2020-2021学年山西省晋中市高一（下）4月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年山西省晋中市高一（下）4月月考数学试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列命题正确的是( )
A.两个具有公共终点的向量，一定是共线向量
B.两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
C.若λa→=0→(λ为实数)，则λ必为零
D.已知λ，μ为实数，若λa→=μb→，则a→与b→共线

2. 若复数z=mm−1+m−1i是纯虚数，则实数m是( )
A.1B.0C.−1D.2

3. 在下列向量组中，可以作为基底的是( )
A.e1→=(0,0)，e2→=(1,2)
B.e1→=(2,−3)，e2→=(−2,3)
C.e1→=(3,5)，e2→=(6,10)
D.e1→=(−1,2)，e2→=(5,−2)

4. 已知Rt△ABC中， AB=AC=3，BD→=13BC→，则AD→⋅AB→=( )
A.3B.−3C.6D.352

5. 已知向量a→，b→不共线，若向量a→+λb→与b→+λa→的方向相反，则λ等于( )
A.−1B.0C.1D.±1

6. 已知△ABC中， a=2，b=3，B=60∘，那么A=( )
A.30∘B.45∘C.90∘D.135∘

7. 已知|a→|=3，|b→|=4，2b→−3a→⋅2b→+a→=61，则|a→|与|b→|的夹角为( )
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

8. 如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE→=( )

A.−56AB→+16AC→B.56AB→−16AC→
C.56AC→+16AB→D.−56AC→−16AB→

9. 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a=2bcsC，则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形

10. 在四边形ABCD中，AB→=DC→=1,1，BA→|BA→|+BC→|BC→|=3BD→|BD→|，则四边形ABCD的面积为( )
A.3B.32C.23D.1

11. 如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)；AB=5km，BC=8km，CD=3km，DA=5km，且A，B，C，D四点共圆，则AC的长为( )km.

A.3B.4C.6D.7

12. 已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形外接圆的半径为( )
A.1B.2C.3D.4
二、填空题

复数z=i+i2+i3+i4的值是________．

已知向量a→，b→满足|a→|=3，|b→|=1，且|a→−b→|=|a→+b→|，则a→⋅a→−b→=________．

已知向量a→=m,3，b→=m+2,1，若a→⋅b→=|a→|2，则m等于________.

在△ABC中，已知b2−bc−2c2=0，a=6，csA=78 ，则△ABC的面积S为________.
三、解答题

已知复数z的实部为正数，|z|=2，z2的虚部为2，求复数z.

已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A−2,1，Ba,3，a∈R.
复数z=z1⋅z2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a的值．

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acsC−c=2b．求角A的大小.

已知向量a→,b→不共线， c→=ka→+b→，d→=a→−b→．
(1)若c→//d→，求k的值；

(2)若|a→|=|b→|， a→与b→夹角为60∘，当k为何值时c→⊥d→．

已知a→，b→是两个单位向量，且|3a→−2b→|=3.
(1)求a→⋅b→；

(2)求|3a→+b→|的值．

设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，m→=(csC2,sinC2)，n→=(csC2,−sinC2)，m→与n→的夹角为π3.
(1)求角C的大小；

(2)已知c=72，△ABC的面积S=332，求a+b的值．.

已知向量a→=(2+sinx,1)，b→=(2,−2)，c→=(sinx−3,1)，d→=(−2,k)(x∈R，k∈R).
(1)若x∈−π2,π2，且a→//b→+c→，求x的值；

(2)若函数fx=a→⋅b→，求fx的值域；

(3)是否存在实数k，使得a→+d→⊥b→+c→？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年山西省晋中市高一（下）4月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
向量的共线定理
零向量
向量的模
【解析】
直接利用概念，逐个判断即可.
【解答】
解：A，两个具有公共终点的向量，方向无法确定，故不是共线向量，故A错误；
B，两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，故B正确；
C，若a→=0→，λ可取任意数，故C错误；
D，若λ=μ=0，此时无法判断，故D错误.
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
复数的基本概念
【解析】
直接利用复数的相关概念，逐个判断即可.
【解答】
解：由题意得，m(m−1)=0，m−1≠0，
解得m=0.
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
向量的共线定理
单位向量
【解析】
向量作为向量基底，则两向量不能共线．根据是否共线进行判断．
【解答】
解：A，因为e1→=(0,0)=0→，故不适合作为向量的基底；
B，e2→=−e1→，则e2→ // e1→，则这两个向量不能作为向量基底；
C，e2→=2e1→，则e2→ // e1→，则这两个向量不能作为向量基底；
D，∵ −15≠2−2，∴ 两个向量不共线，可以作为向量基底．
故选D．
4.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的三角形法则
【解析】
直接根据向量的三角形法则以及数量积的运算代入求解即可．
【解答】
解：如图所示，
∵Rt△ABC中，AB=AC=3，
BD→=13BC→，
∴ AD→⋅AB→=AB→+BD→⋅AB→
=AB→+13BC→⋅AB→
=AB→+13AC→−AB→⋅AB→
=13AC→+23AB⋅AB→
=13AC→⋅AB→+23AB→2
=0+23×32=6．
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
相等向量与相反向量
平面向量的基本定理及其意义
向量的共线定理
【解析】
利用向量共线的充要条件及反向时对系数的要求得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程组求解．
【解答】
解：根据题意，存在mm<0使得
a→+λb→=mb→+λa→，
即a→+λb→=mλa→+mb→，
∵a→，b→不共线，
∴1=mλ，λ=m，
∴m2=1，
∴m=−1，
∴λ=−1．
故选A．
6.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
由已知利用正弦定理可求sinA=22，结合A的范围即可得解A的值．
【解答】
解：∵a=2，b=3，B=60∘，
∴由正弦定理可得：
sinA=asinBb=2×323=22，
∵A∈0∘,180∘，
∴A=45∘．
故选B．
7.
【答案】
C
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
根据条件进行数量积的运算即可求出a→⋅b→=−6，然后即可根据向量夹角的余弦公式求出cs⟨a→,b→⟩的值，从而可得出a→与b→的夹角．
【解答】
解：∵|a→|=3，|b→|=4，
∴2b→−3a→⋅2b→+a→
=4b→2−3a→2−4a→⋅b→=64−27−4a→⋅b→=61 ，
∴a→⋅b→=−6，
∴cs⟨a→,b→⟩=a→⋅b→|a→||b→|=−63×4=−12.
∵⟨a→,b→⟩∈0,π，
∴⟨a→,b→⟩=2π3．
故选C．
8.
【答案】
A
【考点】
向量的三角形法则
向量的线性运算性质及几何意义
【解析】
利用向量的线性运算计算即可．
【解答】
解：∵ D为△ABC中BC边上的中点，
∴ AD→=12AB→+AC→，
∵ E为AD边上靠近点A的三等分点，
∴ AE→=13AD→，
∴ BE→=AE→−AB→=13AD→−AB→
=16AB→+AC→−AB→
=−56AB→+16AC→.
故选A.
9.
【答案】
D
【考点】
三角形的形状判断
余弦定理
【解析】
利用余弦定理，将csC=a2+b2−c22ab代入已知a=2bcsC，即可判断△ABC的形状．
【解答】
解：∵在△ABC中，csC=a2+b2−c22ab，
∴a=2bcsC=2b⋅a2+b2−c22ab，
∴a2=a2+b2−c2，
∴b2=c2，
∴b=c，
∴△ABC为等腰三角形．
故选D．
10.
【答案】
A
【考点】
向量数乘的运算及其几何意义
单位向量
平面向量在解析几何中的应用
【解析】
根据已知条件可判定四边形ABCD是菱形，并且边长为2，对等式BA→|BA→|+BC→|BC→|=3BD→|BD→|，两边平方可得cs∠ABC，从而求出sin∠ABC，根据四边形ABCD的面积S=BA⋅BC⋅sin∠ABC，即可求出答案．
【解答】
解：四边形ABCD中，AB→=DC→=1,1，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵BA→|BA→|，BC→|BC→|，BD→|BD→|都是单位向量，
BA→|BA→|+BC→|BC→|=3BD→|BD→|，
∴四边形ABCD是菱形，且边长为2，
∴BA→|BA→|+BC→|BC→|2=3BD→|BD→|2，
整理得：
BA→⋅BC→|BA→|⋅|BC→|=12，cs∠ABC=12，
∴ sin∠ABC=32，
故四边形ABCD的面积为S=2⋅2⋅32=3．
故选A．
11.
【答案】
D
【考点】
余弦定理
解三角形的实际应用
【解析】
首先利用余弦定理的应用，建立等量关系式，进一步利用四边形的内接圆定理的应用求出结果．
【解答】
解：在△ACD中，由余弦定理，得
AC2=52+32−2×5×3cs∠D=34−30cs∠D，
在△ACB中，
AC2=52+82−2×5×8cs∠B=89−80cs∠B，
∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠B+∠D=π，所以csB=−csD，
因此−34−AC230=89−AC280，
解得AC=7，
即AC的长为7km.
故选D．
12.
【答案】
A
【考点】
解三角形
余弦定理的应用
【解析】
设AB=1，AC=3，AD=1，D为BC边的中点，BC=2x，则BD=DC=x，由余弦定理求出cs∠ADB，cs∠ADC，通过cs∠ADB=cs∠ADC，代入可求BC，则可得A=90∘，外接圆的直径2R=BC，从而可求结果．
【解答】
解：如图，
设AB=1，AC=3，AD=1，D为BC边的中点，
设BD=DC=x，则BC=2x，
在△ABD中，由余弦定理可得
cs∠ADB=12+x2−122x，
在△ADC中，由余弦定理可得，
cs∠ADC=12+x2−322x，
∵cs∠ADB=−cs∠ADC，
∴12+x2−122x=−12+x2−322x，
∴x=1，
∴BC=2，
∴AB2+AC2=BC2，即A=90∘，
∴外接圆的直径2R=BC=2，从而可得R=1．
故选A．
二、填空题
【答案】
0
【考点】
虚数单位i及其性质
复数代数形式的混合运算
【解析】
利用复数的运算法则即可得出．
【解答】
解：复数z=i+i2+i3+i4
=i−1−i+1=0．
故答案为：0．
【答案】
9
【考点】
平面向量数量积
向量的模
【解析】
直接利用平面向量的数量积运算即可.
【解答】
解：∵ |a→−b→|=|a→+b→|，
两边平方得，a→2−2a→⋅b→+b→2=a→2+2a→⋅b→+b→2，
则a→⋅b→=0，
∴ a→⋅(a→−b→)=a→2−a→⋅b→=32=9.
故答案为：9.
【答案】
3
【考点】
平面向量数量积坐标表示的应用
向量的模
【解析】
直接利用平面向量数量积的坐标运算，即可得出答案.
【解答】
解：∵ a→=(m,3)，b→=(m+2,1)，a→⋅b→=|a→|2，
∴ mm+2+3×1=m2+9，
解得m=3.
故答案为：3.
【答案】
152
【考点】
余弦定理
三角形的面积公式
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由b2−bc−2c2=0因式分解得：
(b−2c)(b+c)=0，
解得：b=2c，b=−c(舍去).
又根据余弦定理得：
csA=b2+c2−a22bc
=b2+c2−62bc
=78，
化简得：4b2+4c2−24=7bc，
将c=b2代入得：4b2+b2−24=72b2，
即b2=16，解得：b=4或b=−4(舍去)，
则b=4，故c=2.
由csA=78可得sinA=158，
故△ABC的面积为S=12bc⋅sinA=152，
故答案为：152.
三、解答题
【答案】
解：设z=a+bia,b∈R，
则由条件|z|=2，可得a2+b2=2①．
因为z2=a2−b2+2abi，
所以2ab=2②．
联立①②，解得a=b=1或a=b=−1，
又复数z的实部为正数，
所以a>0，即a=b=1，
所以z=1+i．
【考点】
复数的模
复数的基本概念
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设z=a+bia,b∈R，
则由条件|z|=2，可得a2+b2=2①．
因为z2=a2−b2+2abi，
所以2ab=2②．
联立①②，解得a=b=1或a=b=−1，
又复数z的实部为正数，
所以a>0，即a=b=1，
所以z=1+i．
【答案】
解：复数z=z1⋅z2=−2+ia−3i
=−2a+3+a+6i，
由题意可知，点−2a+3,a+6在直线y=−x上，
所以a+6=−−2a+3，解得a=9.
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：复数z=z1⋅z2=−2+ia−3i
=−2a+3+a+6i，
由题意可知，点−2a+3,a+6在直线y=−x上，
所以a+6=−−2a+3，解得a=9.
【答案】
解：由2acsC−c=2b及正弦定理得，
2sinAcsC−sinC=2sinB=2sin(A+C)
=2sinAcsC+2csAsinC，
∴ −sinC=2csAsinC.
∵ sinC≠0，
∴ csA=−12，
又A∈(0, π)，
∴ A=2π3.
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
【解析】
(Ⅰ)由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的条件，求出csA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值；
(Ⅱ)由条件和正弦定理求出sin∠ADB，由条件求出∠ADB，由内角和定理分别求出∠ABC、∠ACB，结合条件和余弦定理求出边a的值．
【解答】
解：由2acsC−c=2b及正弦定理得，
2sinAcsC−sinC=2sinB=2sin(A+C)
=2sinAcsC+2csAsinC，
∴ −sinC=2csAsinC.
∵ sinC≠0，
∴ csA=−12，
又A∈(0, π)，
∴ A=2π3.
【答案】
解：(1)∵ c→=ka→+b→，d→=a→−b→，c→//d→，
∴ c→=λd→，即ka→+b→=λa→−b→，
又向量a→，b→不共线，∴ k=λ,1=−λ,
解得λ=−1，k=−1．
(2)|a→|=|b→|，a→与b→夹角为60∘，
c→⋅d→=ka→+b→⋅a→−b→
=ka→2−ka→⋅b→+a→⋅b→−b→2=k−1|a→|2+1−k|a→|2⋅cs60∘，
又c→⊥d→，故k−1|a→|2+1−k2|a→|2=0，
即k−1+1−k2=0，解得k=1，
故k=1时，c→⊥d→．
【考点】
平面向量数量积的运算
平行向量的性质
数量积表示两个向量的夹角
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ c→=ka→+b→，d→=a→−b→，c→//d→，
∴ c→=λd→，即ka→+b→=λa→−b→，
又向量a→，b→不共线，∴ k=λ,1=−λ,
解得λ=−1，k=−1．
(2)|a→|=|b→|，a→与b→夹角为60∘，
c→⋅d→=ka→+b→⋅a→−b→
=ka→2−ka→⋅b→+a→⋅b→−b→2=k−1|a→|2+1−k|a→|2⋅cs60∘，
又c→⊥d→，故k−1|a→|2+1−k2|a→|2=0，
即k−1+1−k2=0，解得k=1，
故k=1时，c→⊥d→．
【答案】
解：(1)∵ a→，b→是两个单位向量，
∴ |a→|=|b→|=1，
又|3a→−2b→|=3，
∴ 3a→−2b→2=9|a→|2−12a→⋅b→+4|b→|2=9，
即a→⋅b→=13.
(2)|3a→+b→|=9|a→|2+6a→⋅b→+|b→|2
=9×1+6×13+1=23.
【考点】
平面向量数量积的运算
向量模长的计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ a→，b→是两个单位向量，
∴ |a→|=|b→|=1，
又|3a→−2b→|=3，
∴ 3a→−2b→2=9|a→|2−12a→⋅b→+4|b→|2=9，
即a→⋅b→=13.
(2)|3a→+b→|=9|a→|2+6a→⋅b→+|b→|2
=9×1+6×13+1=23.
【答案】
解：(1)由条件得m→⋅n→=cs2C2−sin2C2=csC，
又m→⋅n→=|m→||n→|csπ3=12，
∴ csC=12.
∵ 0∴ C=π3.
(2)∵ S△ABC=12absinC=34ab=332，
∴ ab=6.
由余弦定理得
c2=a2+b2−2abcsC=(a+b)2−2ab−2abcsπ3，
得(a+b)2=1214，
∴ a+b=112.
【考点】
平面向量的坐标运算
数量积表示两个向量的夹角
余弦定理
三角形的面积公式
【解析】
（1）先根据向量的数量积运算表示出m→⋅n→，进而求出csC的值，再求出C的值．
（2）先根据三角形的面积公式求出ab的值，再运用余弦定理可得最终答案．
【解答】
解：(1)由条件得m→⋅n→=cs2C2−sin2C2=csC，
又m→⋅n→=|m→||n→|csπ3=12，
∴ csC=12.
∵ 0∴ C=π3.
(2)∵ S△ABC=12absinC=34ab=332，
∴ ab=6.
由余弦定理得
c2=a2+b2−2abcsC=(a+b)2−2ab−2abcsπ3，
得(a+b)2=1214，
∴ a+b=112.
【答案】
解：(1)因为b→+c→=sinx−1,−1，a→//b→+c→，
所以−2+sinx=sinx−1，即sinx=−12，
又x∈−π2,π2，
所以x=−π6.
(2)因为a→=2+sinx,1，b→=2,−2，
所以fx=a→⋅b→=22+sinx−2=2sinx+2.
因为x∈R，
所以−1≤sinx≤1，
所以0≤fx≤4，
所以fx的值域为0,4.
(3)因为a→+d→=sinx,1+k，b→+c→=sinx−1,−1，
若a→+d→⊥b→+c→，
则a→+d→⋅b→+c→=0.
所以sinxsinx−1−1+k=0，
所以k=sin2x−sinx−1=sinx−122−54，
由sinx∈−1,1，得k∈−54,1，
所以存在k∈−54,1，使得a→+d→⊥b→+c→.
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
平面向量的坐标运算
正弦函数的定义域和值域
平面向量数量积的运算
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为b→+c→=sinx−1,−1，a→//b→+c→，
所以−2+sinx=sinx−1，即sinx=−12，
又x∈−π2,π2，
所以x=−π6.
(2)因为a→=2+sinx,1，b→=2,−2，
所以fx=a→⋅b→=22+sinx−2=2sinx+2.
因为x∈R，
所以−1≤sinx≤1，
所以0≤fx≤4，
所以fx的值域为0,4.
(3)因为a→+d→=sinx,1+k，b→+c→=sinx−1,−1，
若a→+d→⊥b→+c→，
则a→+d→⋅b→+c→=0.
所以sinxsinx−1−1+k=0，
所以k=sin2x−sinx−1=sinx−122−54，
由sinx∈−1,1，得k∈−54,1，
所以存在k∈−54,1，使得a→+d→⊥b→+c→.