2015年广州市中考一模数学试卷

这是一份2015年广州市中考一模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列数中比 0 大的数是
A. −1B. −12C. 0D. 1

2. 计算 5x2−2x2 的结果是
A. 3B. 3xC. 3x2D. 3x4

3. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为 1:2．若 BC=1，则 EF 的长是

A. 1B. 2C. 3D. 4

4. 如图，直线 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 E，F．若 ∠AEF=50∘，则 ∠EFC 的大小是
A. 40∘B. 50∘C. 120∘D. 130∘

5. 若点 3,1 在一次函数 y=kx−2k≠0 的图象上，则 k 的值是
A. 5B. 4C. 3D. 1

6. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，∠ACB=30∘，则 ∠AOB 的大小为
A. 30∘B. 60∘C. 90∘D. 120∘

7. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AC=8，BD=6，以 AB 为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为
A. 25π−6B. 252π−6C. 256π−6D. 258π−6

8. 如图，正方形 ABCD 的顶点 B，C 在 x 轴的正半轴上，反比例函数 y=kxk≠0 在第一象限的图象经过顶点 Am,2 和 CD 边上的点 En,23，过点 E 的直线 l 交 x 轴于点 F，交 y 轴于点 G0,−2，则点 F 的坐标是
A. 54,0B. 74,0C. 94,0D. 114,0

9. 若 5k+20<0，则关于 x 的一元二次方程 x2+4x−k=0 的根的情况是
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法判断

10. 如图，四边形 ABCD 是梯形，AD∥BC，CA 是 ∠BCD 的平分线，且 AB⊥AC，AB=4，AD=6，则 tanB=
A. 23B. 22C. 114D. 554

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PA=7，则 PB= ．

12. 广州某慈善机构全年共募集善款 5250000 元，将 5250000 用科学记数法表示为 ．

13. 分解因式： x2+xy= ．

14. 将一副直角三角板 ABC 和 EDF 如图放置，其中 ∠A=60∘，∠F=45∘ ．使点 E 落在 AC 边上，且 ED∥BC ，则 ∠CEF 的度数为 ．

15. 如图，抛物线的顶点为 P−2,2，与 y 轴交于点 A0,3．若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 Pʹ2,−2，点 A 的对应点为 Aʹ，则抛物线上 PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ．

16. 如图，在菱形 ABCD 中，AB=1，∠DAB=60∘．把菱形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 30∘ 得到菱形 ABʹCʹDʹ，其中点 C 的运动路径为 CCʹ，则图中阴影部分的面积为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：12−2tan60∘+2014−10−13−1．

18. 已知 BD 垂直平分 AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC．
（1）证明四边形 ABDF 是平行四边形；
（2）若 AF=DF=5，AD=6，求 AC 的长．

19. 已知关于 x 的方程 mx2−m+2x+2=0m≠0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数 m 的值．

20. 为鼓励创业，市政府制定了小型企业的优惠政策，许多小型企业应运而生，某镇统计了该镇 1−5 月新注册小型企业的数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图：
（1）某镇今年 1−5 月新注册小型企业一共有 家．请将折线统计图补充完整；
（2）该镇今年 3 月新注册的小型企业中，只有 2 家是餐饮企业，现从 3 月新注册的小型企业中随机抽取 2 家企业了解其经营状况，请用列表或画树状图的方法求出所抽取的 2 家企业恰好都是餐饮企业的概率．

21. 如图，点 A，B，C 表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段 AB，BC 表示连接缆车站的钢缆，已知 A，B，C 三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度 AAʹ，BBʹ，CCʹ 分别为 110 米、 310 米、 710 米，钢缆 AB 的坡度 i1=1:2，钢缆 BC 的坡度 i2=1:1，景区因改造缆车线路，需要从 A 到 C 直线架设一条钢缆，那么钢缆 AC 的长度是多少米?（注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）

22. 某新建火车站站前广场需要绿化的面积为 46000 m2，施工队在绿化了 22000 m2 后，将每天的工作量增加为原来的 1.5 倍，结果提前 4 天完成了该项绿化工程．
（1）该项绿化工程原计划每天完成多少 m2?
（2）该项绿化工程中有一块长为 20 m，宽为 8 m 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 56 m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米?

23. 综合与探究：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，四边形 OABC 是平行四边形，A，C 两点的坐标分别为 4,0，−2,3，抛物线 W 经过 O，A，C 三点，D 是抛物线 W 的顶点．
（1）求抛物线 W 的解析式及顶点 D 的坐标；
（2）将抛物线 W 和平行四边形 OABC 一起先向右平移 4 个单位后，再向下平移 m0（3）在（2）的条件下，当 S 取最大值时，设此时抛物线 Wʹ 的顶点为 F，若点 M 是 x 轴上的动点，点 N 是抛物线 Wʹ 上的动点，试判断是否存在这样的点 M 和点 N，使得以 D，F，M，N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

24. 如图，抛物线 y=−x2−2x+3 的图象与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C，点 D 为抛物线的顶点．
（1）求 A，B，C 的坐标；
（2）点 M 为线段 AB 上一点（点 M 不与点 A，B 重合），过点 M 作 x 轴的垂线，与直线 AC 交于点 E，与抛物线交于点 P，过点 P 作 PQ∥AB 交抛物线于点 Q，过点 Q 作 QN⊥x轴 于点 N．若点 P 在点 Q 左边，当矩形 PMNQ 的周长最大时，求 △AEM 的面积；
（3）在（2）的条件下，当矩形 PMNQ 的周长最大时，连接 DQ．过抛物线上一点 F 作 y 轴的平行线，与直线 AC 交于点 G（点 G 在点 F 的上方）．若 FG=22DQ，求点 F 的坐标．

25. 如图，直线 AB 的解析式为 y=2x+4，交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，以 A 为顶点的抛物线交直线 AB 于点 D，交 y 轴负半轴于点 C0,−4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线顶点沿着直线 AB 平移，此时顶点记为 E，与 y 轴的交点记为 F，
①求当 △BEF 与 △BAO 相似时，E 点的坐标；
②记平移后抛物线与直线 AB 另一个交点为 G，则 S△EFG 与 S△ACD 是否存在 8 倍的关系?若有请直接写出 F 点的坐标．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. B
4. D
5. D
6. B【解析】由矩形的性质可得 ∠ABC=90∘，AO=OB，
∵∠ACB=30∘，
∴∠BAC=60∘ ，
∴△AOB 是等边三角形，
∴∠AOB=60∘．
7. D
8. C【解析】由题意可知 AB=2，n=m+2 ，
所以 2m=m+2×23=k .
解得 m=1 .
所以 E3,23 .
设 EG 的解析式为 y=kx+b . 把 E3,23，G0,−2 代入 y=kx+b ，
解得 k=89b=−2.
∴y=89x−2 .
令 y=0 ， 解得 x=94 .
∴F94,0 .
9. A
10. B
【解析】提示：过 A 作 AE∥DC 交 BC 于点 E，连接 DE，交 AC 于点 O．
第二部分
11. 7
【解析】由垂直平分线的性质可知，PA=PB=7．
12. 5.25×106
13. x(x+y)
14. 15∘
15. 12
【解析】连接 AP，AʹPʹ，过点 A 作 AD⊥PPʹ 于点 D．如图：
由题意可得出：AP∥AʹPʹ，AP=AʹPʹ，
∴ 四边形 APPʹAʹ 是平行四边形，
∵ 抛物线的顶点为 P−2,2，与 y 轴交于点 A0,3，平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P′2,−2，
∴PO=22+22=22，∠AOP=45∘，
又 ∵AD⊥OP，
∴ △ADO 是等腰直角三角形，
∴ PPʹ=2OP，AD=DO=sin45∘⋅OA．
∴△ADO 是等腰直角三角形，
∴PP′=22×2=42，
∴AD=DO=sin45∘⋅OA=22×3=322，
∴ 抛物线上 PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为：42×322=12．
16. π4+32−3
【解析】如图，连接 BCʹ，CDʹ，设 BC 与 CʹDʹ 交于点 O．
因为 ∠DADʹ=∠BADʹ=30∘，
由菱形的性质可得 A，Dʹ，C 三点共线，
同理可得 A，B，Cʹ 三点共线．
则 ∠ACʹDʹ=30∘，∠CBCʹ=60∘，
所以 ∠BOCʹ=90∘，则可求 ACʹ=3，
所以 BCʹ=3−1，BO=32−12，OCʹ=32−32．
所以 S△BOCʹ=12×32−12×32−32=32−34，
同理 S△DʹOC=32−34．
所以 S阴影=30×π×32360−2×32−34=π4+32−3．
第三部分
17. 原式=23−23+1−3=−2.
18. （1） ∵BD 垂直平分 AC，
∴AB=BC，AD=DC．
在 △ADB 与 △CDB 中，
AB=BC,AD=DC,DB=DB,
∴△ADB≌△CDBSSS，
∴∠BCD=∠BAD．
∵∠BCD=∠ADF，
∴∠BAD=∠ADF，
∴AB∥FD．
∵BD⊥AC，AF⊥AC，
∴AF∥BD，
∴ 四边形 ABDF 是平行四边形．
（2） ∵ 四边形 ABDF 是平行四边形，AF=DF=5，
∴ 平行四边形 ABDF 是菱形，
∴AB=BD=5．
∵AD=6，
设 BE=x，则 DE=5−x．
∴AB2−BE2=AD2−DE2，即 52−x2=62−5−x2，解得 x=75，
∴AE=AB2−BE2=245，
∴AC=2AE=485．
19. （1） ∵m≠0，Δ=−m+22−4m×2=m2−4m+4=m−22，
又 m−22≥0，
∴Δ≥0．
∴ 方程总有两个实数根．
（2） 因式分解，得 x−1mx−2=0，
∴x−1=0 或 mx−2=0．
∴x1=1，x2=2m．
当 m 为正整数 1 或 2 时，x2 为整数，即方程的两个实数根都是整数，
∴ 正整数 m 的值为 1 或 2．
20. （1） 16；
（2） 设该镇今年 3 月新注册的小型企业为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙为餐饮企业．画树状图得：
∵ 共有 12 种等可能的结果，甲、乙 2 家企业恰好被抽到的有 2 种，
∴ 所抽取的 2 家企业恰好都是餐饮企业的概率为：212=16．
21. 过点 A 作 AE⊥CCʹ 交 CCʹ 于点 E，交 BBʹ 于点 F，过点 B 作 BD⊥CCʹ 交 CCʹ 于点 D，
则 △AFB，△BDC，△AEC 都是直角三角形，四边形 AAʹBʹF，BBʹCʹD 和 BFED 都是矩形，
∴BF=BBʹ−BʹF=BBʹ−AAʹ=310−110=200，CD=CCʹ−CʹD=CCʹ−BBʹ=710−310=400，
∵i1=1:2，i2=1:1，
∴AF=2BF=400，BD=CD=400，
又 EF=BD=400，DE=BF=200，
∴AE=AF+EF=800，CE=CD+DE=600，
∴ 在 Rt△AEC 中，AC=AE2+CE2=8002+6002=1000（米）．
答：钢缆 AC 的长度是 1000 米．
22. （1） 设该项绿化工程原计划每天完成 x m2，
根据题意得：
46000−22000x−46000−220001.5x=4.
解得：
x=2000.
经检验，x=2000 是原方程的解，且符合题意．
答：该绿化项目原计划每天完成 2000 m2．
（2） 设人行道的宽度为 a m，
根据题意得，
20−3a8−2a=56.
解得：
a=2或a=263不合题意,舍去.
答：人行道的宽为 2 m．
23. （1） 设抛物线 W 的解析式为 y=ax2+bx+c a≠0．
∵ 抛物线 W 经过 O0,0，A4,0，C−2,3 三点，
c=0,16a+4b+c=0,4a−2b+c=3,
解得 a=14,b=−1,c=0.
∴ 抛物线 W 的解析式为 y=14x2−x．
∵y=14x2−x=14x−22−1，
∴ 顶点 D 的坐标为 2,−1．
（2）
如图，过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，由平移可知，点 Cʹ 在 BE 上，且 BCʹ=m．
由平行四边形 OABC 得，CB∥OA，CB=OA=4．
又 C 点坐标为 −2,3，
∴B 点的坐标为 2,3．
∴BE=3，OE=2，
∴EA=OA−OE=2．
∵CʹBʹ∥x 轴，
∴△BCʹG∽△BEA，
∴BCʹBE=CʹGEA，即 m3=CʹG2，
∴CʹG=23m．
由平移知，平四边形 OʹAʹBʹCʹ 与平行四边形 OABC 的重叠部分四边形 CʹHAG 是平行四边形．
∴S=CʹG⋅CʹE=23m3−m=−23x−322+32，
∴ 当 m=32 时，S 有最大值为 32．
（3） 答：存在．
在（2）的条件下，抛物线 W 向右平移 4 个单位，再向下平移 32 个单位，得到抛物线 Wʹ，
∵D2,−1，
∴F6,−52；
∴ 抛物线 Wʹ 的解析式为 y=14x−62−52．
设 Mt,0，以 D，F，M，N 为顶点的四边形是平行四边形．
（i）若点 N 在 x 轴下方，如图所示：
过点 D 作 DP∥y 轴，过点 F 作 FP⊥DP 于点 P，
∵D2,−1，F6,−52，
∴DP=32，FP=4；
过点 N 作 NQ⊥x 轴于点 Q，
由四边形 FDMN 为平行四边形，易证 △DFP≌△NMQ，
∴MQ=FP=4，NQ=DP=32，
∴N4+t,−32，
将点 N 坐标代入抛物线 Wʹ 的解析式 y=14x−62−52，
得 14t−22−52=−32，解得 t=0 或 t=4，
∴ 点 M 的坐标为 0,0 或 4,0；
（ii）若点 N 在 x 轴上方，
与（i）同理，得 N4−t,32，
将点 N 坐标代入抛物线 Wʹ 的解析式 y=14x−62−52，
得 14t−102−52=32，
解得 t=6 或 t=14，
∴ 点 M 的坐标为 6,0 或 14,0．
综上所述，存在这样的点 M 和点 N，点 M 的坐标分别为 0,0，4,0，6,0，14,0．
24. （1） 由抛物线 y=−x2−2x+3 可知，当 x=0 时，y=3，
所以点 C 的坐标为 0,3，
令 y=0，则 0=−x2−2x+3，
解得 x=−3 或 x=1，
因为点 A 在点 B 的左边，
所以 A−3,0，B1,0．
（2） 由抛物线 y=−x2−2x+3 可知，对称轴为直线 x=−1，
设 M 点的横坐标为 m，则 PM=−m2−2m+3，MN=−m−1×2=−2m−2，
所以矩形 PMNQ 的周长为
2PM+MN=−m2−2m+3−2m−2×2=−2m2−8m+2=−2m+22+10.
因为点 P 在点 Q 的左边，
所以 −3所以当 m=−2 时矩形的周长最大．
设直线 AC 解析式为 y=kx+b，将 A−3,0，C0,3 代入得 −3k+b=0,b=3, 解得 k=1,b=3.
所以直线 AC 的解析式为 y=x+3，
因为当 x=−2 时，y=1，
所以点 E 的坐标为 −2,1，
所以 EM=1，AM=1，
所以 S△AEM=12⋅AM⋅EM=12，即 △AEM 的面积为 12．
（3） 因为 M 点的横坐标为 −2，抛物线的对称轴为直线 x=−1，
所以 N 点应与原点重合，Q 点与 C 点重合，
所以 DQ=DC，
把 x=−1 代入 y=−x2−2x+3，得 y=4，
所以点 D 的坐标为 −1,4，
所以 DQ=DC=4−32+0−−12=2，
因为 FG=22DQ，
所以 FG=4，
设点 F 的坐标为 n,−n2−2n+3，
则点 G 的坐标为 n,n+3，
因为点 G 在点 F 的上方，
所以 n+3−−n2−2n+3=4，
解得：n=−4 或 n=1．
因为当 n=1 时，−n2−2n+3=0，
当 n=−4 时，−n2−2n+3=−5，
所以点 F 的坐标为 −4,−5 或 1,0．
25. （1） 直线 AB 的解析式为 y=2x+4，
令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=−2．
∴ A−2,0，B0,4．
∵ 抛物线的顶点为点 A−2,0，
∴ 设抛物线的解析式为：y=ax+22，
点 C0,−4 在抛物线上，代入上式得：−4=4a，解得 a=−1，
∴ 抛物线的解析式为 y=−x+22．
（2） 平移过程中，设点 E 的坐标为 m,2m+4，
则平移后抛物线的解析式为：y=−x−m2+2m+4，
∴ F0,−m2+2m+4．
①若 △BEF 与 △BAO 相似，则只能是点 E 作为直角顶点，
∴ △BAO∽△BFE，
∴ OAEF=OBBE，即 2EF=4BE，可得：BE=2EF．
如图 1，过点 E 作 EH⊥y轴 于点 H，
则点 H 坐标为：H0,2m+4．
∵ B0,4，H0,2m+4，F0,−m2+2m+4，
∴ BH=∣2m∣，FH=∣−m2∣．
∵ ∠BEF=∠EHB=∠EHF=90∘，
∴ ∠BEH+∠FEH=∠EFH+∠FEH=∠BEH+∠EBH=90∘，
∴ ∠EBH=∠FEH，∠BEH=∠EFH，
∴ △BEH∽△BFE，△EFH∽△BFE，
∴ BEBF=BHBE，EFBF=FHEF，
∴ BE2=BH⋅BF，EF2=FH⋅BF，
∵ BE=2EF，
∴ BH=4FH，
即：4∣−m2∣=∣2m∣．
若 −4m2=2m，解得 m=−12 或 m=0（与点 B 重合，舍去）；
若 −4m2=−2m，解得 m=12 或 m=0（与点 B 重合，舍去），此时点 E 位于第一象限，∠BEF 为锐角，故此情形不成立．
∴ m=−12，
此时 −12×2+4=3，
∴ E−12,3．
② S△EFG 与 S△ACD 存在 8 倍的关系，点 F 坐标为 0,−60，0,3，0,5．