D. 不能确定
5.以下函数中，y总随x的增大而减小的是( )
A. y＝4x B. y＝﹣4x C. y＝x﹣4 D. y＝x2
6.如图，在直角坐标系中，点A〔0，3〕、点B〔4，3〕、点C〔0，﹣1〕，那么△ABC外接圆的半径为〔 〕
A. 2 B. 3 C. 4 D.
7.如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是〔 〕
A. B. C. D.
8.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，那么以下结论不一定成立的是〔 〕
A. OC∥BD B. AD⊥OC C. △CEF≌△BED D. AF＝FD
9.10个大小相同的正六边形按如下列图方式紧密排列在同一平面内，A，B，C，D，E，O均是正六边形的顶点.那么点O是以下哪个三角形的外心〔 〕.
A. B. C. D.
10.如图，平面直角坐标系中， ， ，P为y轴正半轴上一个动点，将线段 绕点P逆时针旋转 ，点A的对应点为Q，那么线段 的最小值是〔 〕
A. B. C. D.
二、填空题：〔此题有6小题，每题4分，共24分〕
11.抛物线 的对称轴是________.
12.如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，那么这条弦的弦心距为________.
13.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=27°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C的位置，A1B1恰好经过点B，那么旋转角α的度数是________.
14.现有A、B两枚均匀的小立方体〔立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6〕.用小莉掷A立方体朝上的数字为x，小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P〔x，y〕，那么它们各掷一次所确定的点P落在抛物线y=﹣x2+4x上的概率为________.
15.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1〔m为常数〕交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.
①假设点M〔﹣2，y1〕、点N〔 ，y2〕、点P〔2，y3〕在该函数图象上，那么y1＜y2＜y3；
②将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣〔x+1〕2+m；
③抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+3有且只有一个交点；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为 .
其中正确判断的序号是________.
16.如图，矩形纸片ABCD中，BC=5，AB=3，点P是BC边上的动点〔点P不与点B、C重合〕.现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D；作∠BPC′的角平分线，交AB于点E.设BP=x，BE=y，那么y与x的函数关系式为________.
三、解答题：〔此题有8个小题，共66分〕
17.等腰三角形ABC，如图.
〔1〕用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
〔2〕设△ABC的外接圆的圆心为O，假设∠BOC=128°，求∠BAC的度数.
18.如下列图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就到达警戒线CD，这时水面宽度为10m.
〔1〕在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
〔2〕假设洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
19.在湖州创立国家卫生文明城市的过程中，小辉和小明积极参加志愿者活动，当时有以下四个志愿者工作岗位供他们选择：
①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物〔分别用 表示〕。
②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通平安知识宣传〔分别用 表示〕。
〔1〕小辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是________；
〔2〕假设小辉和小明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率.
20.如图，二次函数y＝﹣x2+4x+m的图象与x轴交于A、B两点〔A在B的左侧〕，与y轴交于点D，点A的坐标是〔﹣1，0〕，C是抛物线的顶点.
〔1〕求二次函数的解析式；
〔2〕当0＜x＜5时，求y的取值范围；
〔3〕连接BC，线段OD上有一点E，点E关于抛物线的对称轴的对称点F恰好在线段BC上，求点E的坐标.
21.如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD∥AC交BC于点E.
〔1〕求证：△BCD为等腰三角形；
〔2〕假设BE＝4，AC＝6，求DE.
22.某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 160 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间， 宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用.设每个房间的定价为 x 元时，相应的住房数为 y 间.
〔1〕求 y 与 x 的函数关系式；
〔2〕定价为多少时宾馆当天利润 w 最大?并求出一天的最大利润；
〔3〕假设老板决定每住进去一间房就捐出 a 元〔a≤30〕给当地福利院，同时要保证房间定价 x 在 160 元至 350 元之间波动时〔包括两端点〕，利润 w 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围
23.定义：如果一条抛物线y＝ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形〞.显然，“特征轴三角形〞是等腰三角形.
〔1〕抛物线y＝x2﹣2 x对应的“特征轴三角形〞是________；抛物线y＝ x2﹣2对应的“特征轴三角形〞是________.〔把以下较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形.〕
〔2〕假设抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形〞是直角三角形，请求出a的值.
〔3〕如图，面积为12 的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，假设△ABE是抛物线y＝ax2+bx+c的“特征轴三角形〞，求此抛物线的解析式.
24.如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过A〔﹣5，0〕，B〔﹣4，﹣3〕两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD.
〔1〕求该抛物线的表达式；
〔2〕点P为该抛物线上一动点〔与点B、C不重合〕，设点P的横坐标为t.
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？假设存在，求出所有点P的坐标；假设不存在，请说明理由.
答案解析局部
一、选择题〔此题有10小题，每题3分，共30分〕
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵d=6，r=8，
∴d
故答案为：A.
【分析】根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断，即当dr时，点在圆外.
2.【答案】 C
【解析】【解答】解： 把抛物线 向右平移1个单位， 得到的解析式为：，
再把向上平移一个单位，得到的解析式为：.
故答案为：C.
【分析】对于二次函数y=a(x+h)2+k, 根据抛物线的平移规律：即左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减即可求出结果.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、“2月份有31天〞属于不可能事件，故不符合题意；
B、“一个等腰三角形中，有两条边相等〞属于必然事件，故符合题意；
C、“明天的太阳从西边出来〞属于不可能事件，故不符合题意；
D、“投掷一枚质地均匀的骰子，出现6点向上〞属于随机事件，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据必然事件、不可能事件及随机事件的概念可直接进行排除选项.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠C+∠A=180°，
∴∠C=180°-∠A=180°-85°=95°.
故答案为：C.
【分析】因为圆内接四边形对角互补，据此列式计算即可.
5.【答案】 B
【解析】【解答】y＝4x中y随x的增大而增大，A不符题意，
y＝﹣4x中y随x的增大而减小，B符合题意，
y＝x﹣4中y随x的增大而增大，C不符题意，
y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，D不符合题意，
故答案为：B．
【分析】在y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小，据此判断A、B、C.在y＝x2中，a=1＞0，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；在对称轴左侧，y随x的增大而减小，据此判断D.
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，作BA⊥y轴，交圆于B点，作BD⊥x轴，AB与AC的垂直平分线分别为MN和PQ，
MN与PQ交于一点E，那么E为圆心，
∵ 点A〔0，3〕、点B〔4，3〕， 点C〔0，﹣1〕，
∴AB=4，AC=4，
∴E〔2,1〕，
∴AE=.
故答案为：D.
【分析】先找出圆心并求出圆心的坐标，作BA⊥y轴，交圆于B点，作BD⊥x轴，AB与AC的垂直平分线分别为MN和PQ，MN与PQ交于一点E，那么E为圆心，现知A、E点坐标，根据两点间距离公式求半径即可.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，C1 ， C2 ， C3 ， C4均可与点A和B组成直角三角形．
P= ，
应选：D．
【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴ ，
∵OC是半径，
∴OC⊥AD，AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BD，
故A、B、D正确，C错误；
故答案为：C.
【分析】由题意易得 ，那么根据垂径定理及推论可进行排除选项.
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD.
故答案为：D.
【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵A〔2，0〕，
∴OA＝2，
设P〔0，m〕，那么OP＝m，
作QM⊥y轴于M，
∵∠APQ＝90°，
∴∠OAP＋∠APO＝∠APO＋∠QPM，
∴∠OAP＝∠QPM，
∵∠AOP＝∠PMQ＝90°，PA＝PQ，
∴△AOP≌△PMQ〔AAS〕，
∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝2，
∴Q〔m，m＋2〕，
∵B〔4，0〕，
∴BQ＝ ＝ ，
∴当m＝1时，BQ有最小值 ，
故答案为：A.
【分析】设P〔0，m〕，那么OP＝m，通过证得△AOP≌△PMQ求得Q的坐标，然后根据勾股定理得到BQ＝ ，即可求得当m＝1时，BQ有最小值 .
二、填空题：〔此题有6小题，每题4分，共24分〕
11.【答案】 直线x=-1
【解析】【解答】解：抛物线 的对称轴是直线 ，
故答案为：直线x=-1.
【分析】根据二次函数的对称轴公式x=可求解.
12.【答案】 6
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵AB=16，
∴AD= AB= ×16=8，
在Rt△AOD中，
∵OA2=OD2+AD2 ， 即102=OD2+82 ， 解得，OD=6.
故答案为：6.
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，先由垂径定理求出AD的长，再在Rt△AOD中利用勾股定理求出OD的长即可.
13.【答案】 54°
【解析】【解答】解：由题意得： ， ，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=63°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
故答案为54°
【分析】根据题意易得 ， ，那么有 ， ，进而可求 ，然后问题得解.
14.【答案】
【解析】【解答】解：列表如下，
∵共有36种等可能结果，他们各掷一次所确定的点P落在抛物线y=﹣x2+4x上的有：〔1，3〕，〔2,4〕，〔3,3〕 ，
∴P=.
故答案为： .
【分析】列表列出所有可能出现的等可能结果，再找出符合条件的结果数，最后求概率即可.
15.【答案】 ②④
【解析】【解答】解：①∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点P〔2，y3〕关于x=1的对称点为P′〔0，y3〕，
∵a=-1＜0，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
又∵-2＜0＜ ，点M〔-2，y1〕、点N〔 ，y2〕、点P′〔0，y3〕在该函数图象上，
∴y2＞y3＞y1 ， 故①的结论错误；
②将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y=-〔x+2〕2+2〔x+2〕x+m+1-2，即y=-〔x+1〕2+m，故此小题结论正确；
③把y=m+3代入y=-x2+2x+m+1中，得x2-2x+2=0，
∵△=4-8＜0，
∴此方程没有实数根，那么抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+3没有交点，故此小题结论正确；
④当m=1时，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+2，
∴A〔0，2〕，C〔2，2〕，B〔1，3〕，
作点B关于y轴的对称点B′〔-1，3〕，作C点关于x轴的对称点C′〔2，-2〕，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，
那么BE+ED+CD+BC=B′E+ED+C′D+BC=B′C′+BC，
根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，
∴此时，四边形BCDE周长=B′C′+BC最小，为： ，故此小题结论正确；
故答案为：②④.
【分析】①根据二次函数的性质进行判断；②根据平移的公式求出平移后的解析式便可；③把y=m+3代入y=-x2+2x+m+1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正误；④因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值.
16.【答案】 y＝﹣ x2+ x
【解析】【解答】解：连接DE，
因为△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平方 ，
又∵PE平分 ，
∴ ，
BP=x，BE=y，BC=5，AB=3，
即在Rt△PCD中， ， ，
即 ，
在Rt△EBP中，BP=x，BE=y，
故 ，
在Rt△ADE中， ， ，
故 ，
在Rt△PDE中， ，
即 ，
化简得：y＝﹣ x2+ x.
故答案是y＝﹣ x2+ x.
【分析】根据题意，连接DE，因为△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平方 ，再根据PE平分 ，可知 ，再根据BP=x，BE=y，BC=5，AB=3，分别用x，y表示出PD，EP，DE，再根据勾股定理计算即可；
三、解答题：〔此题有8个小题，共66分〕
17.【答案】 〔1〕解：先分别作线段AB、AC的垂直平分线EF、GH，EF与GH相交于点O，再连接OB，以点O为圆心，以OB的长为半径作圆，圆O即为 的外接圆.
〔2〕解：在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，
∵∠BOC=128°，
∴∠BDC=∠BOC=64°，
∴∠BAC=180°-∠BDC=116°.
【解析】【分析】〔1〕由线段的垂直平分线的性质可知： △ABC的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，根据两直线相交只有一个交点可用尺规作出两边的垂直平分线，其交点就是圆心，再以交点为圆心、交点到其中一个顶点的长为半径画圆即可求解；
〔2〕根据圆周角定理“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半〞可求解.
18.【答案】 〔1〕解：设所求抛物线的解析式为：y＝ax2〔a≠0〕，
由CD＝10m，可设D〔5，b〕，
由AB＝20m，水位上升3m就到达警戒线CD，
那么B〔10，b﹣3〕，把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，解得 .
∴y＝
〔2〕解：∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1m，∴ ＝5〔小时〕.
所以再持续5小时到达拱桥顶
【解析】【分析】〔1〕 根据CD的长度，设D〔5，b〕，再根据水位上升3m就到达警戒线CD， 结合AB的长度把B点坐标表示出来，最后根据B、D两点的坐标代入抛物线解析式求出a值，即可求出结果.
〔2〕根据D点坐标，可知拱桥顶O到CD的距离为1m， 于是利用速度公式求出时间即可.
19.【答案】 〔1〕
〔2〕解：根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果数，小辉和小明恰好选择同一岗位的结果数为4，
所以他们恰好选择同一岗位的概率： ＝
【解析】【解答】解：小辉同学选择清理类岗位的概率为： ＝ ；
故答案为：
【分析】〔1〕共有4个工作岗位，其中清理类岗位2个，据此求概率即可；
〔2〕根据题意画出树状图， 得出共有16种等可能的结果数，其中小辉和小明恰好选择同一岗位的结果数为4，最后求概率即可.
20.【答案】 〔1〕解：将点A的坐标代入函数表达式得：
0＝﹣1﹣4+m，解得：m＝5，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；
〔2〕解：令y＝﹣x2+4x+5＝0，那么x＝﹣1或5，故点B〔5，0〕，
函数顶点C的坐标为：〔2，9〕，故：当0＜x＜5时，
y的取值范围0＜y≤9；
〔3〕解：将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：
，解的
故直线BC的表达式为：y＝﹣3x+15，设点E〔0，n〕，那么点F〔4，n〕，
将点F的坐标代入直线BC的表达式得：n＝3，
故点E〔0，3〕.
【解析】【分析】〔1〕将点A的坐标代入函数表达式，即可求解；〔2〕令y=-x2+4x+5=0，那么x=-1或5，故点B〔5，0〕，函数顶点C的坐标为：〔2，9〕，即可求解；〔3〕将点B、C的坐标代入一次函数表达式可得直线BC的表达式，设点E〔0，m〕，那么点F〔4，m〕，将点F的坐标代入直线BC的表达式，即可求解.
21.【答案】 〔1〕证明：∵OD⊥BC于E，
∴ ＝ ，
∴BD＝CD，
∴△BDC是等腰三角形
〔2〕解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥BC于E，
∴OD∥AC，∵点O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝ AC＝ ×6＝3，在Rt△OBE中，
∵BE＝4，OE＝3，∴OB＝ ＝ ＝5，即OD＝OB＝5，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2
【解析】【分析】〔1〕由平行线的性质得出OD⊥BC，由垂径定理可得BD=CD，那么知△BCD是等腰三角形；
〔2〕由三角形中位线定理求得OE的长，再由勾股定理求出OB，即半径的长，最后由线段之间的关系求出DE的长即可.
22.【答案】 〔1〕解： ，
整理得： ；
〔2〕解： ，
整理可得： ，
时w有最大值10240，
即定价为每间340元时，宾馆当天的利润最大为10240元；
〔3〕解： ，
整理得： ，
时w随x的增大而增大，
，
解得： ，
，
.
【解析】【分析】〔1〕根据每天游客居住的房间数量=50-减少的房间数，即可解决问题；〔2〕构造二次函数，利用二次函数的性质解决问题；〔3〕构造二次函数，利用函数的增减性解决问题.
23.【答案】 〔1〕②；④
〔2〕解：设抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，
∴A〔﹣3，0〕，B〔1，0〕，D〔﹣1，﹣4a〕，
∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形〞是直角三角形，
∴AB2＝AD2+BD2 ，
∴16＝4+16a2+4+16a2 ，
∴a＝ ；
〔3〕解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE＝CE＝OE＝BE，
∴S△ABE＝ ＝ ×12 ＝3 ，
∵△ABE是抛物线的“特征轴三角形〞，根据抛物线的对称性得，AE＝AB，
∴AE＝AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
过点A作AH⊥BE，
∴AH＝ABsin∠ABE＝ AB＝ BE，
∴ BE2＝3 ，
∴BE＝2 ，
∴AH＝3，EH＝ ，
∴A〔3 ，3〕，E〔2 ，0〕，B〔4 ，0〕，
设抛物线解析式为y＝a〔x﹣3 〕2+3，将点E〔2 ，0〕代入得，a＝﹣1，
∴y＝﹣〔x﹣3 〕2+3＝﹣x2+6 x﹣24.
∴过点A，B，E三点的抛物线的解析式y＝﹣x2+6 x﹣24.
【解析】【解答】解：〔1〕由抛物线y＝x2﹣2 x可得顶点坐标为： ，与x轴的交点坐标为： ，
∴抛物线y＝x2﹣2 x对应的“特征轴三角形〞是等边三角形；
由抛物线y＝ x2﹣2可得顶点坐标为： ，与x轴的交点坐标为： ，
∴抛物线y＝ x2﹣2对应的“特征轴三角形〞是等腰直角三角形；
故答案为②；④；
【分析】〔1〕根据题意先求出这两个抛物线的顶点及与x轴的交点坐标，然后进行求解即可；〔2〕由题意易得抛物线的顶点及与x轴的交点坐标，然后根据题意列方程求解即可；〔3〕如图，过点A作AH⊥x轴，交于点H，由题意易得S△ABE＝ ＝ ×12 ＝3 ，那么有 BE2＝3 ，进而可得A〔3 ，3〕，E〔2 ，0〕，B〔4 ，0〕，然后利用待定系数法求解即可.
24.【答案】 〔1〕解：将点A、B坐标代入二次函数表达式得： ，
解得： ，故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，
令y＝0，那么x＝﹣1或﹣5，
即点C〔﹣1，0〕
〔2〕解：①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝x+1…②，
设点G〔t，t+1〕，那么点P〔t，t2+6t+5〕，
S△PBC＝ PG〔xC﹣xB〕＝ 〔t+1﹣t2﹣6t﹣5〕＝﹣ t2﹣ t﹣6，
∵- ＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣ 时，其最大值为 ；
②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为〔﹣ ，﹣ 〕，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点〔﹣ ，﹣ 〕代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，
联立③④并解得：x＝﹣2，即点H〔﹣2，﹣2〕，
同理可得直线BH的表达式为：y＝ x﹣1…⑤，
联立①⑤并解得：x＝﹣ 或﹣4〔舍去﹣4〕，
故点P〔﹣ ，﹣ 〕；
当点P〔P′〕在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
那么直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4〔舍去﹣4〕，
故点P〔0，5〕；
故点P的坐标为P〔﹣ ，﹣ 〕或〔0，5〕
【解析】【分析】〔1〕利用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
〔2〕 ① 过点P作y轴的平行线交BC于点G， 利用待定系数法求出直线BC的表达式， 设点G〔t，t+1〕，把点P的坐标用含t的代数式表示，据此把△PBC的面积用含t的代数式表示，由于这是一个关于t的二次函数式，最后配方求出最值即可；
②分两种情况讨论，i〕设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，根据等腰三角形的性质可得H在BC的垂直平分线上，然后求出垂直平分线的表达式，再用待定系数法求出直线CD的表达式，两式联立求出H点坐标，那么直线BH的表达式可求，其与抛物线的表达式联立求出P点坐标即可；ii〕 当点P〔P′〕在直线BC上方时， 根据平行线的判断定理可得BP′∥CD， 那么可求出直线BP'的表达式，其与抛物线解析式联立即可求出P'点坐标.
九年级上学期数学期中考试试卷
一、选择题〔此题有10小题，每题3分，共30分〕
1.⊙O的半径为8cm，点A到圆心O的距离为6cm，那么点A与⊙O的位置关系是〔 〕
A. 点A在圆内 B. 点A在圆上 C. 点A在圆外 D. 不能确定
2.把抛物线 向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，那么平移后抛物线的解析式为〔 〕
A. B. C. D.
3.以下事件中，必然事件是〔 〕
A. 2月份有31天 B. 一个等腰三角形中，有两条边相等
C. 明天的太阳从西边出来 D. 投掷一枚质地均匀的骰子，出现6点向上
4.如图，四边形ABCD为圆内接四边形∠A=85°，∠B=105°，那么∠C的度数为〔 〕
A. 115° B. 75° C. 95° D. 不能确定
5.以下函数中，y总随x的增大而减小的是( )
A. y＝4x B. y＝﹣4x C. y＝x﹣4 D. y＝x2
6.如图，在直角坐标系中，点A〔0，3〕、点B〔4，3〕、点C〔0，﹣1〕，那么△ABC外接圆的半径为〔 〕
A. 2 B. 3 C. 4 D.
7.如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是〔 〕
A. B. C. D.
8.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，那么以下结论不一定成立的是〔 〕
A. OC∥BD B. AD⊥OC C. △CEF≌△BED D. AF＝FD
9.10个大小相同的正六边形按如下列图方式紧密排列在同一平面内，A，B，C，D，E，O均是正六边形的顶点.那么点O是以下哪个三角形的外心〔 〕.
A. B. C. D.
10.如图，平面直角坐标系中， ， ，P为y轴正半轴上一个动点，将线段 绕点P逆时针旋转 ，点A的对应点为Q，那么线段 的最小值是〔 〕
A. B. C. D.
二、填空题：〔此题有6小题，每题4分，共24分〕
11.抛物线 的对称轴是________.
12.如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，那么这条弦的弦心距为________.
13.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=27°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C的位置，A1B1恰好经过点B，那么旋转角α的度数是________.
14.现有A、B两枚均匀的小立方体〔立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6〕.用小莉掷A立方体朝上的数字为x，小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P〔x，y〕，那么它们各掷一次所确定的点P落在抛物线y=﹣x2+4x上的概率为________.
15.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1〔m为常数〕交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.
①假设点M〔﹣2，y1〕、点N〔 ，y2〕、点P〔2，y3〕在该函数图象上，那么y1＜y2＜y3；
②将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣〔x+1〕2+m；
③抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+3有且只有一个交点；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为 .
其中正确判断的序号是________.
16.如图，矩形纸片ABCD中，BC=5，AB=3，点P是BC边上的动点〔点P不与点B、C重合〕.现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D；作∠BPC′的角平分线，交AB于点E.设BP=x，BE=y，那么y与x的函数关系式为________.
三、解答题：〔此题有8个小题，共66分〕
17.等腰三角形ABC，如图.
〔1〕用直尺和圆规作△ABC的外接圆；
〔2〕设△ABC的外接圆的圆心为O，假设∠BOC=128°，求∠BAC的度数.
18.如下列图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就到达警戒线CD，这时水面宽度为10m.
〔1〕在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
〔2〕假设洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？
19.在湖州创立国家卫生文明城市的过程中，小辉和小明积极参加志愿者活动，当时有以下四个志愿者工作岗位供他们选择：
①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物〔分别用 表示〕。
②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通平安知识宣传〔分别用 表示〕。
〔1〕小辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是________；
〔2〕假设小辉和小明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率.
20.如图，二次函数y＝﹣x2+4x+m的图象与x轴交于A、B两点〔A在B的左侧〕，与y轴交于点D，点A的坐标是〔﹣1，0〕，C是抛物线的顶点.
〔1〕求二次函数的解析式；
〔2〕当0＜x＜5时，求y的取值范围；
〔3〕连接BC，线段OD上有一点E，点E关于抛物线的对称轴的对称点F恰好在线段BC上，求点E的坐标.
21.如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD∥AC交BC于点E.
〔1〕求证：△BCD为等腰三角形；
〔2〕假设BE＝4，AC＝6，求DE.
22.某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天 160 元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加 10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间， 宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用.设每个房间的定价为 x 元时，相应的住房数为 y 间.
〔1〕求 y 与 x 的函数关系式；
〔2〕定价为多少时宾馆当天利润 w 最大?并求出一天的最大利润；
〔3〕假设老板决定每住进去一间房就捐出 a 元〔a≤30〕给当地福利院，同时要保证房间定价 x 在 160 元至 350 元之间波动时〔包括两端点〕，利润 w 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围
23.定义：如果一条抛物线y＝ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“特征轴三角形〞.显然，“特征轴三角形〞是等腰三角形.
〔1〕抛物线y＝x2﹣2 x对应的“特征轴三角形〞是________；抛物线y＝ x2﹣2对应的“特征轴三角形〞是________.〔把以下较恰当结论的序号填在横线上：①腰与底边不相等的等腰三角形；②等边三角形；③非等腰的直角三角形；④等腰直角三角形.〕
〔2〕假设抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形〞是直角三角形，请求出a的值.
〔3〕如图，面积为12 的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，假设△ABE是抛物线y＝ax2+bx+c的“特征轴三角形〞，求此抛物线的解析式.
24.如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过A〔﹣5，0〕，B〔﹣4，﹣3〕两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接BD，CD.
〔1〕求该抛物线的表达式；
〔2〕点P为该抛物线上一动点〔与点B、C不重合〕，设点P的横坐标为t.
①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值
②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？假设存在，求出所有点P的坐标；假设不存在，请说明理由.
答案解析局部
一、选择题〔此题有10小题，每题3分，共30分〕
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵d=6，r=8，
∴d
故答案为：A.
【分析】根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断，即当d
2.【答案】 C
【解析】【解答】解： 把抛物线 向右平移1个单位， 得到的解析式为：，
再把向上平移一个单位，得到的解析式为：.
故答案为：C.
【分析】对于二次函数y=a(x+h)2+k, 根据抛物线的平移规律：即左右平移在h后左加右减，上下平移在k后上加下减即可求出结果.
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、“2月份有31天〞属于不可能事件，故不符合题意；
B、“一个等腰三角形中，有两条边相等〞属于必然事件，故符合题意；
C、“明天的太阳从西边出来〞属于不可能事件，故不符合题意；
D、“投掷一枚质地均匀的骰子，出现6点向上〞属于随机事件，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据必然事件、不可能事件及随机事件的概念可直接进行排除选项.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠C+∠A=180°，
∴∠C=180°-∠A=180°-85°=95°.
故答案为：C.
【分析】因为圆内接四边形对角互补，据此列式计算即可.
5.【答案】 B
【解析】【解答】y＝4x中y随x的增大而增大，A不符题意，
y＝﹣4x中y随x的增大而减小，B符合题意，
y＝x﹣4中y随x的增大而增大，C不符题意，
y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，D不符合题意，
故答案为：B．
【分析】在y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小，据此判断A、B、C.在y＝x2中，a=1＞0，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；在对称轴左侧，y随x的增大而减小，据此判断D.
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，作BA⊥y轴，交圆于B点，作BD⊥x轴，AB与AC的垂直平分线分别为MN和PQ，
MN与PQ交于一点E，那么E为圆心，
∵ 点A〔0，3〕、点B〔4，3〕， 点C〔0，﹣1〕，
∴AB=4，AC=4，
∴E〔2,1〕，
∴AE=.
故答案为：D.
【分析】先找出圆心并求出圆心的坐标，作BA⊥y轴，交圆于B点，作BD⊥x轴，AB与AC的垂直平分线分别为MN和PQ，MN与PQ交于一点E，那么E为圆心，现知A、E点坐标，根据两点间距离公式求半径即可.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，C1 ， C2 ， C3 ， C4均可与点A和B组成直角三角形．
P= ，
应选：D．
【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．
8.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD，
∴ ，
∵OC是半径，
∴OC⊥AD，AF=DF，
∵OA=OB，
∴OC∥BD，
故A、B、D正确，C错误；
故答案为：C.
【分析】由题意易得 ，那么根据垂径定理及推论可进行排除选项.
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD.
故答案为：D.
【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断.
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵A〔2，0〕，
∴OA＝2，
设P〔0，m〕，那么OP＝m，
作QM⊥y轴于M，
∵∠APQ＝90°，
∴∠OAP＋∠APO＝∠APO＋∠QPM，
∴∠OAP＝∠QPM，
∵∠AOP＝∠PMQ＝90°，PA＝PQ，
∴△AOP≌△PMQ〔AAS〕，
∴MQ＝OP＝m，PM＝OA＝2，
∴Q〔m，m＋2〕，
∵B〔4，0〕，
∴BQ＝ ＝ ，
∴当m＝1时，BQ有最小值 ，
故答案为：A.
【分析】设P〔0，m〕，那么OP＝m，通过证得△AOP≌△PMQ求得Q的坐标，然后根据勾股定理得到BQ＝ ，即可求得当m＝1时，BQ有最小值 .
二、填空题：〔此题有6小题，每题4分，共24分〕
11.【答案】 直线x=-1
【解析】【解答】解：抛物线 的对称轴是直线 ，
故答案为：直线x=-1.
【分析】根据二次函数的对称轴公式x=可求解.
12.【答案】 6
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，
∵AB=16，
∴AD= AB= ×16=8，
在Rt△AOD中，
∵OA2=OD2+AD2 ， 即102=OD2+82 ， 解得，OD=6.
故答案为：6.
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，先由垂径定理求出AD的长，再在Rt△AOD中利用勾股定理求出OD的长即可.
13.【答案】 54°
【解析】【解答】解：由题意得： ， ，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=63°，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
故答案为54°
【分析】根据题意易得 ， ，那么有 ， ，进而可求 ，然后问题得解.
14.【答案】
【解析】【解答】解：列表如下，
∵共有36种等可能结果，他们各掷一次所确定的点P落在抛物线y=﹣x2+4x上的有：〔1，3〕，〔2,4〕，〔3,3〕 ，
∴P=.
故答案为： .
【分析】列表列出所有可能出现的等可能结果，再找出符合条件的结果数，最后求概率即可.
15.【答案】 ②④
【解析】【解答】解：①∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点P〔2，y3〕关于x=1的对称点为P′〔0，y3〕，
∵a=-1＜0，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
又∵-2＜0＜ ，点M〔-2，y1〕、点N〔 ，y2〕、点P′〔0，y3〕在该函数图象上，
∴y2＞y3＞y1 ， 故①的结论错误；
②将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y=-〔x+2〕2+2〔x+2〕x+m+1-2，即y=-〔x+1〕2+m，故此小题结论正确；
③把y=m+3代入y=-x2+2x+m+1中，得x2-2x+2=0，
∵△=4-8＜0，
∴此方程没有实数根，那么抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+3没有交点，故此小题结论正确；
④当m=1时，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+2，
∴A〔0，2〕，C〔2，2〕，B〔1，3〕，
作点B关于y轴的对称点B′〔-1，3〕，作C点关于x轴的对称点C′〔2，-2〕，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，
那么BE+ED+CD+BC=B′E+ED+C′D+BC=B′C′+BC，
根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，
∴此时，四边形BCDE周长=B′C′+BC最小，为： ，故此小题结论正确；
故答案为：②④.
【分析】①根据二次函数的性质进行判断；②根据平移的公式求出平移后的解析式便可；③把y=m+3代入y=-x2+2x+m+1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得判断正误；④因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值.
16.【答案】 y＝﹣ x2+ x
【解析】【解答】解：连接DE，
因为△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平方 ，
又∵PE平分 ，
∴ ，
BP=x，BE=y，BC=5，AB=3，
即在Rt△PCD中， ， ，
即 ，
在Rt△EBP中，BP=x，BE=y，
故 ，
在Rt△ADE中， ， ，
故 ，
在Rt△PDE中， ，
即 ，
化简得：y＝﹣ x2+ x.
故答案是y＝﹣ x2+ x.
【分析】根据题意，连接DE，因为△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平方 ，再根据PE平分 ，可知 ，再根据BP=x，BE=y，BC=5，AB=3，分别用x，y表示出PD，EP，DE，再根据勾股定理计算即可；
三、解答题：〔此题有8个小题，共66分〕
17.【答案】 〔1〕解：先分别作线段AB、AC的垂直平分线EF、GH，EF与GH相交于点O，再连接OB，以点O为圆心，以OB的长为半径作圆，圆O即为 的外接圆.
〔2〕解：在优弧BC上任取一点D，连接BD，CD，
∵∠BOC=128°，
∴∠BDC=∠BOC=64°，
∴∠BAC=180°-∠BDC=116°.
【解析】【分析】〔1〕由线段的垂直平分线的性质可知： △ABC的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，根据两直线相交只有一个交点可用尺规作出两边的垂直平分线，其交点就是圆心，再以交点为圆心、交点到其中一个顶点的长为半径画圆即可求解；
〔2〕根据圆周角定理“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半〞可求解.
18.【答案】 〔1〕解：设所求抛物线的解析式为：y＝ax2〔a≠0〕，
由CD＝10m，可设D〔5，b〕，
由AB＝20m，水位上升3m就到达警戒线CD，
那么B〔10，b﹣3〕，把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，解得 .
∴y＝
〔2〕解：∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1m，∴ ＝5〔小时〕.
所以再持续5小时到达拱桥顶
【解析】【分析】〔1〕 根据CD的长度，设D〔5，b〕，再根据水位上升3m就到达警戒线CD， 结合AB的长度把B点坐标表示出来，最后根据B、D两点的坐标代入抛物线解析式求出a值，即可求出结果.
〔2〕根据D点坐标，可知拱桥顶O到CD的距离为1m， 于是利用速度公式求出时间即可.
19.【答案】 〔1〕
〔2〕解：根据题意画树状图如下：
共有16种等可能的结果数，小辉和小明恰好选择同一岗位的结果数为4，
所以他们恰好选择同一岗位的概率： ＝
【解析】【解答】解：小辉同学选择清理类岗位的概率为： ＝ ；
故答案为：
【分析】〔1〕共有4个工作岗位，其中清理类岗位2个，据此求概率即可；
〔2〕根据题意画出树状图， 得出共有16种等可能的结果数，其中小辉和小明恰好选择同一岗位的结果数为4，最后求概率即可.
20.【答案】 〔1〕解：将点A的坐标代入函数表达式得：
0＝﹣1﹣4+m，解得：m＝5，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；
〔2〕解：令y＝﹣x2+4x+5＝0，那么x＝﹣1或5，故点B〔5，0〕，
函数顶点C的坐标为：〔2，9〕，故：当0＜x＜5时，
y的取值范围0＜y≤9；
〔3〕解：将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：
，解的
故直线BC的表达式为：y＝﹣3x+15，设点E〔0，n〕，那么点F〔4，n〕，
将点F的坐标代入直线BC的表达式得：n＝3，
故点E〔0，3〕.
【解析】【分析】〔1〕将点A的坐标代入函数表达式，即可求解；〔2〕令y=-x2+4x+5=0，那么x=-1或5，故点B〔5，0〕，函数顶点C的坐标为：〔2，9〕，即可求解；〔3〕将点B、C的坐标代入一次函数表达式可得直线BC的表达式，设点E〔0，m〕，那么点F〔4，m〕，将点F的坐标代入直线BC的表达式，即可求解.
21.【答案】 〔1〕证明：∵OD⊥BC于E，
∴ ＝ ，
∴BD＝CD，
∴△BDC是等腰三角形
〔2〕解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD⊥BC于E，
∴OD∥AC，∵点O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝ AC＝ ×6＝3，在Rt△OBE中，
∵BE＝4，OE＝3，∴OB＝ ＝ ＝5，即OD＝OB＝5，
∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2
【解析】【分析】〔1〕由平行线的性质得出OD⊥BC，由垂径定理可得BD=CD，那么知△BCD是等腰三角形；
〔2〕由三角形中位线定理求得OE的长，再由勾股定理求出OB，即半径的长，最后由线段之间的关系求出DE的长即可.
22.【答案】 〔1〕解： ，
整理得： ；
〔2〕解： ，
整理可得： ，
时w有最大值10240，
即定价为每间340元时，宾馆当天的利润最大为10240元；
〔3〕解： ，
整理得： ，
时w随x的增大而增大，
，
解得： ，
，
.
【解析】【分析】〔1〕根据每天游客居住的房间数量=50-减少的房间数，即可解决问题；〔2〕构造二次函数，利用二次函数的性质解决问题；〔3〕构造二次函数，利用函数的增减性解决问题.
23.【答案】 〔1〕②；④
〔2〕解：设抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，
∴A〔﹣3，0〕，B〔1，0〕，D〔﹣1，﹣4a〕，
∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a对应的“特征轴三角形〞是直角三角形，
∴AB2＝AD2+BD2 ，
∴16＝4+16a2+4+16a2 ，
∴a＝ ；
〔3〕解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE＝CE＝OE＝BE，
∴S△ABE＝ ＝ ×12 ＝3 ，
∵△ABE是抛物线的“特征轴三角形〞，根据抛物线的对称性得，AE＝AB，
∴AE＝AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
过点A作AH⊥BE，
∴AH＝ABsin∠ABE＝ AB＝ BE，
∴ BE2＝3 ，
∴BE＝2 ，
∴AH＝3，EH＝ ，
∴A〔3 ，3〕，E〔2 ，0〕，B〔4 ，0〕，
设抛物线解析式为y＝a〔x﹣3 〕2+3，将点E〔2 ，0〕代入得，a＝﹣1，
∴y＝﹣〔x﹣3 〕2+3＝﹣x2+6 x﹣24.
∴过点A，B，E三点的抛物线的解析式y＝﹣x2+6 x﹣24.
【解析】【解答】解：〔1〕由抛物线y＝x2﹣2 x可得顶点坐标为： ，与x轴的交点坐标为： ，
∴抛物线y＝x2﹣2 x对应的“特征轴三角形〞是等边三角形；
由抛物线y＝ x2﹣2可得顶点坐标为： ，与x轴的交点坐标为： ，
∴抛物线y＝ x2﹣2对应的“特征轴三角形〞是等腰直角三角形；
故答案为②；④；
【分析】〔1〕根据题意先求出这两个抛物线的顶点及与x轴的交点坐标，然后进行求解即可；〔2〕由题意易得抛物线的顶点及与x轴的交点坐标，然后根据题意列方程求解即可；〔3〕如图，过点A作AH⊥x轴，交于点H，由题意易得S△ABE＝ ＝ ×12 ＝3 ，那么有 BE2＝3 ，进而可得A〔3 ，3〕，E〔2 ，0〕，B〔4 ，0〕，然后利用待定系数法求解即可.
24.【答案】 〔1〕解：将点A、B坐标代入二次函数表达式得： ，
解得： ，故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，
令y＝0，那么x＝﹣1或﹣5，
即点C〔﹣1，0〕
〔2〕解：①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝x+1…②，
设点G〔t，t+1〕，那么点P〔t，t2+6t+5〕，
S△PBC＝ PG〔xC﹣xB〕＝ 〔t+1﹣t2﹣6t﹣5〕＝﹣ t2﹣ t﹣6，
∵- ＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣ 时，其最大值为 ；
②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为〔﹣ ，﹣ 〕，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点〔﹣ ，﹣ 〕代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，
联立③④并解得：x＝﹣2，即点H〔﹣2，﹣2〕，
同理可得直线BH的表达式为：y＝ x﹣1…⑤，
联立①⑤并解得：x＝﹣ 或﹣4〔舍去﹣4〕，
故点P〔﹣ ，﹣ 〕；
当点P〔P′〕在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
那么直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4〔舍去﹣4〕，
故点P〔0，5〕；
故点P的坐标为P〔﹣ ，﹣ 〕或〔0，5〕
【解析】【分析】〔1〕利用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
〔2〕 ① 过点P作y轴的平行线交BC于点G， 利用待定系数法求出直线BC的表达式， 设点G〔t，t+1〕，把点P的坐标用含t的代数式表示，据此把△PBC的面积用含t的代数式表示，由于这是一个关于t的二次函数式，最后配方求出最值即可；
②分两种情况讨论，i〕设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，根据等腰三角形的性质可得H在BC的垂直平分线上，然后求出垂直平分线的表达式，再用待定系数法求出直线CD的表达式，两式联立求出H点坐标，那么直线BH的表达式可求，其与抛物线的表达式联立求出P点坐标即可；ii〕 当点P〔P′〕在直线BC上方时， 根据平行线的判断定理可得BP′∥CD， 那么可求出直线BP'的表达式，其与抛物线解析式联立即可求出P'点坐标.
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