教科版 (2019)必修 第一册6 共点力作用下物体的平衡导学案

这是一份教科版 (2019)必修 第一册6 共点力作用下物体的平衡导学案，共14页。


一、共点力作用下物体的平衡状态
如果物体保持静止或匀速直线运动状态，就说这个物体处于平衡状态．
二、共点力作用下物体的平衡条件
1．平衡条件的概念：
要使物体保持平衡状态，作用在物体上的力必须满足一定的条件．
2．共点力作用下物体的平衡条件：物体受到的合力为零，即F合＝0.或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Fx合＝0,Fy合＝0，))
3．三力平衡：当物体受到三个共点力处于平衡状态时，其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反．
1．判断下列说法的正误．
(1)作用在一个物体上的两个力，如果大小相等、方向相反，这两个力一定平衡．( × )
(2)某时刻物体的速度为零，物体一定处于平衡状态．( × )
(3)物体处于平衡状态时加速度一定为零．( √ )
(4)如果一个物体受到三个共点力作用而保持静止状态，则其中任意两力的合力与第三力等大、反向．( √ )
2.如图1所示，静止于倾角为30°的斜面上的物体，重力为10 N，则它受到的支持力为____________ N，摩擦力为________ N.
图1
答案 5eq \r(3) 5
一、共点力平衡的条件
1．平衡状态
(1)物体处于静止或匀速直线运动的状态．
(2)对“平衡状态”的理解
不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，所以Δv＝0，a＝eq \f(Δv,Δt)，对应加速度为零，速度为零不代表a＝0.
例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬间速度为零，但这一状态不可能保持，因而上抛物体在最高点不能称为静止，即速度为零不等同于静止．
2．共点力平衡的条件
(1)共点力平衡的条件是合力为0.
(2)表示为：F合＝0；或将各力分解到x轴和y轴上，满足Fx合＝0，且Fy合＝0.
①二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向．
②三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向．
③多力平衡：若物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力与其余所有力的合力等大、反向．
(3)当物体受三个力平衡，将表示这三个力的有向线段依次首尾相连，则会构成一个矢量三角形，表示合力为0.
物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图2所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：
图2
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；
(2)若将F1转过90°，物体所受的合力大小．
答案 (1)10 N 水平向左 (2)10eq \r(2) N
解析 (1)五个共点力平衡时合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为F＝10 N，方向水平向左．
(2)若将F1转过90°，则F1与其余四个力的合力垂直，F合＝eq \r(F12＋F2)＝eq \r(102＋102) N＝10eq \r(2) N.
二、共点力平衡条件的应用
求解共点力平衡问题的一般步骤：
(1)根据问题的要求，恰当地选取研究对象．
(2)对研究对象进行受力分析，画出受力分析图．
(3)通过平衡条件，找出各个力之间的关系，或由平衡条件列方程，即Fx合＝0，Fy合＝0.
(4)联立方程求解，必要时对结果进行讨论．
命题角度1 三力平衡问题
(多选)(2020·玉门一中高一期中)如图3所示，是一种测定风作用力的仪器的原理图，它能自动随着风的转向而转向，使风总从图示方向吹向小球P.P是质量为m的金属球，固定在一细长刚性金属丝下端，能绕悬挂点O在竖直平面内摆动，无风时金属丝自然下垂，有风时金属丝将偏离竖直方向一定角度θ，角θ大小与风力大小有关，下列关于风力F、刚性金属丝拉力T与角度θ的关系式正确的是(重力加速度为g)( )
图3
A．F＝mgsin θ B．F＝mgtan θ
C．T＝mgcs θ D．T＝eq \f(mg,cs θ)
答案 BD
解析 选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示．金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零．可用以下三种方法求解．
解法一 力的合成法
将风力F和拉力T合成如图乙所示，由平衡条件知F与T的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtan θ，T＝eq \f(mg,cs θ).
解法二 正交分解法
以金属球的重心为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丙所示．由于金属球处于平衡状态，故水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合都等于零，即
Fx合＝Tsin θ－F＝0
Fy合＝Tcs θ－mg＝0
解得F＝mgtan θ，T＝eq \f(mg,cs θ).
解法三 矢量三角形法
把表示重力、风力、拉力的有向线段依次首尾相连构成一个矢量三角形，如图丁所示
由图可知，F＝mgtan θ
T＝eq \f(mg,cs θ).
处理三力平衡问题的常用方法
命题角度2 多力平衡问题
如图4所示，一质量m＝6 kg的物块，置于水平地面上，物块与地面间的动摩擦因数μ＝eq \f(1,3)，为了使物块沿水平地面做匀速直线运动，现用一与水平方向夹角为37°的力斜向上拉物块，求拉力大小．(已知sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2)
图4
答案 20 N
解析 物块做匀速直线运动，所以物块处于平衡状态，受力分析如图，将拉力沿水平方向和竖直方向分解，则
在水平方向有：Tcs 37°＝f
在竖直方向有：N＝mg－Tsin 37°
且f＝μN
代入数据解得T＝20 N.
1．当物体受到不在一条直线上的三个或多个共点力处于平衡状态时，一般要采用正交分解法．
2．建立坐标系原则：使尽可能多的力落在x、y轴上，这样需要分解的力比较少，计算方便．
3．当物体处于平衡状态时，根据共点力平衡的条件，x轴、y轴上合力均为0，列式(Fx＝0，Fy＝0)求解．
针对训练 如图5所示，物体的质量m＝4.4 kg，用与竖直方向成θ＝37°的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上做匀速直线运动．物体与墙壁间的动摩擦因数μ＝0.5，取重力加速度g＝10 N/kg，求推力F的大小．(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
图5
答案 88 N或40 N
解析 若物体向上做匀速直线运动，受力分析如图甲所示，
Fcs θ＝mg＋f
Fsin θ＝N
f＝μN
故推力F＝eq \f(mg,cs θ－μsin θ)＝eq \f(4.4×10,0.8－0.5×0.6) N＝88 N
若物体向下做匀速直线运动，受力分析如图乙所示，
Fcs θ＋f′＝mg
Fsin θ＝N′
f′＝μN′
故推力F＝eq \f(mg,cs θ＋μsin θ)＝eq \f(4.4×10,0.8＋0.5×0.6) N＝40 N.
1．(平衡条件的理解和应用)如图6所示，一物体静止在斜面上，则斜面对物体的作用力方向( )
图6
A．沿斜面向上
B．垂直斜面向上
C．竖直向上
D．无法判断
答案 C
解析 对物体受力分析，物体受三个力，重力、支持力和摩擦力，斜面对物体的作用力是支持力与摩擦力的合力，与重力等大反向．
2．(三力平衡问题)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图7所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，重力加速度为g，则ac绳和bc绳中的拉力大小分别为( )
图7
A.eq \f(\r(3),2)mg，eq \f(1,2)mg
B.eq \f(1,2)mg，eq \f(\r(3),2)mg
C.eq \f(\r(3),4)mg，eq \f(1,2)mg
D.eq \f(1,2)mg，eq \f(\r(3),4)mg
答案 A
解析 对结点c受力分析如图所示，设ac绳受到的拉力为T1、bc绳受到的拉力为T2，根据平衡条件知T1、T2的合力T与重力mg等大、反向，由几何知识得
T1＝Tcs 30°＝eq \f(\r(3),2)mg，
T2＝Tsin 30°＝eq \f(1,2)mg.选项A正确．
3．(多力平衡问题)(2021·山丹县第一中学高一月考)如图8所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上，使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两力之比eq \f(F1,F2)为( )
图8
A．cs θ＋μsin θ B．cs θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
答案 B
解析 当用推力F1作用于物体时，物体的受力情况如图甲，根据平衡条件得
沿斜面方向：F1＝mgsin θ＋f
垂直斜面方向N＝mgcs θ，
又f＝μN
联立解得F1＝mgsin θ＋μmgcs θ，
当用推力F2作用于物体时，物体的受力情况如图乙，根据平衡条件得
沿斜面方向：F2cs θ＝mgsin θ＋f′，
垂直斜面方向：N′＝mgcs θ＋F2sin θ，
又f′＝μN′
联立解得：
F2＝eq \f(mgsin θ＋μmgcs θ,cs θ－μsin θ)，所以
eq \f(F1,F2)＝eq \f(mgsin θ＋μmgcs θ,\f(mgsin θ＋μmgcs θ,cs θ－μsin θ))＝cs θ－μsin θ，故选B.
考点一 平衡状态与平衡条件
1．(多选)下列物体中处于平衡状态的是( )
A．静止在粗糙斜面上的物体
B．在平直路面上匀速行驶的汽车
C．做自由落体运动的物体在刚开始下落的瞬间
D．物体的速度在某一时刻为零，则物体处于平衡状态
答案 AB
2．(多选)(2020·长春外国语学校高一期末)下列哪组力作用在物体上，有可能使物体处于平衡状态( )
A．3 N,4 N,8 N B．3 N,5 N,1 N
C．4 N,7 N,8 N D．7 N,9 N,6 N
答案 CD
3.如图1所示，某个物体在F1、F2、F3、F4四个力的作用下处于静止状态．若保持F4大小不变、方向改变180°，其余三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受到的合力大小为( )
图1
A.eq \r(2)F4 B．2F4
C．F4 D.eq \r(3)F4
答案 B
考点二 共点力平衡条件的应用
4.(多选)如图2所示，两根等长的轻绳将日光灯悬挂在天花板上，两绳与竖直方向的夹角都为45°，日光灯保持水平，所受重力为G.则( )
图2
A．两绳对日光灯拉力的合力大小等于G
B．两绳的拉力和重力不是共点力
C．两绳的拉力大小均为eq \f(\r(2),2)G
D．两绳的拉力大小均为eq \f(G,2)
答案 AC
解析 对日光灯受力分析如图，两绳拉力的作用线与重力作用线的延长线交于一点，这三个力是共点力，B选项错误；由于日光灯在两绳拉力和重力作用下处于静止状态，所以两绳的拉力的合力与重力G等大反向，A选项正确；由于两个拉力的夹角成直角，且都与竖直方向成45°角，则由力的平行四边形定则可知G＝eq \r(T12＋T22)，且T1＝T2，故T1＝T2＝eq \f(\r(2),2)G，C选项正确，D选项错误．
5.如图3所示，一只氢气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右．细绳与竖直方向的夹角为α，绳的拉力为T，则风对气球的作用力大小为( )
图3
A．Tsin α B．Tcs α
C.eq \f(T,sin α) D.eq \f(T,cs α)
答案 A
解析 气球在风中处于静止状态，受力平衡，合力为零，对气球受力分析得，气球受到重力、浮力、拉力和水平方向上风的作用力，由水平方向上受力平衡得：F风＝Tsin α，故A正确．
6．如图4所示，两轻质弹簧a、b悬挂一小铁球处于平衡状态，a弹簧与竖直方向成30°角，b弹簧水平，a、b的劲度系数分别为k1、k2，则a、b两弹簧的伸长量x1与x2之比为( )
图4
A.eq \f(2k2,k1) B.eq \f(k2,k1) C.eq \f(k1,k2) D.eq \f(k2,2k1)
答案 A
解析 a弹簧的弹力Fa＝k1x1，b弹簧的弹力Fb＝k2x2，小球处于平衡状态，必有Fasin 30°＝Fb.即：k1x1sin 30°＝k2x2，故eq \f(x1,x2)＝eq \f(2k2,k1)，A正确．
7．如图5所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心．一质量为m的小滑块，在水平推力F的作用下静止于P点．设滑块所受支持力为N，OP与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g，下列关系正确的是( )
图5
A．F＝eq \f(mg,tan θ) B．F＝mgtan θ
C．N＝eq \f(mg,tan θ) D．N＝mgtan θ
答案 A
解析 对滑块受力分析如图所示，由平衡条件知，重力mg和推力F的合力与支持力N等大、反向，
由几何关系知：F＝eq \f(mg,tan θ)，N＝eq \f(mg,sin θ)，故A正确．
8．(多选)(2021·华中师大一附中期中)如图6甲所示，笔记本电脑底座一般设置有四个卡位用来调节角度，某同学将电脑放在散热底座上，为了获得更好的使用舒适度，由原卡位1调至卡位4(如图乙)，电脑始终处于静止状态，则( )
图6
A．电脑受到的支持力变大
B．电脑受到的摩擦力变大
C．散热底座对电脑的作用力的合力不变
D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力
答案 AC
解析 对电脑受力分析，如图所示，电脑受到的支持力N＝mgcs θ，由原卡位1调至卡位4，θ减小，故N增大，故A正确；电脑受到的摩擦力f＝mgsin θ，θ减小，f减小，故B错误；由平衡条件知，底座对电脑的作用力的合力与电脑重力等大、反向，故C正确；电脑受到的支持力与摩擦力两力矢量和与其重力大小相等，但电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和大于其重力，故D错误．
9.目前，许多社区均已配备了公共体育健身器材，如图7所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座椅悬挂在竖直支架上等高的两点，由于长期使用，导致两根支架向内发生了微小倾斜，如图中虚线所示，但两悬挂点仍等高，座椅静止时所受合力的大小用F表示，F1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，则( )
图7
A．F不变，F1变小 B．F不变，F1变大
C．F变小，F1变小 D．F变大，F1变大
答案 A
解析 对座椅受力分析如图所示，座椅静止，则合力F＝0，不变．因两悬挂点等高，则F2＝F1＝eq \f(G,2cs θ)，支架内倾，θ变小，则F1变小．
10.(2020·上海复旦附中期中)如图8所示，物块在力F作用下向右沿水平方向匀速运动，则物块受到的摩擦力f与拉力F的合力方向应该是( )
图8
A．水平向右 B．竖直向上
C．向右偏上 D．向左偏上
答案 B
11．(多选)如图9所示，不计质量的光滑小滑轮用细绳悬挂于墙上的O点，跨过滑轮的细绳连接物块A、B，A、B都处于静止状态，现将物块B从水平面上的C点移至D点后，A、B仍保持静止，下列说法正确的是( )
图9
A．B与水平面间的摩擦力减小
B．水平面对B的弹力增大
C．悬于墙上的绳所受拉力减小
D．A、B静止时，图中α、β两角始终相等
答案 AD
解析 对A分析，由于A保持静止，故绳子的拉力等于A的重力；绳子对B的拉力大小也保持不变，等于A的重力；对B分析，B向左移动时，绳与水平面的夹角变大，则绳拉力的水平分量减小，而水平方向B受力平衡，则摩擦力减小；绳拉力的竖直分量变大，则水平面对B的弹力减小，故A正确，B错误．由于滑轮两侧的绳夹角减小，而两拉力大小不变，故悬于墙上的绳子的拉力将变大，C错误．对滑轮分析，拉A的绳子与墙一直平行，所以α＝θ；因滑轮两侧的绳子的拉力相等，而拉滑轮的力与两段绳子的力的合力大小相等，则拉滑轮的力应在这两段绳子拉力的角平分线上，故α、β、θ三角始终相等，D正确．
12．(2021·莆田一中段考)如图10所示，放在粗糙水平面上的物块A和悬挂的物块B均处于静止状态，绳AC水平，劲度系数为k＝300 N/m的轻弹簧中轴线CD与水平方向的夹角α＝37°，弹簧伸长量为x＝5 cm.求：(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
图10
(1)物块A受到的摩擦力的大小；
(2)物块B的重力的大小．
答案 (1)12 N (2)9 N
解析 (1)、(2)根据胡克定律得FCD＝kx＝300×0.05 N＝15 N
对C点进行受力分析，将FCD正交分解，
由平衡条件得，FCDcs α＝FAC
FCDsin α＝GB
对A由平衡条件得：fA＝FAC
解得fA＝12 N，GB＝9 N.
13．(2020·海安高级中学高一期中)如图11所示，两个正三棱柱A、B紧靠着静止于水平地面上，三棱柱的中间有一个半径为R的光滑圆柱C，C的质量为2m，A、B的质量均为m.A、B与地面的动摩擦因数为μ.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.
图11
(1)三者均静止时A对C的支持力为多大？
(2)A、B若能保持不动，μ应满足什么条件？
答案 (1)2mg (2)μ≥eq \f(\r(3),2)
解析 (1)对圆柱C受力分析，如图所示，圆柱C受力平衡，根据平衡条件可得2Ncs 60°＝2mg
解得N＝2mg；
(2)对A进行受力分析，如图所示
A受力平衡，N地＝N′cs 60°＋mg
f＝N′sin 60°
又N′＝N＝2mg
要使A保持不动，即f≤μN地，
联立以上各式，解得μ≥eq \f(\r(3),2).方法
内容
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等、方向相反
正交分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
矢量三角形法
对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力