2020-2021学年山西省晋中高二（下）4月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山西省晋中高二（下）4月月考数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 复数z=i+i2，则z在复平面内所对应的点位于( )
A.第一象限B.第三象限C.第二象限D.第四象限

2. 由①正方形的对角线相等；②矩形的对角线相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，作为大前提、小前提和结论的分别为( )
A.②①③B.③①②C.②③①D.①②③

3. 为研究变量x和y的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程l1和l2，两人计算知x相同，y也相同，下列正确的是（ ）
A.l1与l2重合B.l1与l2一定平行
C.无法判断l1和l2是否相交D.l1与l2相交于点(x, y)

4. 若复数z满足：zi2021=2−i，则z=( )
A.−1−2iB.−1+2iC.1−2iD.1+2i

5. 在一次独立性检验中，得出2×2列联表如下：
最后发现，两个分类变量x和y没有任何关系，则m的可能值是（ ）
A.200B.180C.100D.720

6. 直线x=−1+tsin40∘,y=3+tcs40∘（t为参数）的倾斜角是（ ）
A.50∘B.70∘C.20∘D.40∘

7. 在复平面内，复数3−4i，i2+i对应的点分别为A，B，则线段AB的中点C对应的复数为( )
A.−2+2iB.2−2iC.1−iD.−1+i

8. 在极坐标系中，圆ρ=cs(θ+π3)的圆心的极坐标为（ ）
A.(12，π3)B.(12,−π3)C.(1,−π3)D.(1,π3)

9. 我们知道：在平面内，点x0,y0到直线Ax+By+C=0的距离公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点2,4,3到直线x+2y+2z+2=0的距离为( )
A.3B.5C.1855D.6

10. 已知“整数对”按如下规律排成一列：(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(1, 3)，(2, 2)，(3, 1)，(1, 4)，(2, 3)，(3, 2)，(4, 1)，…，则第60个“整数对”是( )
A.(7,5)B.(2,10)C.(5,7)D.(10,1)

11. 参数方程x=2+sin2θy=−1+cs2θ（θ为参数）化成普通方程是（ ）
A.2x−y+4=0，x∈[2, 3]B.2x+y−4=0
C.2x+y−4=0，x∈[2, 3]D.2x−y+4=0

12. 已知1+2×3+3×32+4×33+⋯+n×3n−1=3nna−b+c对一切n∈N∗都成立，那么a，b，c的值为( )
A.a=b=c=14B.a=12，b=c=14
C.a=0，b=c=14D.不存在这样的a，b，c
二、填空题

已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S=12aℎ，可知扇形的面积公式为________.

为了对x，y两个变量进行统计分析，现根据两种线性模型分别计算出甲模型的相关指数为R12=0.845，乙模型的相关指数为R22=0.82，则________（填“甲”或“乙”）模型拟合的效果更好．

以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=________．

若动点x,y在曲线x24+y2b2=10三、解答题

2019年底，湖北省武汉市等多个地区陆续出现感染新型冠状病毒肺炎的患者．为及时有效地对疫情数据进行流行病学统计分析，某地研究机构针对该地实际情况，根据该地患者是否有武汉旅行史与是否有确诊病例接触史，将新冠肺炎患者分为四类：有武汉旅行史（无接触史），无武汉旅行史（无接触史），有武汉旅行史（有接触史）和无武汉旅行史（有接触史），统计得到以下相关数据．
(1)请将列联表填写完整：

(2)能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系？
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d, n=a+b+c+d，

求当实数m为何值时，z=m2−m−6m+3+(m2+5m+6)i分别是：
(1)实数；

(2)虚数；

(3)纯虚数．

已知斜率为1的直线l经过点P(1,1).
(1)写出直线l的参数方程；

(2)设直线l与圆x2+y2=4相交于A,B两点，求|PA|2−|PB|2 的值.

已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S5=3132，求λ．

在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为x=2csφ,y=sinφ （φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=π3与曲线C2交于点D(2,π3)．
(1)求曲线C1，C2的普通方程；

(2)A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+π2)是曲线C1上的两点，求1ρ12+1ρ22的值．

2019年春节前后，中国爆发新型冠状病毒(SARS−Cv2).如图所示为1月24日至2月16日中国内地（除湖北以外的）感染新型冠状病毒新增人数的折线图，为了预测分析数据的变化规律，建立了y与时间变量t的不同时间段的两个线性回归模型.根据1月24日至2月3日的数据（时间变量t的值依次为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11)建立模型①：y=bt+a；根据2月4日至2月16日的数据（时间变量t的值依次为12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24)建立模型②：y=ct+d.

(1)求出两个回归直线方程；（计算结果取整数）

(2)中国政府为了人民的生命安全，听取专家意见，了解了病毒信息，并迅速做出一系列的隔离防护措施，但新冠状病毒在世界范围内爆发时，某些欧美国家采取放任的态度，不治疗、不隔离、不检测，甚至不公布，请你用以上数据说明采取一系列措施的必要性，不采取措施的后果.
参考数据： i=111xi−xyi−y≈7174，y(1)=111i=111yi≈537，
i=1224xi−xyi−y=−10009，y(2)=113i=1224yi=468.
参考公式： b=i=1nxi−xyi−yi=1nxi−x2,a=y−bx.
参考答案与试题解析
2020-2021学年山西省晋中市高二（下）4月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
共轭复数
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
把已知等式变形，进一步求出z的坐标得答案．
【解答】
解：∵z=i+i2=−1+i，
∴z=−1−i，
∴z在复平面内对应的点的坐标为(−1,−1)，位于第三象限．
故选B．
2.
【答案】
C
【考点】
演绎推理
【解析】
由题意，根据三段论的形式“大前提，小前提，结论”直接写出答案即可.
【解答】
解：用三段论的形式写出的演绎推理是：
大前提 ②矩形的对角线相等；
小前提 ③正方形是矩形；
结论 ①正方形的对角线相等.
故选C．
3.
【答案】
D
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
由题意知，两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，所以两组数据的样本中心点是(x, y)，回归直线经过样本的中心点，得到直线l1和l2都过(x, y)．
【解答】
解：∵ 两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值相同，对变量y的观测数据的平均值也相同，
∴ 两组数据的样本中心点是(x, y)
∵ 回归直线经过样本的中心点，
∴ l1和l2都过(x, y)．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
首先确定i2021=i505×4+1=i，再计算即可.
【解答】
解：∵ zi2021=2−i，i2021=i505×4+1=i，
∴ zi=2−i，
∴ z=2−ii=2−iii2=−1−2i.
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
独立性检验的应用
【解析】
这是一个独立性检验应用题，处理本题的关键根据列联表，及K2的计算公式，计算出K2的值，并代入临界值表中进行比较，再根据a的取值情况，即可得到答案．
【解答】
解：计算K2=(1180+m)×(200m−180×800)2380×(800+m)×(180+m)×1000，
当m=200时，K2=(1180+200)×(200×200−180×800)2380×(800+200)×(180+200)×1000
≈103.37>3.841，此时两个分类变量x和y有关系；
当m=720时，K2=(1180+720)×(200×720−180×800)2380×(800+720)×(180+720)×1000
=0
由K2≤3.841，知此时两个分类变量x和y没有任何关系，
则m的可能值是720．
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
直线的参数方程
直线的倾斜角
【解析】
利用直线斜率的计算公式、函数的诱导公式即可得出．
【解答】
解：由直线x=−1+tsin40∘,y=3+tcs40∘（t为参数）
可得y−3x+1=cs40∘sin40∘=sin50∘cs50∘=tan50∘，
∴ 直线的倾斜角为：50∘．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
由复数代数形式的乘法运算化简i2+i，求出A，B的坐标，利用中点坐标公式求得C的坐标，则答案可求．
【解答】
解：∵i2+i=−1+2i，
∴复数3−4i，i2+i对应的点A，B的坐标分别为：A3,−4，B−1,2，
∴线段AB的中点C的坐标为1,−1，
则线段AB的中点C对应的复数为1−i．
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
圆的极坐标方程
【解析】
把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，得出圆心与半径，进而得到圆心的极坐标方程．
【解答】
解：由圆ρ=cs(θ+π3)，化为ρ2=ρ(12csθ−32sinθ)，
∴ x2+y2=12x−32y，
化为(x−14)2+(y+34)2=14，
∴ 圆心为(14,−34)，半径r=12．
∵ tanα=−3，取极角−π3，
∴ 圆ρ=cs(θ+π3)的圆心的极坐标为(12,−π3)．
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
类比推理
【解析】
类比平面内点到直线的距离公式，计算空间中点到直线x+2y+2z+2=0的距离．
【解答】
解：平面内点x0,y0到直线Ax+By+C=0的距离公式d=|Ax0+By0+C|A2+B2，
类比平面内点到直线的距离公式，
可得空间中点2,4,3到直线x+2y+2z+2=0的距离为
d=|1×2+2×4+2×3+2|12+22+22=183=6．
故选D．
10.
【答案】
C
【考点】
归纳推理
【解析】
试题分析：根据已知条件，在直角坐标系中画出各点，其规律如图所示，因为1111+12=66，可知第60个数对落在第11个与y=−x
平行的直线上的，为5,7
试题解析：将所给出的点列在平面直角坐标系内，从1,1点开始，各点分别落在与y=−x平行的直线上，且第一组有一个点，第二组有两个点(1, 2)，（21），以此类推第三组有三个点……则第11组的最后一个数为第66个数，则第60个点为5,7
【解答】
解：依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，
不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n+1 ，
且第n组共有n个“整数对”，
这样的前n组一共有nn+12个“整数对”，
注意到10×10+12<60<11×11+12 ，
因此第60个“整数对”处于第11组（每个“整数对”的和为12的组）的第5个位置，
结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为 1,11,2,10,3,9,4,8,5,7，…．
因此第60个“整数对”是5,7.
故选C.
11.
【答案】
C
【考点】
参数方程与普通方程的互化
【解析】
由于cs2θ=1−2sin2θ，由已知条件求出cs2θ和sin2θ 代入化简可得结果．
【解答】
解：由条件可得 cs2θ=y+1=1−2sin2θ=1−2(x−2)，
化简可得2x+y−4=0，x∈[2, 3]，
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
函数与方程的综合运用
【解析】
因为等式对一切正整数都成立，取最简单的1，2，3代入等式得到三个三元一次方程组成方程组求出解集得到a、b、c即可．
【解答】
解：∵等式对一切n∈N∗均成立，
∴n=1，2，3时等式成立，即
1=3a−b+c，1+2×3=322a−b+c，1+2×3+3×32=333a−b+c，
整理得3a−3b+c=1，18a−9b+c=7，81a−27b+c=34，
解得a=12，b=c=14．
故选B．
二、填空题
【答案】
S=12lr
【考点】
类比推理
扇形面积公式
【解析】
直接利用类比推理和三角形的面积公式得解．
【解答】
解：三角形的面积公式S=12aℎ，类比得扇形的面积公式为S=12lr.
故答案为：S=12lr.
【答案】
甲
【考点】
线性相关关系的判断
【解析】
根据相关数的定义，即可得出结论．
【解答】
解：相关指数越接近1，表明拟合效果越好，
∵ R12=0.845，R22=0.82，
∴ 甲模型拟合效果更好．
故答案为：甲．
【答案】
e4
【考点】
求解线性回归方程
对数的运算性质
【解析】
我们根据对数的运算性质：lga(MN)=lgaM+lgaN，lgaNn=nlgaN，即可得出结论．
【解答】
解：∵ y=cekx，
∴ 两边取对数，可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx，
令z=lny，可得z=lnc+kx.
∵ z=0.3x+4，
∴ lnc=4，
∴ c=e4．
故答案为：e4．
【答案】
4+b24
【考点】
椭圆的参数方程
二次函数在闭区间上的最值
椭圆的标准方程
【解析】
用三角换元x=2csθ，y=bsinθ，将其代入x2+2y得x2+2y=−4sinθ−b42+4+b24，再根据b的取值范围，结合二次函数的图象与性质，即可得到x2+2y的最大值．
【解答】
解：令x=2csθ，y=bsinθ(θ为参数)，
则x2+2y=4cs2θ+2bsinθ
=41−sin2θ+2bsinθ
=−4sin2θ+2bsinθ+4
=−4sin2θ−b2sinθ+4
=−4sinθ−b42+4+b24，
因为0故答案为：4+b24．
三、解答题
【答案】
解：(1)补充列联表如下：
(2)根据列表中的数据，
由于K2=54×9×9−18×18227×27×27×27
=54×9−1829+182274
=54×92×272274
=2×9227
=6>5.024．
因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系．
【考点】
独立性检验的应用
独立性检验
【解析】
左侧图片未给出解析
左侧图片未给出解析
【解答】
解：(1)补充列联表如下：
(2)根据列表中的数据，
由于K2=54×9×9−18×18227×27×27×27
=54×9−1829+182274
=54×92×272274
=2×9227
=6>5.024．
因此，在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为有武汉旅行史与有确诊病例接触史有关系．
【答案】
解：(1)要使m2−m−6m+3有意义，则m≠−3.
当m2+5m+6=0,m≠−3,即m=−2时，复数z为实数.
(2)当m2+5m+6≠0,m≠−3,即m≠−3且m≠−2时，复数z为虚数.
(3)当m2−m−6m+3=0,m2+5m+6≠0,即m=3时，复数z为纯虚数．
【考点】
复数的基本概念
【解析】
首先要使m2−m−6m+3有意义，则m≠−3，（1）当复数z虚部等于0时，为实数；
（2）当复数z虚部不等于0时，为虚数；
（3）当复数z实部等于0虚部不等于0时，为纯虚数．
【解答】
解：(1)要使m2−m−6m+3有意义，则m≠−3.
当m2+5m+6=0,m≠−3,即m=−2时，复数z为实数.
(2)当m2+5m+6≠0,m≠−3,即m≠−3且m≠−2时，复数z为虚数.
(3)当m2−m−6m+3=0,m2+5m+6≠0,即m=3时，复数z为纯虚数．
【答案】
解：(1)直线l的参数方程为x=1+tcsπ4y=1+tsinπ4，即x=1+22ty=1+22t.
(2)将x=1+22ty=1+22t代入x2+y2=4，
化简整理得：t2+22t−2=0.
因为|PA|+|PB|=|AB|=4，
||PA|−|PB||=|t1+t2|=22.
所以||PA|2−|PB|2|=82.
【考点】
直线的参数方程
直线和圆的方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)直线l的参数方程为x=1+tcsπ4y=1+tsinπ4，即x=1+22ty=1+22t.
(2)将x=1+22ty=1+22t代入x2+y2=4，
化简整理得：t2+22t−2=0.
因为|PA|+|PB|=|AB|=4，
||PA|−|PB||=|t1+t2|=22.
所以||PA|2−|PB|2|=82.
【答案】
解：(1)∵ Sn=1+λan，λ≠0．
∴ an≠0．
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=1+λan−1−λan−1=λan−λan−1，
即(λ−1)an=λan−1，
即anan−1=λλ−1，(n≥2)，
∴ {an}是等比数列，公比q=λλ−1，
当n=1时，S1=1+λa1=a1，
即a1=11−λ，
∴ an=11−λ⋅(λλ−1)n−1．
(2)若S5=3132，
则若S5=1+λ(11−λ)⋅(λλ−1)4=3132，
即(λ1−λ)5=3132−1=−132，
则λ1−λ=−12，得λ=−1．
【考点】
数列递推式
等比关系的确定
【解析】
（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即可．
（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．
【解答】
解：(1)∵ Sn=1+λan，λ≠0．
∴ an≠0．
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=1+λan−1−λan−1=λan−λan−1，
即(λ−1)an=λan−1，
即anan−1=λλ−1，(n≥2)，
∴ {an}是等比数列，公比q=λλ−1，
当n=1时，S1=1+λa1=a1，
即a1=11−λ，
∴ an=11−λ⋅(λλ−1)n−1．
(2)若S5=3132，
则若S5=1+λ(11−λ)⋅(λλ−1)4=3132，
即(λ1−λ)5=3132−1=−132，
则λ1−λ=−12，得λ=−1．
【答案】
解：(1)曲线C1的参数方程为x=2csφ,y=sinφ （φ为参数），
所以普通方程为x24+y2=1．
曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，
所以射线θ=π3与曲线C2交于点D(2,π3)，
曲线C2的普通方程为(x−2)2+y2=4.
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ2=44sin2θ+cs2θ，
所以1ρ12+1ρ22
=4sin2θ+cs2θ4+4cs2θ+sin2θ4
=54.
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程化为普通方程
点的极坐标和直角坐标的互化
【解析】
（1）消去参数，可得曲线C1的普通方程，利用曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ=π3与曲线C2交于点D(2,π3)，可得曲线C2的普通方程；
（2）曲线C1的极坐标方程为ρ2=44sin2θ+cs2θ，代入，可得1ρ12+1ρ22的值．
【解答】
解：(1)曲线C1的参数方程为x=2csφ,y=sinφ （φ为参数），
所以普通方程为x24+y2=1．
曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，
所以射线θ=π3与曲线C2交于点D(2,π3)，
曲线C2的普通方程为(x−2)2+y2=4.
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ2=44sin2θ+cs2θ，
所以1ρ12+1ρ22
=4sin2θ+cs2θ4+4cs2θ+sin2θ4
=54.
【答案】
解：(1)当1≤t≤11时，t(1)=111×11×1+112=6，
i=111(ti−t(1))=52+42+32+22+12×2=110，
∴ b=7174110≈65，
∴ a=537−65×6=147，
∴ 模型①：y=65t+147；
当12≤t≤24时，t(2)=113×13×12+242=18，
i=1224=62+52+42+32+22+12×2=182，
∴ c=−10009182≈−55，
∴ d=468−(−55)×18=1458，
∴ 模型②：y=−55t+1458.
(2)由图可观察出除湖北外由于我国的隔离防护等一系列措施的实施，从2月3日以后新冠状病毒新增确诊病例出现了拐点，逐渐减少，呈下降的趋势，效果显著；假如不采取措施，任由其发展，按模型①的规律发展下去，在2月16日，即t=24时，新增确诊病例预测为y=65×24+147=1707，是采取措施后的十几倍，所以任何国家和政府都应把人民生命财产安全放在首位.
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
（1）结合题设的参考数据及参考公式求回归方程即可；
（2）利用回归方程，结合题设对应图像分析即可得解．
【解答】
解：(1)当1≤t≤11时，t(1)=111×11×1+112=6，
i=111(ti−t(1))=52+42+32+22+12×2=110，
∴ b=7174110≈65，
∴ a=537−65×6=147，
∴ 模型①：y=65t+147；
当12≤t≤24时，t(2)=113×13×12+242=18，
i=1224=62+52+42+32+22+12×2=182，
∴ c=−10009182≈−55，
∴ d=468−(−55)×18=1458，
∴ 模型②：y=−55t+1458.
(2)由图可观察出除湖北外由于我国的隔离防护等一系列措施的实施，从2月3日以后新冠状病毒新增确诊病例出现了拐点，逐渐减少，呈下降的趋势，效果显著；假如不采取措施，任由其发展，按模型①的规律发展下去，在2月16日，即t=24时，新增确诊病例预测为y=65×24+147=1707，是采取措施后的十几倍，所以任何国家和政府都应把人民生命财产安全放在首位.y1
y2
合计
x1
200
800
1000
x2
180
m
180+m
合计
380
800+m
1180+m
有接触史
无接触史
总计
有武汉旅行史
27
无武汉旅行史
18
总计
27
54
PK2≥k
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
有接触史
无接触史
总计
有武汉旅行史
9
18
27
无武汉旅行史
18
9
27
总计
27
27
54
有接触史
无接触史
总计
有武汉旅行史
9
18
27
无武汉旅行史
18
9
27
总计
27
27
54