备战2022 中考数学 人教版 第十九讲 讲矩形、菱形、正方形练习题

第十九讲　矩形、菱形、正方形

矩形的判定与性质

1．矩形的对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形．

2．矩形的判定思路，一般四边形⇒平行四边形⇒矩形；注意，起点是一般四边形和平行四边形，所需要添加的条件不同．

菱形的判定与性质

1．菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形．

2．菱形的判定思路，一般四边形⇒平行四边形⇒菱形；注意，起点是一般四边形和平行四边形，所需要添加的条件不同．

3．不只是菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，其实对角线垂直的所有四边形的面积都是如此．

4．由于每条对角线所在的直线是菱形的对称轴，对角顶点是对称点，菱形和正方形常常与求最短距离相结合．

正方形的判定与性质

1．依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．

2．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．

3．对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形(如菱形的中点四边形是矩形)，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形(如矩形的中点四边形是菱形)，对角线垂直且相等的四边形的中点四边形定为正方形(如正方形的中点四边形是正方形).

1．对角线相等的四边形是正方形．(     )

2．对角线互相平分的矩形是正方形．(     )

3．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形．(     )

4．邻边相等的矩形是正方形．(     )

考点一　矩形的性质与判定

【典例1】(2020·沈阳中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O.

(1)求证：△AOM≌△CON；

(2)若AB＝3，AD＝6，请直接写出AE的长为________．

应用转化思想解决矩形问题：以矩形为背景的题目，易出现全等三角形，等腰三角形以及直角三角形，要充分应用转化思想，根据三角形的有关知识解决问题．

1．(2020·广州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE＋EF的值为(     )

A．    B．    C．    D．

2．(2021·绍兴中考)图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30 cm，则BC长为__      __cm(结果保留根号).

3.(2021·连云港中考)如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．

(1)求证：四边形ACED是平行四边形；

(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．

4．(2020·牡丹江中考)在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，S△ABC＝6.以BC为边作周长为18的矩形BCDE，M，N分别为AC，CD的中点，连接MN.请你画出图形，并直接写出线段MN的长．

考点二　菱形的性质与判定

【典例2】(2020·云南中考)如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，垂足为F，

(1)若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；

(2)若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．

【例题变式】(变换条件)(2021·随州中考)如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)证明四边形BEDF是菱形．

菱形判定方法的选择

(1)若四边形(或可证)为平行四边形，则再证一组邻边相等或对角线互相垂直．

(2)若相等的边较多(或容易证出)时，可证四条边相等．

1．(2021·陕西中考)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC，BD，则的值为(     )

A．　　　B．　　　C．　　　D．

2．(2020·无锡中考)如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝__      __°.

3．(2020·恩施州中考)如图，AE∥BF，BD平分∠ABC交AE于点D，点C在BF上且BC＝AB，连接CD.

求证：四边形ABCD是菱形．

4．(2020·连云港中考)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N.

(1)求证：四边形BNDM是菱形；

(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．

考点三　正方形的性质与判定

【典例3】(2021·邵阳中考)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.连接DE，DF，BE，BF.

(1)证明：△ADE≌△CBF.

(2)若AB＝4，AE＝2，求四边形BEDF的周长．

正方形判定及性质的应用技巧

(1)判定的两种思路：证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证一个角是直角或对角线相等．

(2)性质的兼容并蓄：正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有它们所有的性质．

(3)易得全等三角形：正方形被两条对角线分割为四个全等的等腰直角三角形，在正方形中对称画出分割线，很容易得到另外的全等三角形．

1．(2020·台州中考)下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；

②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是(     )

A.由②推出③，由③推出①　  B．由①推出②，由②推出③

C．由③推出①，由①推出②    D．由①推出③，由③推出②

2.(2021·重庆中考)如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为(     )

A．60°　　　B．65°　　　C．75°　　　D．80°

3．(2021·荆门中考)如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF＝90°，且EF＝AE，FH⊥BH.

(1)求证：BE＝CH；

(2)若AB＝3，BE＝x，用x表示DF的长．

4.(2020·山西中考)综合与实践

问题情境：

如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′(点A的对应点为点C).延长AE交CE′于点F，连接DE.

猜想证明：

(1)试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；

(2)如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明；

解决问题：

(3)如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．

人教八年级下册　P67　T4

如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD.

求证：四边形OCED是菱形．

(变换问法)(2021·恩施州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且DE∥AC，AE∥BD，连接OE.求证：OE⊥AD.

(变换条件和问法)(2020·张家界中考)如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F.

(1)求证：△DOE≌△BOF；

(2)若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．