2021-2022学年上学期广州市初中数学八年级期中典型试卷1

这是一份2021-2022学年上学期广州市初中数学八年级期中典型试卷1，共33页。

A．140°B．130°C．120°D．110°
2．（2021秋•海珠区期末）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（ ）
A．PQ＜mB．PQ＞mC．PQ≤mD．PQ≥m
3．（2021秋•荔湾区校级期中）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（ ）
A．SSSB．ASAC．AASD．SAS
4．（2021秋•荔湾区校级期中）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（ ）
A．AB＝ACB．∠BAE＝∠CADC．AD＝DED．BE＝DC
5．（2021秋•海珠区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE，如果只添加一个条件使△ABE≌△ACD，则添加的条件不能为（ ）
A．BD＝CEB．AD＝AEC．BE＝CDD．∠B＝∠C
6．（2021秋•越秀区校级期中）下列两个三角形中，一定全等的是（ ）
A．两个等腰直角三角形
B．两个等边三角形
C．有一个角是100°，底边相等的两个等腰三角形
D．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
7．（2021秋•荔湾区校级期中）已知△ABC和△DCE是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，AE与CD，BD分别交于点F、G．连接GF．下列结论：①AE＝BD②AG＝DF③GF∥BE④CF＝GF其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2021秋•荔湾区校级期中）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝3，CA＝4，AB＝5，AD平分∠BAC，点M、N分别为AD、AC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．1.2B．3.6C．4.8D．2.4
9．（2021秋•荔湾区校级期中）等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角度数是（ ）
A．65°B．50°C．80°D．65°或50°
10．（2021秋•越秀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠F＝∠BCFB．AE＝7cmC．EF平分ABD．AB⊥CF
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•增城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于P点，若∠A＝60°，则∠P＝ ．
12．（2021秋•越秀区校级期中）如图，△ABC，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，AC＝3，CD＝，则△ABD的面积是 ．
13．（2021秋•荔湾区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是斜边AB上的高，若∠A＝30°，BD＝1cm，则AB＝ ．
14．（2021秋•海珠区校级期中）如图，△ABC的面积为16cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于P，则△PBC的面积为 cm2．
15．（2021春•越秀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上且BD＝1，AD＝4，点E、F分别为边AC、AB上的动点，△DEF的周长的最小值为 ．
16．（2021秋•越秀区校级期中）如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC的延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①AD＝BF；②BF＝AF；③AB＝BF；④AC+CD＝AB；⑤AD＝2BE．其中正确的结论有 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•荔湾区校级期中）已知，如图：A、E、F、B在一条直线上，AE＝BF，∠C＝∠D，∠A＝∠B，求证：AC＝BD．
18．（2021秋•海珠区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求证：DE＝CE；
（3）若AE＝4，BE＝6，求四边形ABCD的面积．
19．（2021秋•增城区期中）如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边上的中线和高，∠B＝30°，∠C＝60°，求∠DAE的大小．
20．（2021秋•海珠区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°．
（1）尺规作图：作△ABC的角平分线CD，与AB交于点D；
（2）求∠ACB和∠ADC的度数．
21．（2021秋•海珠区校级期中）如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE＝DE．
求证：△ABE≌△CDE．
22．（2021秋•增城区期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于E，交AC于F，∠CDE＝∠ACB＝30°．
（1）求证：△FCD是等腰三角形；
（2）若BC＝DE，求∠CAD的度数．
23．（2021秋•荔湾区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝26°，∠BAC＝30°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求∠AEC的度数．
24．（2021秋•荔湾区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）AB＝BC+AD．
（2）AE平分∠BAD．
2021-2022学年上学期广州市初中数学八年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021秋•天河区期中）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝50°，∠A＝80°，则∠ACD＝（ ）
A．140°B．130°C．120°D．110°
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠B＝50°，∠A＝80°，
∴∠ACD＝∠B+∠A＝50°+80°＝130°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
2．（2021秋•海珠区期末）点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，点Q是OB边上的一个动点，则PQ与m的大小关系是（ ）
A．PQ＜mB．PQ＞mC．PQ≤mD．PQ≥m
【考点】垂线段最短；角平分线的性质．
【专题】三角形；应用意识．
【分析】先根据角平分线的性质得到点P到OB的距离等于m，然后根据垂线段最短得到PQ与m的大小关系．
【解答】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于m，
∴点P到OB的距离等于m，
∵点Q是OB边上的一个动点，
∴PQ≥m．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
3．（2021秋•荔湾区校级期中）工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OD＝OE，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与D，E重合，这时过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（ ）
A．SSSB．ASAC．AASD．SAS
【考点】全等三角形的判定；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】由三边对应相等得△DOP≌△EOP，即由SSS判定两个三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【解答】解：依题意知，
在△DOP与△EOP中，
，
∴△DOP≌△EOP（SSS），
∴∠AOP＝∠BOP，
即OP即是∠AOB的平分线．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
4．（2021秋•荔湾区校级期中）如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（ ）
A．AB＝ACB．∠BAE＝∠CADC．AD＝DED．BE＝DC
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【分析】由全等三角形的性质可得到对应边、对应角相等，结合条件逐项判断即可．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，
∴A、B、D正确，C不正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
5．（2021秋•海珠区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC上，连接AD，AE，如果只添加一个条件使△ABE≌△ACD，则添加的条件不能为（ ）
A．BD＝CEB．AD＝AEC．BE＝CDD．∠B＝∠C
【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【分析】根据全等三角形的判定，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、若添加BD＝CE，则BE＝CD，根据SAS可以证明△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
B、若添加AD＝AE，得出∠ADE＝∠AED，则∠ADB＝∠AEC，根据AAS可以证明△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
C、若添加BE＝CD，根据SAS可以证明△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意；
D、因为AB＝AC，可以得出∠B＝∠C，如果只添加∠B＝∠C，不能证明△ABE≌△ACD，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键．
6．（2021秋•越秀区校级期中）下列两个三角形中，一定全等的是（ ）
A．两个等腰直角三角形
B．两个等边三角形
C．有一个角是100°，底边相等的两个等腰三角形
D．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；应用意识．
【分析】根据题意，可以判断各个选项中的说法是否符合题意，本题得以解决．
【解答】解：两个等腰直角三角形不一定全等，如两个等腰直角三角形的三条边不相等，故选项A不符合题意；
两个等边三角形不一定全等，如两个等边三角形的三条边不相等，故选项B不符合题意；
有一个角是100°，底边相等的两个等腰三角形全等，则底角是40°，根据AAS可以判定两个三角形全等，故选项C符合题意；
有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形不一定全等，如一个三角形的腰和另一个三角形的底边相等，底角相等，则这两个三角形不全等，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确．
7．（2021秋•荔湾区校级期中）已知△ABC和△DCE是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，AE与CD，BD分别交于点F、G．连接GF．下列结论：①AE＝BD②AG＝DF③GF∥BE④CF＝GF其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据等边三角形性质，利用SAS证明△BCD≌△ACE，则AE＝BD；
（2）证明△DGC≌△EFC，得△GFC是等边三角形，则CF＝FG，∠GFC＝60°，根据∠GFC＝∠DCE＝60°，所以GF∥BE；
（3）由CG＝CF，AC≠DC，可知：AC﹣CG≠DC﹣CF，即AG≠DF．
【解答】解：（1）∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE＝BD，
故①正确；
（2）∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝60°，
∴∠ACD＝∠DCE＝60°，
由①得△BCD≌△ACE，
∴∠GDC＝∠AEC，
∵DC＝EC，
∴△DGC≌△EFC，
∴CF＝CG，
∴△GFC是等边三角形，
∴CF＝FG，∠GFC＝60°，
∴∠GFC＝∠DCE＝60°，
∴GF∥BE，
故③④正确；
（3）∵CG＝CF，
而AC与CD不相等，
所以AG与DF不相等，
故②不正确；
正确的有：①③④，一共3个，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定及等边三角形的性质和判定，属于常考题型，难度适中；准确地在图形中找到全等三角形并进行证明是本题的关键．
8．（2021秋•荔湾区校级期中）如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝3，CA＝4，AB＝5，AD平分∠BAC，点M、N分别为AD、AC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．1.2B．3.6C．4.8D．2.4
【考点】角平分线的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】取点N关于AD的对称点E，由轴对称图形的性质可知MN＝ME，从而得到CM+MN＝CM+ME，当点C、M、E在一条直线上且CE⊥AB时，CM+MN有最小值，最后利用面积法求得CE的值即可．
【解答】解：取点N关于AD的对称点E．
∵AD平分∠BAC，
∴点E在AB上．
∵点N与点E关于AD对称，
∴MN＝ME．
∴CM+MN＝CM+ME．
当CE⊥AB时，CE有最小值，即CM+MN有最小值．
∵∠BCA＝90°，BC＝3，CA＝4，AB＝5，
∴AC•BC＝AB•CE，即5CE＝3×4，解得CE＝2.4．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是轴对称﹣路径最短问题，解答本题主要应用了轴对称图形的性质、垂线段最短的性质，将CM+MN转化为CE的长是解题的关键．
9．（2021秋•荔湾区校级期中）等腰三角形的一个内角是50°，则它的底角度数是（ ）
A．65°B．50°C．80°D．65°或50°
【考点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角是50°，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
【解答】解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；
当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理可得底角是（180°﹣50°）÷2＝65°．
故它的底角度数是65°或50°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全面思考，分类讨论是正确解答本题的关键．
10．（2021秋•越秀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（ ）
A．∠F＝∠BCFB．AE＝7cmC．EF平分ABD．AB⊥CF
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】根据全等三角形的判定与性质进行逐一判断即可．
【解答】解：∵EF⊥AC，
∴∠AEF＝∠ACB＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠F＝∠BCF，故A正确；
∵EF⊥AC，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°，
在Rt△ABC和Rt△FEC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△FEC（HL），
∴AC＝EF＝12cm，
∵CE＝BC＝5cm，
∴AE＝AC﹣CE＝7cm．故B正确；
如果AE＝CE，
∵EF∥BC，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EF平分AB，
而AE与CE不一定相等，
∴不能证明EF平分AB，故C错误；
∵Rt△ABC≌Rt△FEC，
∴∠A＝∠F，
∴∠A+∠ACD＝∠F+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AB⊥CF，故D正确．
∴结论不正确的是C．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
二．填空题（共6小题）
11．（2021秋•增城区期中）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于P点，若∠A＝60°，则∠P＝ 30° ．
【考点】角平分线的定义；三角形的外角性质．
【分析】利用角平分线定义可知∠PCD＝∠ACD．再利用外角性质，可得∠ACD＝∠A+∠ABC①，∠PCD＝∠P+∠ABC②，那么可利用∠PCA＝∠PCD，可得相等关系，从而可求∠P．
【解答】解：∵CP是∠ACD的角平分线，
∴∠PCD＝∠ACD．
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠PCD＝∠A+∠ABC，
又∵∠PCD＝∠P+∠ABC，
∴∠A+∠ABC＝∠P+∠ABC，
∴∠P＝∠A＝30°．
【点评】本题利用了角平分线定义、三角形外角性质．
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
12．（2021秋•越秀区校级期中）如图，△ABC，∠C＝90°，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，AC＝3，CD＝，则△ABD的面积是 3 ．
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】三角形；应用意识．
【分析】过D点作DE⊥AB于E，如图，先根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB＝6，再根据角平分线的性质得到DE＝DC＝2，然后根据三角形面积公式计算．
【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C＝90°，∠BAC＝60°
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2×3＝6，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC＝，
∴△ABD的面积＝×6×＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
13．（2021秋•荔湾区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是斜边AB上的高，若∠A＝30°，BD＝1cm，则AB＝ 4cm ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由∠BCA＝90°，∠A＝30°，得∠B＝180°﹣（∠A+∠BCA）＝60°和AB＝2BC．欲求AB，需求BC．由CD是斜边AB上的高，得∠CDB＝90°，那么∠BCD＝180°﹣（∠B+∠BDC）＝30°，故BC＝2BD．
【解答】解：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠CDB＝90°．
∴△CDB是直角三角形．
∵∠BCA＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝180°﹣（∠A+∠BCA）＝60°．
∴∠BCD＝180°﹣（∠B+∠BDC）＝30°．
∵Rt△BDC中，∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD＝2（cm）．
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4（cm）．
故答案为：4cm．
【点评】本题主要考查三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理以及含30度角的直角三角形的性质是解决本题的关键．
14．（2021秋•海珠区校级期中）如图，△ABC的面积为16cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于P，则△PBC的面积为 8 cm2．
【考点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【分析】证△ABP≌△EBP，推出AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC＝S△ABC，代入求出即可．
【解答】解：延长AP交BC于点E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
在△ABP和△EBP中，
，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBC＝S△ABC＝×16cm2＝8cm2，
故答案为：8．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
15．（2021春•越秀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点D在BC上且BD＝1，AD＝4，点E、F分别为边AC、AB上的动点，△DEF的周长的最小值为 4 ．
【考点】含30度角的直角三角形；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】如图，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线AB的对称点D″，连接D′D″交AC于E，交AB于F，此时△DEF的周长最小，最小值为D′D″的长，连接AD′、AD″，即可证得△AD′D″是等边三角形，得出D′D″＝AD′＝AD＝4．
【解答】解：如图，作点D关于直线AC的对称点D′，点D关于直线AB的对称点D″，连接D′D″交AC于E，交AB于F，此时△DEF的周长最小，最小值为D′D″的长，连接AD′、AD″，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝30°
∵∠DAB＝∠D″AB，∠DAC＝D′AC，
∴∠D′AD″＝2∠BAC＝60°，
∴△AD′D″是等边三角形，
∵AD′＝AD＝4，
∴D′D″＝4，
∴△DEF的周长的最小值为4．
故答案为4．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
16．（2021秋•越秀区校级期中）如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC，BF⊥AE，交AC的延长线于F，且垂足为E，则下列结论：①AD＝BF；②BF＝AF；③AB＝BF；④AC+CD＝AB；⑤AD＝2BE．其中正确的结论有 ①④⑤ ．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【分析】根据∠ACB＝90°，BF⊥AE，得出∠ACB＝∠BED＝∠BCF＝90°，推出∠F＝∠ADC，证△BCF≌△ACD，根据全等三角形的性质即可判断①②；假如AC+CD＝AB，求出∠F+∠FBC＝90°，即可判断③④，证根据全等三角形的判定ASA得出△BEA≌△FEA，推出BE＝EF，即可判断⑤．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BF⊥AE，
∴∠ACB＝∠BED＝∠BCF＝90°，
∴∠F+∠FBC＝90°，∠BDE+∠FBC＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠ADC，
∴∠F＝∠ADC，
在△BCF和△ACD中，
，
∴△BCF≌△ACD（AAS），
∴AD＝BF，①正确；
∵AF＞AD，
∴BF≠AF，②错误；
∵△BCF≌△ACD，
∴CD＝CF，
∴AC+CD＝AF，
∵△BCF≌△ACD，
∴CD＝CF，
∴AC+CD＝AF，
又∵AB＝AF，
∴AC+CD＝AB．④正确；
∵BF＝AC，AC＜AF＝AB，
∴AB＞BF，③错误；
∵△BCF≌△ACD，
∴AD＝BF，
∵AE平分∠BAF，AE⊥BF，
∴∠BEA＝∠FEA＝90°，∠BAE＝∠FAE，
在△BEA和△FEA中，
，
∴△BEA≌△FEA，
∴BE＝EF，⑤正确；
故答案为：①④⑤．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17．（2021秋•荔湾区校级期中）已知，如图：A、E、F、B在一条直线上，AE＝BF，∠C＝∠D，∠A＝∠B，求证：AC＝BD．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；推理能力．
【分析】证明△ACF≌△BDE（AAS），由全等三角形的性质得出AC＝BD．
【解答】证明：∵AE＝BF，
∴AF＝BE，
在△ACF和△BDE中，
，
∴△ACF≌△BDE（AAS），
∴AC＝BD．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解此题的关键是推出△ACF≌△BDE．
18．（2021秋•海珠区校级期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求证：DE＝CE；
（3）若AE＝4，BE＝6，求四边形ABCD的面积．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】计算题；证明题；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠BAD+∠ABC＝180°，由角平分线的性质可得∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，即可得结论；
（2）延长AE，BC交于点F，由平行线的性质可得∠DAE＝∠F＝∠BAE，可得AB＝BF，由等腰三角形的性质可得AE＝EF，由“ASA”可证△ADE≌△FCE，即可得结论；
（3）由全等三角形的性质可得S△ADE＝S△FCE，可得S四边形ABCD＝S△ABF，由三角形面积公式可求解．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA，
∴∠DAE＝∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠CBE＝∠ABC，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠BEA＝90°，
∴AE⊥BE；
（2）如图，延长AE，BC交于点F，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，
∴∠BAE＝∠F，
∴AB＝BF，且BE⊥AE，
∴AE＝EF，且∠DAE＝∠F，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴DE＝CE；
（3）解：∵AE＝4，
∴EF＝4，
∴AF＝8，
∵△ADE≌△FCE，
∴S△ADE＝S△FCE，
∴S四边形ABCD＝S△ABF，
∴S四边形ABCD＝AF×BE＝24．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积公式，证明△ADE≌△FCE是本题的关键．
19．（2021秋•增城区期中）如图，在△ABC中，AD，AE分别是BC边上的中线和高，∠B＝30°，∠C＝60°，求∠DAE的大小．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】依据∠B＝30°，∠C＝60°，可知△ABC为直角三角形，再根据AD为中线，即可得到△ABD为等腰三角形，即可得到∠ADE的度数，进而得出∠DAE的度数．
【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝90°，
又∵AD为中线，
∴AD＝BC＝BD，
∴∠ADE＝2∠B＝60°，
又∵AE⊥BC，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质，是基础知识要熟练掌握．
20．（2021秋•海珠区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°．
（1）尺规作图：作△ABC的角平分线CD，与AB交于点D；
（2）求∠ACB和∠ADC的度数．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；作图—基本作图．
【专题】作图题；三角形；几何直观．
【分析】（1）依据角平分线的尺规作图方法，即可得出△ABC的角平分线CD；
（2）依据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到∠ACB和∠ADC的度数．
【解答】解：（1）如图所示，CD即为所求；
（2）∵∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝40°，
∴∠ADC＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
【点评】本题主要考查了基本作图以及三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和是180°．
21．（2021秋•海珠区校级期中）如图，AC和BD相交于点E，AB∥CD，BE＝DE．
求证：△ABE≌△CDE．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【分析】由平行线的性质得到∠B＝∠D，∠A＝∠C，再根据全等三角形判定的“AAS”定理即可证得结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠D，∠A＝∠C，
在△ABE和△CDE中，
，
∴△ABE≌△CDE（AAS）
【点评】此题主要考查全等三角形的判定，平行线的性质，熟记全等三角形的各种判断方法是证题的关键．
22．（2021秋•增城区期中）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DE∥AB交BC于E，交AC于F，∠CDE＝∠ACB＝30°．
（1）求证：△FCD是等腰三角形；
（2）若BC＝DE，求∠CAD的度数．
【考点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形．
【分析】（1）由平行可求得∠EFC，由三角形的外角可求得∠FCD，则可证明FD＝FC，可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°
∵AB∥DE，
∴∠EFC＝∠BAC＝60°，
∵∠CDE＝30°，
∴∠FCD＝∠EFC﹣∠CDE＝60°﹣30°＝30°，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴FD＝FC，
即△FCD为等腰三角形；
（2）解：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠B，
在△DCE和△CAB中，，
∴△DCE≌△CAB，（ASA），
∴CA＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝＝75°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质和含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．（2021秋•荔湾区校级期中）如图，在△ABC中，∠B＝26°，∠BAC＝30°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求∠AEC的度数．
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】由已知条件和外角性质求出∠ACD度数，再利用CE平分∠ACD，求∠ECD的度数，再利用直角三角形两锐角互余、三角形外交性质得∠AEC的度数．
【解答】解：∵∠B＝26°，∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝56°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠ECD＝28°，
∵AD⊥BD，
∴∠CDE＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD+∠D＝118°．
【点评】本题考查了角平分线定义、外角性质，掌握这两种性质的应用是解题的关键．
24．（2021秋•荔湾区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）AB＝BC+AD．
（2）AE平分∠BAD．
【考点】角平分线的定义；对顶角、邻补角；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】（1）由AD∥BC，得∠D＝∠ECF．由∠AED与∠FEC是对顶角，得∠AED＝∠FEC．由E为CD的中点，得DE＝CE，从而证得△AED≌△FEC，那么AD＝CF，AE＝FE．欲证AB＝BC+AD，需证AB＝BC+CF，即证AB＝BF．
（2）欲证AE平分∠BAD，即证∠BAE＝∠DAE．由（1）得△AEB≌△FEB，△AED≌△FEC，得∠BAE＝∠F，∠DAE＝∠F，那么∠BAE＝∠DAE．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF．
∵∠AED与∠FEC是对顶角，
∴∠AED＝∠FEC．
∵E为CD的中点，
∴DE＝CE．
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（ASA）．
∴AD＝CF，AE＝FE．
∵BE⊥AE于点E，
∴∠AEB＝90°，∠FEB＝90°．
∴∠AEB＝∠FEB．
在△AEB和△FEB中，
，
∴△AEB≌△FEB（SAS）．
∴AB＝BF．
∴AB＝BC+CF．
∴AB＝BC+AD．
（2）由（1）得：△AEB≌△FEB，△AED≌△FEC．
∴∠BAE＝∠F，∠DAE＝∠F．
∴∠BAE＝∠DAE．
∴AE平分∠BAD．
【点评】本题主要考查平行线的性质、对顶角、线段中点的性质、全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质、线段中点的性质、全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义是解决本题的关键．
考点卡片
1．角平分线的定义
（1）角平分线的定义
从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（2）性质：若OC是∠AOB的平分线
则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC．
（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．
2．对顶角、邻补角
（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．
（3）对顶角的性质：对顶角相等．
（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．
（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．
3．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
7．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
8．全等三角形的判定
（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
9．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
10．角平分线的性质
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE
11．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
12．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
13．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
14．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
15．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
16．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．
17．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．