甘肃省兰州市第五中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学【试卷+答案】

这是一份甘肃省兰州市第五中学2021-2022学年高一上学期第一次月考数学【试卷+答案】，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列给出的对象中，能组成集合的是（ ）
A．一切很大的数B．好心人
C．漂亮的小女孩D．方程x2﹣1＝0的实数根
2．已知集合A＝{x|x＞1}，则下列判断正确的是（ ）
A．0∈AB．{2}⊆AC．2⊆AD．∅∈A
3．设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2}
4．“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中“破楼兰”是“终不还”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（ ）
A．∃x
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2+2x+2＞0
D．至少有一个实数x，使x3+1＝0
6．已知A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣2，﹣1，1}，则A∪B的真子集的个数为（ ）
A．31B．15C．7D．3
7．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x，3}，若A∩B＝{1}，则x＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
8．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≥a}．若A∪B＝B，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a＞2D．a≥2
二、多选题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．A∩（B∪C）B．A∪（B∩C）
C．A∩∁U（B∩C）D．（A∩B）∪（A∩C）
10．已知p：x2+x﹣6＝0；q：ax+1＝0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（ ）
A．﹣2B．C．D．
11．已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|x≤3}，则集合{x|x≤﹣3或x≥1}＝（ ）
A．M∩NB．M∪NC．∁M（M∩N）D．∁M（M∪N）
12．对任意集合A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈（A∪B），x∉（A∩B）}，并称A⊕B为集合A，B的对称差，如A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}．下列命题中为真命题的是（ ）
A．.若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅
B．.若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B
C．存在A，B⊆R，使得A⊕B≠B⊕A
D．.存在A，B⊆R，使得A⊕B＝（∁RA）⊕（∁RB）
三、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，）
13．命题∀x∈R，x2﹣2x+4≤0的否定为 ．
14．已知P＝a2+2a，Q＝4a﹣2，则P Q．（填“＞”或“＜”）
15．已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是 ．
16．设集合M＝{1，2，3，4，6}，S1，S2，…，Sk都是M的含有两个元素的子集，则k＝ ；若集合A是由这k个元素（S1，S2，…，Sk）中的若干个组成的集合，且满足对任意的Si＝{ai，bi}、Sj＝{aj，bj}（i≠j，i，j∈{1，2，3，…，k}）都有ai＜bi，aj＜bj，且，则A中元素个数的最大值是 ．
四、解答题（本题共计6小题，共计70分，）
17．（10分）写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0；
（2）q：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0．
18．（12分）已知集合A＝{x∈R|mx2﹣2x+1＝0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
（1）A＝∅；
（2）A恰有两个子集．
19．（12分）知集合A＝{x|﹣5≤x≤6}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．
（1）当m＝﹣3时，求A∩B，A∪B；
（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
20．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，B＝{x|x2+ax+6＝0}．
（1）若B＝∅，求a的取值范围；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．
21．（12分）已知全集为R，集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|3x﹣7≥8﹣2x}．
（1）求A∩B；
（2）若C＝{x|a﹣4≤x≤a+4}，且“x∈C”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，求a的取值范围．
22．（12分）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+a+3＝0有实数根，命题q：m﹣1≤a≤m+1．
（Ⅰ） 若￢p是真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
2021-2022学年甘肃省兰州五中高一（上）第一次段考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共计8小题，每题5分，共计40分.）
1．下列给出的对象中，能组成集合的是（ ）
A．一切很大的数B．好心人
C．漂亮的小女孩D．方程x2﹣1＝0的实数根
【分析】从集合的定义入手，由集合中的元素是确定性、互异性、无序性判定选项的正误即可．
【解答】解：对于A：一切很大的数，B：好心人，C：漂亮的的小女孩，
描述不够准确具体，元素不能确定，所以都不正确；
选项D：方程x2﹣1＝0的实数根为±1，元素是确定的，具体的，是正确的．
故选：D．
2．已知集合A＝{x|x＞1}，则下列判断正确的是（ ）
A．0∈AB．{2}⊆AC．2⊆AD．∅∈A
【分析】先区分是集合还是元素，而后选用符合的符号．
【解答】解：∵集合A＝{x|x＞1}，
∴0∉A，{2}⊆A，2∈A，∅⊆A
故选：B．
3．设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{0，1，2}
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：集合A＝{﹣2，﹣1，0，1}，B＝{x|﹣2＜x＜2}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}．
故选：B．
4．“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”是我国唐代著名诗人王昌龄的《从军行》中的两句诗，描写了当时战事的艰苦以及戍边将士的豪情壮志，从逻辑学的角度看，最后一句中“破楼兰”是“终不还”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】利用充要条件的定义判定即可．
【解答】解：∵破楼兰可能终还也可能终不还，终不还可能破楼兰也可能不破楼兰，
∴破楼兰是终不还的既不充分也不必要条件，
故选：D．
5．下列命题的否定是全称量词命题且为真命题的有（ ）
A．∃x
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2+2x+2＞0
D．至少有一个实数x，使x3+1＝0
【分析】由存在性命题和全称命题的定义，以及常用结论的应用，即可判断．
【解答】解：∵B是全称命题，其否定为特称命题，故排除，
A是特称命题，其否定为：∀x，即（x﹣）2≥0为真命题，
C是特称命题，其否定为：∀x∈R，x2+2x+2≤0，即（x+1）2+1≤0为假命题，
D是特称命题，其否定为：任意实数x，都有x3+1≠0，﹣1代入不成立，为假命题，
故选：A．
6．已知A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣2，﹣1，1}，则A∪B的真子集的个数为（ ）
A．31B．15C．7D．3
【分析】由并集的定义和真子集个数2n﹣1，可得结论．
【解答】解：由A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣2，﹣1，1}，
则A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}，
可得A∪B的真子集的个数为24﹣1＝15．
故选：B．
7．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x，3}，若A∩B＝{1}，则x＝（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{0，1，2}，B＝{x，3}，A∩B＝{1}，
∴x＝1．
故选：B．
8．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≥a}．若A∪B＝B，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a＞2D．a≥2
【分析】根据A与B的子集关系，借助数轴求得a的范围．
【解答】解：因为A∪B＝B，所以A⊆B，
由集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|x≥a}，
所以a≤1．
故选：B．
二、多选题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．A∩（B∪C）B．A∪（B∩C）
C．A∩∁U（B∩C）D．（A∩B）∪（A∩C）
【分析】利用韦恩图直接求解．
【解答】解：图中阴影部分用集合符号可以表示为：
A∩（B∪C）或（A∩B）∪（A∩C）．
故选：AD．
10．已知p：x2+x﹣6＝0；q：ax+1＝0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（ ）
A．﹣2B．C．D．
【分析】求解一元二次方程化简p，由p是q的必要不充分条件，可得方程ax+1＝0的解集是方程x2+x﹣6＝0的解集的非空真子集，由此求解实数a的值．
【解答】解：由x2+x﹣6＝0，得x＝﹣3或x＝2，即p：x＝﹣3或x＝2；
q：ax+1＝0，
∵p是q的必要不充分条件，∴方程ax+1＝0的解集是集合{2，﹣3}的非空真子集，
则＝2，或，即a＝或a＝．
故选：BC．
11．已知集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|x≤3}，则集合{x|x≤﹣3或x≥1}＝（ ）
A．M∩NB．M∪NC．∁M（M∩N）D．∁M（M∪N）
【分析】根据题意和交、并、补集的运算，分别求出M∩N、M∪N、∁M（M∩N）、∁M（M∪N），即可得答案．
【解答】解：因为集合M＝{x|﹣3＜x＜1}，N＝{x|x≤3}，
所以M∩N＝{x|﹣3＜x＜1}，
M∪N＝{x|x≤3}，
则∁M（M∩N）＝{x|x≤﹣3或x≥1}，
∁M（M∪N）＝{x|x＞3}，
故选：C．
12．对任意集合A，B⊆R，记A⊕B＝{x|x∈（A∪B），x∉（A∩B）}，并称A⊕B为集合A，B的对称差，如A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则A⊕B＝{1，4}．下列命题中为真命题的是（ ）
A．.若A，B⊆R且A⊕B＝B，则A＝∅
B．.若A，B⊆R且A⊕B＝∅，则A＝B
C．存在A，B⊆R，使得A⊕B≠B⊕A
D．.存在A，B⊆R，使得A⊕B＝（∁RA）⊕（∁RB）
【分析】对于A：由A⊕B＝B，则B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，即A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，即可判断A是否正确；
对于B：由A⊕B＝∅，则∅＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，即A∪B与A∩B是相同的，即可判断B是否正确；
对于C：由于A⊕B⊆A，则{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，即可判断C是否正确；
对于D：设A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞1}，计算出A⊕B，∁RA⊕∁RB，即可判断D是否正确．
【解答】解：对于A：因为A⊕B＝B，
所以B＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，
所以A⊆B，且B中的元素不能出现在A∩B中，
所以A＝∅，故A正确；
对于B：因为A⊕B＝∅，
所以∅＝{x|x∈A∪B，x∉A∩B}，即A∪B与A∩B是相同的，
所以A＝B，故B正确；
对于C：因为A⊕B⊆A，
所以{x|x∈A∪B，x∉A∩B}⊆A，
所以B⊆A，故C错误；
对于D：设A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞1}，
则A∪B＝R，A∩B＝{x|1＜x＜2}，
所以A⊕B＝{xx≤1或x≥2}，
又∁RA＝{x|x≥2}，∁RB＝{x|x≤1}，
（∁RA）∪（∁RB）＝{x|x≤1或x≥2}，
（∁RA）∩（∁RB）＝∅，
所以∁RA⊕∁RB＝{x|x≤1或x≥2}，
因此A⊕B＝∁RA⊕∁RB，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题（本题共计4小题，每题5分，共计20分，）
13．命题∀x∈R，x2﹣2x+4≤0的否定为 ∃x∈R，x2﹣2x+4＞0 ．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题即可．
【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，
∴命题∀x∈R，x2﹣2x+4≤4的否定是：∃x∈R，x2﹣2x+4＞0．
故答案是∃x∈R，x2﹣2x+4＞4．
14．已知P＝a2+2a，Q＝4a﹣2，则P ＞ Q．（填“＞”或“＜”）
【分析】作差法化简P﹣Q＝a2+2a﹣4a+2＝（a﹣1）2+1＞0，可得P＞Q．
【解答】解：P﹣Q＝a2+2a﹣4a+2＝（a﹣1）2+1＞0，
故P＞Q，
故答案为：＞．
15．已知命题“∃x∈R，x2﹣ax+1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是 [﹣2，2] ．
【分析】根据所给的特称命题写出它的否定：任意实数x，使x2+2ax+1≥0，根据命题否定是真命题，利用△≥0，解不等式即可．
【解答】解：∵命题“存在实数x，使x2﹣ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2﹣ax+1≥0，
命题否定是真命题，
∴△＝（﹣a）2﹣4≤0
∴﹣2≤a≤2．
实数a的取值范围是：[﹣2，2]．
故答案为：[﹣2，2]．
16．设集合M＝{1，2，3，4，6}，S1，S2，…，Sk都是M的含有两个元素的子集，则k＝ 10 ；若集合A是由这k个元素（S1，S2，…，Sk）中的若干个组成的集合，且满足对任意的Si＝{ai，bi}、Sj＝{aj，bj}（i≠j，i，j∈{1，2，3，…，k}）都有ai＜bi，aj＜bj，且，则A中元素个数的最大值是 6 ．
【分析】第一空按照从5个元素中任取两个进行计算即可；第二空排除不符合条件的即可．
【解答】解：从5个元素中任取两个不排序共有＝10种，
故第一空为10；
10中分别为{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，6}，{2，3}，{2，4}，{2，6}，{3，4}，{3，6}，{4，6}，
因为，
故其中{1，2}，{2，4}，{3，6}只能取一个，
{1，3}，{2，6}只能取一个，
{2，3}，{4，6}只能取一个，
故10个中要去掉4个，
故A中元素个数的最大值是6．
故答案为：10，6．
四、解答题（本题共计6小题，共计70分，）
17．（10分）写出下列命题的否定，并判断真假．
（1）p：∀x∈R，x2﹣x+1≥0；
（2）q：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0．
【分析】根据含有量词的命题的否定的定义写出，再判断真假即可得到结论．
【解答】解：（1）命题的否定为：∃x0∈R，﹣x0+1＜0，是假命题．
（2）命题的否定是：∀x∈R，x2+2x+2＞0，是真命题．
18．（12分）已知集合A＝{x∈R|mx2﹣2x+1＝0}，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
（1）A＝∅；
（2）A恰有两个子集．
【分析】（Ⅰ）若A＝∅，则关于x的方程mx2﹣2x+1＝0 没有实数解，则m≠0，由此能求出实数m的取值范围．
（Ⅱ）若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2﹣2x+1＝0 恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）若A＝∅，则关于x的方程mx2﹣2x+1＝0 没有实数解，则m≠0，
且△＝4﹣4m＜0，所以m＞1；
（Ⅱ）若A恰有两个子集，则A为单元素集，所以关于x的方程mx2﹣2x+1＝0 恰有一个实数解，
讨论：①当m＝0时，x＝，满足题意；
②当m≠0时，△＝4﹣4m，所以m＝1．
综上所述，m的集合为{0，1}．
19．（12分）知集合A＝{x|﹣5≤x≤6}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．
（1）当m＝﹣3时，求A∩B，A∪B；
（2）若A∪B＝A，求实数m的取值范围．
【分析】（1）当m＝﹣3时，B＝{x|﹣7≤x≤﹣2}，由此能求出A∩B，A∪B；
（2）由A∪B＝A，得B⊆A，当B＝∅时，2m﹣1＞m+1，当B≠∅时，，由此能求出实数m的取值范围．
【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣5≤x≤6}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．
当m＝﹣3时，B＝{x|﹣7≤x≤﹣2}，
∴A∩B＝{x|﹣5≤x≤﹣2}，
A∪B＝{x|﹣7≤x≤6}；
（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A，
当B＝∅时，2m﹣1＞m+1，解得m＞﹣2，
当B≠∅时，，解得﹣2≤m≤2．
∴实数m的取值范围是[﹣2，+∞）．
20．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，B＝{x|x2+ax+6＝0}．
（1）若B＝∅，求a的取值范围；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．
【分析】由一元二次方程无解即可由判别式△＜0求出所求的答案；分两类情况：B＝∅时和B≠∅，分别根据子集的概念即可求出相应a的取值范围．
【解答】解：（1）因为B＝∅，所以一元二次方程x2+ax+6＝0无解，
所以△＝a2﹣4×6＜0，即﹣＜a＜2，
故a的取值范围为（﹣，2）．
（2）因为B⊆A，
所以①当B＝∅时，由（1）知：﹣＜a＜2；
②当B≠∅时，因为集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，
所以A＝{2，3}．
当集合B有且仅有一个元素时，此时△＝a2﹣4×6＝0，即a＝2或a＝﹣2，
B＝{﹣}或B＝{}，不符合题意；
当集合B有两个元素时，此时△＝a2﹣4×6＞0，即a＞2或a＜﹣2，
于是，2，3是方程x2+ax+6＝0的两个根，
所以2+3＝﹣a，即a＝﹣5．
综上所述，实数a的取值范围为（﹣，2）∪{﹣5}．
21．（12分）已知全集为R，集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|3x﹣7≥8﹣2x}．
（1）求A∩B；
（2）若C＝{x|a﹣4≤x≤a+4}，且“x∈C”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，求a的取值范围．
【分析】（1）利用交集的定义求解．
（2）利用充分必要条件的定义列出不等式组即可求解．
【解答】解：（1）∵B＝{x|3x﹣7≥8﹣2x}＝{x|x≥3}，
∴A∩B＝{x|3≤x≤6}．
（2）∵x∈C是x∈A∩B的必要不充分条件，
∴{x|3≤x≤6}⊊{x|a﹣4≤x≤a+4}，
∴，∴2≤a≤7，
∴a的取值范围为[2，7]．
22．（12分）已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+a+3＝0有实数根，命题q：m﹣1≤a≤m+1．
（Ⅰ） 若￢p是真命题，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据命题的否定是真命题，进行转化求解即可．
（Ⅱ）根据充分条件和必要条件的定义和关系建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：法一：（Ⅰ） 当命题p是真命题时，满足△≥0
则a2﹣4（a+3）≥0，
解得 a≤﹣2或a≥6； …（3分）
∵￢p是真命题，则p是假命题
即﹣2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是（﹣2，6）．…
（Ⅱ）∵p是q的必要非充分条件，
则[m﹣1，m+1]⊊（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞，
即m+1≤﹣2或m﹣1≥6，…（8分）
解得 m≤﹣3或m≥7，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）．…（10分）
法二：（Ⅰ） 命题¬p：关于x的方程x2﹣ax+a+3＝0没有实数根
∵￢p是真命题，则满足△＜0
即 a2﹣4（a+3）＜0…（3分）
解得﹣2＜a＜6
∴实数a的取值范围是（﹣2，6）．…
（Ⅱ） 由 （Ⅰ）可得 当命题p是真命题时，
实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞，
∵p是q的必要非充分条件，
则[m﹣1，m+1]是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）的真子集
即 m+1≤﹣2或m﹣1≥6…（8分）
解得 m≤﹣3或m≥7，
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[7，+∞）．…（10分）