2019-2020学年青海省西宁市部分学校高一（上）期末数学试卷

这是一份2019-2020学年青海省西宁市部分学校高一（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了单项选择，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年青海省西宁市部分学校高一（上）期末数学试卷
一、单项选择（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的）
1．（5分）已知集合M＝{x|1≤x＜3}，N＝{1，2}，则M∩N＝（　　）
A．{1} B．{1，2} C．0 D．[1，2]
2．（5分）sin（﹣1020°）＝（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）已知向量＝（4，），＝（1，5），则与的夹角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．（5分）函数f（x）＝lg（4+3x﹣x2）的单调增区间为（　　）
A．（﹣∞，] B．[，+∞） C．（﹣1，] D．[，4）
5．（5分）下列函数中，表示同一个函数的是（　　）
A．y＝x2与
B．与
C．与
D．y＝x2与S＝a2
6．（5分）要得到函数g（x）＝2cos（2x+）的图象，只需将f（x）＝sin（2x+）的图象（　　）
A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
B．向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）
C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
D．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）
7．（5分）若向量＝（1，1），＝（﹣1，3），＝（2，x）满足（3+）•＝10，则x＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（5分）函数f（x）＝2x﹣3+log3x的零点所在区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
9．（5分）已知，则cos（β﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．
10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）

A．
B．
C．
D．
11．（5分）已知函数f（x）＝在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．[﹣3，0） D．[﹣3，﹣2]
12．（5分）已知函数f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，且对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2有，则使得f（2x﹣1）＜f（2）成立的x的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）
13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣x4，则当x＜0时，f（x）＝　 　
14．（5分）已知函数（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A也在函数f（x）＝3x+b的图象上，则f（log32）＝　 　．
15．（5分）已知向量，满足：||＝3，||＝4，||＝，则||＝　 　．
16．（5分）下列四个命题：
①函数与的图象相同；
②函数f（x）＝sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；
③函数f（x）＝2xcosx的图象关于直线x＝π对称；
④函数在区间上是减函数．
其中正确的命题是　 　（填写所有正确命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算：
（1）（0.25）﹣2﹣（）﹣0.75﹣lg25﹣2lg2；
（2）log3+lg25+lg4+．
18．（12分）在平面内给定三个向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1）．
（Ⅰ）求满足＝m+n的实数m、n的值；
（Ⅱ）若向量满足（）∥（），且||＝，求向量的坐标．
19．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的值域．
20．（12分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本＝固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足R（x）＝，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
21．（12分）已知函数（a为常数）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（1，3）上的单调性，并予以证明．
22．（12分）已知向量＝（sinα，cosα﹣sinα），＝（cosβ﹣sinβ，cosβ），且•＝2．
（1）cos（α+β）的值；
（2）若0＜α＜，0＜β＜，且sinα＝，求2α+β的值．

2019-2020学年青海省西宁市部分学校高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的）
1．（5分）已知集合M＝{x|1≤x＜3}，N＝{1，2}，则M∩N＝（　　）
A．{1} B．{1，2} C．0 D．[1，2]
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合M＝{x|1≤x＜3}，N＝{1，2}，
∴M∩N＝{1，2}．
故选：B．
2．（5分）sin（﹣1020°）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．
【解答】解：sin（﹣1020°）＝﹣sin（360°×2+180°+120°）＝sin120°＝．
故选：B．
3．（5分）已知向量＝（4，），＝（1，5），则与的夹角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】利用夹角公式进行计算．
【解答】解：由条件可知，＝，
所以＝，故与的夹角为60°．
故选：C．
4．（5分）函数f（x）＝lg（4+3x﹣x2）的单调增区间为（　　）
A．（﹣∞，] B．[，+∞） C．（﹣1，] D．[，4）
【分析】根据复合函数单调性之间的关系，即可得到结论．
【解答】解：设t＝4+3x﹣x2，则由t＝4+3x﹣x2＞0，得到x2﹣3x﹣4＜0，
得﹣1＜x＜4，即函数的定义域为（﹣1，4），
∵t＝4+3x﹣x2＝t＝﹣（x﹣）2+，
∴函数t＝4+3x﹣x2在（﹣1，]上单调递增，此时函数f（x）函数单调递增，
在[，4）上单调递减，此时函数f（x）函数单调递减，
故函数的单调递增区间为（﹣1，]，
故选：C．
5．（5分）下列函数中，表示同一个函数的是（　　）
A．y＝x2与
B．与
C．与
D．y＝x2与S＝a2
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断两个函数是同一函数．
【解答】解：对于A，y＝x2（x∈R），与y＝＝x2（x≥0）的定义域不相同，不是同一函数；
对于B，y＝•＝（x≥1），与y＝＝（x≤﹣1或x≥1）的定义域不相同，不是同一函数；
对于C，y＝＝（x≠0），与y＝（x∈R）的定义域不相同，不是同一函数；
对于D，y＝x2（x∈R），与S＝a2（a∈R）的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数．
故选：D．
6．（5分）要得到函数g（x）＝2cos（2x+）的图象，只需将f（x）＝sin（2x+）的图象（　　）
A．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
B．向右平移个单位，再把各点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变）
C．向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）
D．向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）
【分析】由＝，即可作出判断．
【解答】解：∵＝，
∴的图象向左平移个单位，，
再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），即可得到的图象．
故选：C．
7．（5分）若向量＝（1，1），＝（﹣1，3），＝（2，x）满足（3+）•＝10，则x＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用向量的坐标运算以及数量积的运算法则化简求解即可．
【解答】解：向量＝（1，1），＝（﹣1，3），＝（2，x）满足（3+）•＝10，
可得（2，6）•（2，x）＝10，
可得4+6x＝10，
解得x＝1．
故选：A．
8．（5分）函数f（x）＝2x﹣3+log3x的零点所在区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）
【分析】由函数的解析式求得f（2）f（1）＜0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f（x）＝2x﹣3+log3x的零点所在的区间．
【解答】解：∵函数函数f（x）＝2x﹣3+log3x在R上单调递增，
∴f（2）＝4﹣3+log32＞0，f（1）＝2﹣3+0＝﹣1＜0，
∴f（2）f（1）＜0．
根据函数零点的判定定理可得函数f（x）＝2x﹣3+log3x的零点所在的区间是（1，2），
故选：B．
9．（5分）已知，则cos（β﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用同角三角函数关系式的变换和差角公式的应用求出结果．
【解答】解：已知，
则．
sin，
所以cos（β﹣α）＝cosβcosα+sinβsinα＝．
故选：C．
10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）

A．
B．
C．
D．
【分析】观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点（，2）然后求出φ，即可求出函数解析式．
【解答】解：由图象可知：的长度是四分之一个周期
函数的周期为2，所以ω＝
函数图象过（，2）所以A＝2，并且2＝2sin（ φ）
∵，∴φ＝
f（x）的解析式是
故选：A．
11．（5分）已知函数f（x）＝在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．[﹣3，0） D．[﹣3，﹣2]
【分析】根据分段函数的性质，f（x）＝在（﹣∞，+∞）上是增函数，二次函数开口向下，∴是增函数，故得对称轴x＝﹣≥1，那么反比例函数在（1，+∞）必然是增函数．从而求解a的取值范围．
【解答】解：由题意：函数f（x）＝在（﹣∞，+∞）上是增函数，
∴二次函数﹣x2﹣ax﹣5，开口向下，∴是增函数，故得对称轴x＝﹣≥1，解得：a≤﹣2．
反比例函数在（1，+∞）必然是增函数，则：a＜0；
又∵函数f（x）是增函数，
则有：，解得：a≥﹣3．
所以：a的取值范围[﹣3，﹣2]．
故选：D．
12．（5分）已知函数f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，且对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2有，则使得f（2x﹣1）＜f（2）成立的x的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
C．（﹣，） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【分析】根据题意，分析可得f（x）＝f（﹣x）且在（0，+∞）上为增函数，据此可得f（2x﹣1）＜f（2）⇒f（|2x﹣1|）＜f（2）⇒|2x﹣1|＜2，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x+2）的图象关于直线x＝﹣2对称，则函数f（x）的图象关于y轴对称，则有f（x）＝f（﹣x），
对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2有，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，
则f（2x﹣1）＜f（2）⇒f（|2x﹣1|）＜f（2）⇒|2x﹣1|＜2，
解可得：﹣＜x＜，即x的取值范围为（﹣，）
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）
13．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x﹣x4，则当x＜0时，f（x）＝　x+x4　
【分析】根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式可得f（﹣x）＝（﹣x）﹣（﹣x）4＝﹣x﹣x4，结合函数的奇偶性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）﹣（﹣x）4＝﹣x﹣x4，
又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（﹣x﹣x4）＝x+x4，
故答案为：x+x4
14．（5分）已知函数（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A也在函数f（x）＝3x+b的图象上，则f（log32）＝　1　．
【分析】先利用函数y＝loga（x+3）﹣的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数函数f（x）＝3x+b式中求出b，最后即可求出相应的函数值f（log32）．
【解答】解：∵函数y＝loga（x+3）﹣（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（﹣2，﹣），
将x＝﹣2，y＝﹣代入y＝3x+b得：
3﹣2+b＝﹣，∴b＝﹣1，
∴f（x）＝3x﹣1，
则f（log32）＝﹣1＝2﹣1＝1，
故答案为：1．
15．（5分）已知向量，满足：||＝3，||＝4，||＝，则||＝　3　．
【分析】由向量模的运算得：由||2+||2＝2（||2+||2），所以||2＝2（9+16）﹣41＝9，所以||＝3，得解．
【解答】解：因为||＝3，||＝4，||＝，
由||2+||2＝2（||2+||2），
所以||2＝2（9+16）﹣41＝9，
所以||＝3，
故答案为：3．
16．（5分）下列四个命题：
①函数与的图象相同；
②函数f（x）＝sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；
③函数f（x）＝2xcosx的图象关于直线x＝π对称；
④函数在区间上是减函数．
其中正确的命题是　①②④　（填写所有正确命题的序号）
【分析】①利用诱导公式化简函数，即可判断出正误；
②函数f（x）＝sin4x﹣cos4x＝﹣sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）＝﹣cos2x，即可得出最小正周期是π；
③函数f（x）＝2xcosx，f（0）＝0，f（2π）＝4π，可得f（0）≠f（2π），即可判断出正误；
④函数＝﹣sin（2x﹣），x∈，可得（2x﹣）∈[﹣，]，即可判断出单调性．
【解答】解：①函数＝3cos[﹣（2x+）]＝3cos（﹣2x）＝3cos（2x﹣），因此与的图象相同，正确；
②函数f（x）＝sin4x﹣cos4x＝﹣sin2x+cos2x）（sin2x﹣cos2x）＝﹣cos2x，其的最小正周期是π，正确；
③函数f（x）＝2xcosx，f（0）＝0，f（2π）＝4π，∴f（0）≠f（2π），因此函数f（x）的图象关于直线x＝π不对称；
④函数＝﹣sin（2x﹣），x∈，∴（2x﹣）∈[﹣，]，∴函数f（x）在区间上是减函数．．
其中正确的命题是①②④．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）计算：
（1）（0.25）﹣2﹣（）﹣0.75﹣lg25﹣2lg2；
（2）log3+lg25+lg4+．
【分析】（1）利用指数运算性质与对数运算性质即可得出．
（2）利用指数运算性质与对数运算性质即可得出．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2×（﹣2）+﹣2﹣4×（﹣0.75）﹣lg（25×22）
＝16+4﹣8﹣2
＝10．
（2）原式＝+lg（25×4）+2
＝﹣+4
＝．
18．（12分）在平面内给定三个向量＝（3，2），＝（﹣1，2），＝（4，1）．
（Ⅰ）求满足＝m+n的实数m、n的值；
（Ⅱ）若向量满足（）∥（），且||＝，求向量的坐标．
【分析】（Ⅰ）求满足＝m+n的实数m、n的值
（Ⅱ）若向量满足（）∥（），且||＝，求向量的坐标．
【解答】解：（Ⅰ）由已知条件以及＝m+n，可得：（3，2）＝m（﹣2，2）+n（4，1）＝（﹣m+4n，2m+n）．
∴，解得实数m＝，n＝．
（Ⅱ）设向量＝（x，y），＝（x﹣4，y﹣1），＝（2，4），
∵（）∥（），
||＝，
∴，解得或，
向量的坐标为（3，﹣1）或（5，3）．
19．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在区间上的值域．
【分析】（1）先由诱导公式及差角余弦公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求f（x）的单调递增区间；
（2）结合正弦函数的值域及函数图象可求．
【解答】解：（1），
＝，
＝，
＝＝，
＝，
令，k∈z
解可得，，
∴f（x）的单调递增区间为；
（2）由得，
故．
∴f（x）在区间上的值域为[1，]
20．（12分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本＝固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满足R（x）＝，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数y＝f（x）的解析式（利润＝销售收入﹣总成本）；
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
【分析】（1）由题意得G（x）＝2.8+x，由R（x）＝，f（x）＝R（x）﹣G（x），能写出利润函数y＝f（x）的解析式；
（2）当x＞5时，由函数f（x）递减，知f（x）＜f（5）＝3.45（万元）．当0≤x≤5时，函数f（x）＝﹣0.4（x﹣4）2+3.6，当x＝4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．由此能求出工厂生产多少台产品时，可使盈利最多．
【解答】解：（1）由题意得G（x）＝2.8+x，
∵R（x）＝，
∴f（x）＝R（x）﹣G（x）＝．
（2）当x＞5时，∵函数f（x）递减，∴f（x）＜f（5）＝3.45（万元）．
当0≤x≤5时，函数f（x）＝﹣0.4（x﹣4）2+3.6，
所以当x＝4时，f（x）有最大值为3.6（万元）．
所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大，且最大值为3.6万元．
21．（12分）已知函数（a为常数）是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）在（1，3）上的单调性，并予以证明．
【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），即，解可得a的值，即可得答案；
（2）根据题意，由作差法分析可得结论．
【解答】解：（1）根据题意，是奇函数，
则f（﹣x）＝﹣f（x），
即，即，
解得a＝1或a＝﹣1（舍去），
故a的值为1．
（2）函数f（x）在（1，3）上是减函数．
证明：由（1）知，设，
任取1＜x1＜x2＜3，∴，
∵x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，∴g（x1）﹣g（x2）＞0，
∴g（x）在（1，3）上为减函数，
又∵函数y＝log2x在（1，+∞）上为增函数，
∴函数f（x）在（1，3）上为减函数．
22．（12分）已知向量＝（sinα，cosα﹣sinα），＝（cosβ﹣sinβ，cosβ），且•＝2．
（1）cos（α+β）的值；
（2）若0＜α＜，0＜β＜，且sinα＝，求2α+β的值．
【分析】（1）直接根据数量积整理即可求解；
（2）根据角的范围以及同角三角函数基本关系求出cosα以及sin（α+β），再根据2α+β＝（α+β）+α即可求解其余弦值，进而得到结论．
【解答】解：（1）因为＝（sinα，cosα﹣sinα），＝（cosβ﹣sinβ，cosβ），且•＝2．
所以：sinα•（cosβ﹣sinβ）+（cosα﹣sinα）•cosβ＝2⇒cos（α+β）＝2⇒cos（α+β）＝；
（2）∵0＜α＜，0＜β＜，且sinα＝，
∴0＜α+β＜π，2α+β＜，
∴cosα＝＝；
sin（α+β）＝＝；
∴cos（2α+β）＝cos[（α+β）+α]＝cos（α+β）cosα﹣sin（α+β）sinα＝；
∴2α+β＝．