2020-2021学年河南省许昌市某校高二（下）3月月考数学试卷

这是一份2020-2021学年河南省许昌市某校高二（下）3月月考数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若复数z满足1−iz=1+i，则|z|=( )
A.2B.22C.1D.12

2. 命题“已知a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”的逆否命题是( )
A.已知a，b∈R，若a2+b2=0，则a=0或b=0
B.已知a，b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0
C.已知a，b∈R，若a=b=0，则a2+b2=0
D.已知a，b∈R，若a=0或b=0，则a2+b2=0

3. 令fn=1n+1+1n+2+1n+3+⋯+13n+1n∈N*，用数学归纳法证明fn>2524的过程中，利用归纳假设得fk+1−fk=( )
A.13k+2+13k+4B.13k+2+13k+4−23k+3
C.13k+4D.13k+2+13k+3+13k+4

4. “四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是( )
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.等腰梯形都是对角线相等的四边形
C.矩形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形

5. 已知四点A1,−2,1，B1,1,−2，C−4,1,2，且AB→=CD→，则AD→=( )
A.−2,3,1B.2,6,−1C.−5,6,−2D.−5,3,−1

6. 与圆x2+y2−2y=0外切，且与x轴相切的动圆圆心的轨迹方程是( )
A.x2=4yy>0B.y2=4xx>0或y=0x<0
C.y2=4xx>0D.x2=4yy>0或x=0y<0

7. 已知双曲线C:y216−x29=1，F1，F2分别是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=172，则|PF2|等于( )
A.292B.52或292C.332D.12或332

8. 设命题P：∃x∈R，m−1x2+21−mx+3≤0，则P为假命题的一个充分不必要条件为( )
A.1,4B.[1,4)C.1,4D.(1,4]

9. 如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=BC=AA1=2，AC=22，E是CC1的中点，则( )

A.直线B1E//平面A1BC
B.三棱锥A1−AB1E的体积为43
C.直线B1E与BC1所成角的余弦值为23
D.直线B1E与平面A1ACC1所成角的正弦值为12

10. 已知f′x是定义域为R的函数fx的导函数，满足f′x−fx>0，且f1=2e，则关于不等式fx−2ex>0的解集为（ ）
A.1e,1B.1e,eC.1,+∞D.1e,+∞

11. 设椭圆C：x29+y24=1的左、右顶点分别为A，B，P为C上一动点，直线PA，PB与x=5分别交于M，N，△PMN与△PAB的外接圆半径分别为r1，r2，则r1r2的最小值为( )
A.89B.229C.23D.29

12. 已知函数fx=x2+alnx−2x，fx=ax在1e,e有唯一实数解，则实数a的取值范围是（ ）
A.−1,e2−2ee−1
B.1−2ee+e2,e2−2ee−1∪−1
C.−1,1−2ee+e2
D.1−2ee+e2,e2−2ee−1∪{−1}
二、填空题

已知复数z满足|z|=1，则|z−1+i|的最大值为________.

等差数列an中，若a7=0，则有a1+a2+⋯+an=a1+a2+⋯+a13−n(n<13，且n∈N*）成立，类比上述性质，等比数列bn中，若b9=1，则有________.

如图，阴影部分是由曲线y=x2，x2+y2=12及x轴正半轴所围成的图形，设其面积为S，则S=________．


若双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0上存在一点P满足以|OP|为边长的正三角形的内切圆的面积等于πc236（其中O为坐标原点，c为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的最小值是________.
三、解答题

已知命题p:∃x∈x|−10表示双曲线．
(1)若命题p为真命题，求实数m的取值集合；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

已知动圆M过定点F0,1且与直线l:y=−1相切．
(1)求动圆M圆心的轨迹方程；

(2)动圆M圆心的轨迹与直线l′:y=kx+1交于A，B两点，点P为AB中点，以AB为直径的圆与x轴交于C，D两点，求△PCD面积的最小值．

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠APD=π2，∠BAD=π3，PA=PD，cs∠PAB=24，点M是AD的中点．

(1)求证：PM⊥平面ABCD；

(2)求二面角A−PB−M的余弦值．

已知曲线fx=x3+3ax2+3bx+1 在点1,f1处的切线斜率为9，且当x=2时，y=fx有极值．
(1)求函数fx的解析式；

(2)求函数fx在0,3上的极值和最小值．

设椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为e，点M1,e，N12,154都在E上．

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)设椭圆E的短轴上、下端点分别为C，D，直线l:y=kx+12交椭圆E于A，B两点，直线AC，BD交于点P．求证：点P在一条定直线上运动．

已知函数fx=lnx+1−ax2−xa<0．
(1)讨论函数fx的单调区间；

(2)若对于任意实数m，n∈0,1且m>n，函数fx满足fm+1−fn+1参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省许昌市某校高二（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为1−iz=1+i，
所以z=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=i，
则z=−i，
所以|z|=0+(−1)2=1.
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
四种命题间的逆否关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．
因为命题“已知a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0”，
则逆否命题为“已知a，b∈R，若a2+b2=0，则a=b=0”.
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
数学归纳法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：当n=k时，
fk=1k+1+1k+2+1k+3+⋯+13k+1，
则fk+1=1k+1+1+1k+1+2
+1k+1+3+⋯+13k+1+1
=1k+2+1k+3+⋯+13k+1+13k+2+13k+3+13k+4
所以fk+1−fk=13k+2+13k+3+13k+4−1k+1
=13k+2+13k+4−23k+3.
故选B.
4.
【答案】
C
【考点】
演绎推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：演绎推理的一般模式，包含三个部分：
大前提——已知的一般原理，
小前提——所研究的特殊情况，
结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断.
∵ 由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论，
∴ 大前提是矩形都是对角线相等的四边形.
故选C.
5.
【答案】
C
【考点】
空间向量运算的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设Dx,y,z，
因为AB→=CD→，A1,−2,1，B1,1,−2，C−4,1,2，
所以0,3,−3=x+4,y−1,z−2，
所以x+4=0，y−1=3，z−2=−3，
解得x=−4，y=4，z=−1，即D−4,4,−1，
所以AD→=−5,6,−2．
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
圆的一般方程
轨迹方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：将圆的方程化为标准方程x2+(y−1)2=1，
圆心为0,1，半径为1.
设动圆圆心坐标为x,y，
则由题意可得x2+y−12−1=|y|，
即x2+y−12=|y|+1，
①当y=0时，可得x=0，
此时动圆圆心为坐标原点，不合题意；
②当y>0时，可得x2+y−12=y+1，
等式两边平方并化简得x2=4y；
③当y<0时，可得x2+y−12=1−y，
等式两边平方并化简得x=0
综上，动圆圆心的轨迹方程为x2=4yy>0或x=0y<0.
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
双曲线的标准方程
双曲线的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为F1，F2分別是双曲线C:y216−x29=1的两个焦点，
且点P在双曲线C上，
所以||PF2|−|PF1||=2a=8.
又|PF1|=172所以点P在与F1同侧的一支上，
故|PF2|>|PF1|，
故||PF2|−|PF1||=|PF2|−172=8，
得|PF2|=332.
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
全称命题与特称命题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为命题P是假命题，
所以“∀x∈R，m−1x2+21−mx+3>0”是真命题，
①当m−1=0时，即m=1时，不等式3>0恒成立；
②当m−1≠0时，即m≠1时，
有m−1>0,[21−m]2−4m−1×3<0, 解得1综上，若P为假命题，则m∈[1,4)，
所以m∈(1,4)是P为假命题的一个充分不必要条件.
故选C.
9.
【答案】
B
【考点】
点、线、面间的距离计算
柱体、锥体、台体的体积计算
直线与平面所成的角
直线与平面平行的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ AB=BC=2，AC=22，
∴ 易得∠ABC=90∘.
取A1C1中点为F，
A，设G为BB1的中点，则CG//B1E.
∵ CG∩A1BC=C，
∴ 直线B1E与平面A1BC不平行，故A错误；
B，VA1−AB1E=VE−AA1B1=13S△AA1B1⋅BC
=13×12×2×2×2=43，故B正确；
C，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B0,0,0，B10,0,2，E0,2,1，C10,2,2，
∴ B1E→=0,2,−1，BC1→=0,2,2，
∴ |cs|=|B1E→⋅BC1|→|B1E→||BC1→|
=4−25×22=1010，故C错误；
D，可知直线B1E与平面A1ACC1所成角为∠B1EF，
∵ B1F=2，B1E=22+12=5，
∴ sin∠B1EF=105，故D错误.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：结合不等式的结构特征，原不等式等价于fxex>2，
令gx=fxex，则g′x=f′x−fxex>0，
所以gx在R上为增函数，而g1=f1e=2，
所以gx=fxex>f1e1=g1，
所以原不等式的解集为1,+∞．
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
直线与椭圆结合的最值问题
基本不等式在最值问题中的应用
斜率的计算公式
直线的点斜式方程
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得A−3,0，B3,0 ，
设Px,y，则kPA=yx+3，kPB=yx−3，
所以 kPA⋅kPB=yx+3⋅yx−3=y2x2−9=41−x29x2−9=−49.
设直线PA方程为y=kx+3，
则直线PB方程为y=−49kx−3.
不妨k>0，令x=5，得yM=8k，yN=−89k，
则|MN|=8k+89k，
由正弦定理，得
2r1=|MN|sin∠MPN，
2r2=|AB|sin∠APB=|AB|sinπ−∠MPN=|AB|sin∠MPN，
所以r1r2=|MN||AB|=8k+89k6≥28k⋅89k6=89 ，
当且仅当8k=89k，即|k|=13时，等号成立.
故选A.
12.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由fx=ax得x2+alnx−2x=ax，
即ax−lnx=x2−2x，
当x∈1e,e时，令hx=x−lnx，
则h′x=1−1x=x−1x，
令h′x=0，得x=1，
则x∈1e,1时，h′x<0，hx单调递减，
x∈(1,e]时．h′x>0，hx单调递增，
故hxmin=h1=1，故x−lnx>0，
所以a=x2−2xx−lnx，
设gx=x2−2xx−lnx1e则直线y=a与y=gx在x∈1e,e有唯一交点，
又g′x=x−1x−2lnx+2x−lnx2，
当x∈1e,e时，x−2lnx+2=x+21−lnx>0，
当1e当10 ，gx单调递增，
又g1e=1−2ee+e2<0，ge=e2−2ee−1>0，g1=−1，
所以gxmax=ge=e2−2ee−1，
所以a=−1或1−2ee+e2故选B.
二、填空题
【答案】
1+2
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数的模
面积、复数、向量、解析几何方法的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设z在复平面内的对应点为P，
则由|z|=1知点P的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，
则|z−1+i|=|z−1−i|表示点P到点Q1,−1的距离.
因为|OQ|=2，
所以|PQ|max=|OQ|+r=1+2.
故答案为：1+2.
【答案】
b1⋅b2⋯⋯bn=b1⋅b2⋯⋯b17−n(n<17，且n∈N*）成立
【考点】
类比推理
等比中项
等差数列的性质
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在等差数列an中，若a7=0，则a13−n+an+1=2a7=0，
所以，a1+a2+⋯+an=a1+a2+⋯+a13−n(n<13，且n∈N*）成立；
又在等比数列bn中，若b9=1，则b17−nbn+1=b92=1，
所以，b1⋅b2⋯⋯bn=b1⋅b2⋯⋯b17−n(n<17，且n∈N*）成立．
故答案为：b1⋅b2⋯⋯bn=b1⋅b2⋯⋯b17−n(n<17，且n∈N*）成立．
【答案】
2π−32
【考点】
定积分在求面积中的应用
直线与圆的位置关系
扇形面积公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：联立y=x2,x2+y2=12,x≥0,解得x=3,y=3,
tan∠AOB=33=3，则∠AOB=60∘，
所以扇形AOB的面积为12αr2=12×π3×12=2π.
又因为直线OA的方程为y=3x，
所以 S=2π−03(3x−x2)dx
=2π−32x2−13x3|03=2π−32.
故答案为：2π−32.
【答案】
3
【考点】
双曲线的特性
双曲线的离心率
双曲线的应用
直线与双曲线结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：可得以|OP|为边长的正三角形内切圆的半径为r=12|OP|tan30∘=36|OP|，
所以内切圆的面积为S=πr2=π12|OP|2，
又P为双曲线上一点，从而|OP|≥a，
所以S=π12|OP|2≥π12a2，
又以|OP|为边长的正三角形的内切圆的面积等于πc236，
所以πc236≥π12a2，得c2a2≥3，即e≥3，
所以双曲线的离心率的最小值为3.
故答案为：3.
三、解答题
【答案】
解：(1)由条件得m=x2−2x=x−12−1.
因为−1所以m=(x−1)2−1∈[−1,3)，
所以实数m的取值集合为[−1,3).
(2)命题q为真时，方程x2m+a+y2m−3a=1表示双曲线，
故m+am−3a<0，
解得−a即实数m的取值范围为−a,3a.
因为p是q的充分不必要条件，即[−1,3)⫋(−a,3a)，
所以−a<−1,3a≥3,解得a>1，
所以实数a的取值范围为1,+∞.
【考点】
复合命题及其真假判断
双曲线的定义
双曲线的标准方程
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由条件得m=x2−2x=x−12−1.
因为−1所以m=(x−1)2−1∈[−1,3)，
所以实数m的取值集合为[−1,3).
(2)命题q为真时，方程x2m+a+y2m−3a=1表示双曲线，
故m+am−3a<0，
解得−a即实数m的取值范围为−a,3a.
因为p是q的充分不必要条件，即[−1,3)⫋(−a,3a)，
所以−a<−1,3a≥3,解得a>1，
所以实数a的取值范围为1,+∞.
【答案】
解：(1)设Mx,y，则由题意可得：x2+y−12=|y+1|，
两边平方，并化简可得：x2=4y.
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，
由x2=4y,y=kx+1,得x2−4kx−4=0，
所以，Δ=16k2+16>0,x1+x2=4k,x1x2=−4,
所以， y1+y2=kx1+x2+2=4k2+2，
故AB的中点为F2k,2k2+1，
|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k216k2+16=41+k2，
所以，以AB为自径的圆P的半径r=21+k2，
P到CD的距离d=2k2+1，
故|CD|=2r2−d2=24k2+3，
所以，S△PCD=12×24k2+3×2k2+1=2k2+14k2+3，
令k2=tt≥0 ，则S△PCD=2t+14t+3在[0,+∞)单调递增，
当t=0时，即k=0时， S△PCD取最小值3．
【考点】
抛物线的标准方程
圆锥曲线的轨迹问题
轨迹方程
圆锥曲线的综合问题
直线与抛物线结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设Mx,y，则由题意可得：x2+y−12=|y+1|，
两边平方，并化简可得：x2=4y.
(2)设Ax1,y1，Bx2,y2，
由x2=4y,y=kx+1,得x2−4kx−4=0，
所以，Δ=16k2+16>0,x1+x2=4k,x1x2=−4,
所以， y1+y2=kx1+x2+2=4k2+2，
故AB的中点为F2k,2k2+1，
|AB|=1+k2|x1−x2|=1+k216k2+16=41+k2，
所以，以AB为自径的圆P的半径r=21+k2，
P到CD的距离d=2k2+1，
故|CD|=2r2−d2=24k2+3，
所以，S△PCD=12×24k2+3×2k2+1=2k2+14k2+3，
令k2=tt≥0 ，则S△PCD=2t+14t+3在[0,+∞)单调递增，
当t=0时，即k=0时， S△PCD取最小值3．
【答案】
(1)证明：在△PAD中，∠APD=π2，PA=PD，
AD=4，M是AD的中点，
所以PA=22，PM=2，且PM⊥AD.
在△PAB中，因为cs∠PAB=24，
所以PB2=PA2+AB2−2PA⋅ABcs∠PAB=16.
因为ABCD是菱形，∠BAD=π3，
所以△ABD为正三角形，
则BM⊥AD，BM=ABsin60∘=23，
所以PM2+BM2=16=PB2，
则∠PMB=π2 ，即PM⊥MB.
又因为BM∩AD=M，
所以PM⊥平面ABCD.
(2)解：由(1)可知MA，MB，MP两两垂直，
以点M为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则M0,0,0，A2,0,0，B0,23,0，P0,0,2，
所以AP→=−2,0,2，AB→=−2,23,0.
易知平面MPB的一个法向量为m→=1,0,0 .
设n→=x,y,z是平面APB的法向量，
则n→⋅AP→=−2x+2z=0,n→⋅AB→=−2x+23y=0,
取x=1，则y=33，z=1，
故n→=1,33,1为平面APB的一个法向量，
所以cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=217，
综上所述，二面角A−PB−M的余弦值为217.
【考点】
余弦定理
点、线、面间的距离计算
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
空间向量运算的坐标表示
平面的法向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：在△PAD中，∠APD=π2，PA=PD，
AD=4，M是AD的中点，
所以PA=22，PM=2，且PM⊥AD.
在△PAB中，因为cs∠PAB=24，
所以PB2=PA2+AB2−2PA⋅ABcs∠PAB=16.
因为ABCD是菱形，∠BAD=π3，
所以△ABD为正三角形，
则BM⊥AD，BM=ABsin60∘=23，
所以PM2+BM2=16=PB2，
则∠PMB=π2 ，即PM⊥MB.
又因为BM∩AD=M，
所以PM⊥平面ABCD.
(2)解：由(1)可知MA，MB，MP两两垂直，
以点M为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则M0,0,0，A2,0,0，B0,23,0，P0,0,2，
所以AP→=−2,0,2，AB→=−2,23,0.
易知平面MPB的一个法向量为m→=1,0,0 .
设n→=x,y,z是平面APB的法向量，
则n→⋅AP→=−2x+2z=0,n→⋅AB→=−2x+23y=0,
取x=1，则y=33，z=1，
故n→=1,33,1为平面APB的一个法向量，
所以cs⟨m→,n→⟩=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=217，
综上所述，二面角A−PB−M的余弦值为217.
【答案】
解：(1)函数fx求导得f′x=3x2+6ax+3b，
因为函数fx在点1,f1处的切线斜率为9，
且x=2时y=fx有极值，
所以f′1=3+6a+3b=9,f′2=12+12a+3b=0,解得a=−3,b=8,
检验知满足y=fx在x=2处有极值，
所以函数fx的解析式为fx=x3−9x2+24x+1．
(2)由(1)可知f′x=3x2−18x+24=3x−2x−4，
因为x∈0,3，所以x−4<0恒成立，
所以，当x∈0,2时，f′x>0，fx单调递增，
当x∈(2,3]时，f′x<0，fx单调递减，
又因为f2=23−9×22+24×2+1=21，
所以，函数fx在0,3上有极大值为f2=21，无极小值，
又因为f0=1，f3=19，
且f0所以，函数f(x)在0,3上的最小值为f0=1．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)函数fx求导得f′x=3x2+6ax+3b，
因为函数fx在点1,f1处的切线斜率为9，
且x=2时y=fx有极值，
所以f′1=3+6a+3b=9,f′2=12+12a+3b=0,解得a=−3,b=8,
检验知满足y=fx在x=2处有极值，
所以函数fx的解析式为fx=x3−9x2+24x+1．
(2)由(1)可知f′x=3x2−18x+24=3x−2x−4，
因为x∈0,3，所以x−4<0恒成立，
所以，当x∈0,2时，f′x>0，fx单调递增，
当x∈(2,3]时，f′x<0，fx单调递减，
又因为f2=23−9×22+24×2+1=21，
所以，函数fx在0,3上有极大值为f2=21，无极小值，
又因为f0=1，f3=19，
且f0所以，函数f(x)在0,3上的最小值为f0=1．
【答案】
解：(1)因为点M1,e，N12,154在椭圆E上，
所以a2=b2+c2，1a2+e2b2=1,14a2+1516b2=1,即a2=b2+c2，1a2+c2a2b2=1，14a2+1516b2=1，
解得a2=4，b2=1，
故椭圆E的方程为：x24+y2=1．
(2)由题意知直线l过定点0,12，且斜率存在，
故A，B与C，D不重合，
设Ax1,y1，Bx2,y2，(x1≠0，x2≠0)，
y=kx+12,x2+4y2−4=0,⇒4k2+1x2+4kx−3=0，
所以，x1+x2=−4k4k2+1，x1x2=−34k2+1，
所以，x1x2=34kx1+x2，
又因为C0,1，D0,−1，
所以直线AC方程为：y−1=y1−1x1x．
直线BD方程为：y+1=y2+1x2x，
联立消去x，整理得： y−1y+1=y1−1x1⋅x2y2+1
=kx1−12x1⋅x2kx2+32=2kx1x2−x22kx1x2+3x1
=32(x1+x2)−x232(x1+x2)+3x1=3x1+x29x1+3x2=13，
即y−1y+1=13，解得y=2，即yP=2，
综上得，点P在定直线y=2上运动．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为点M1,e，N12,154在椭圆E上，
所以a2=b2+c2，1a2+e2b2=1,14a2+1516b2=1,即a2=b2+c2，1a2+c2a2b2=1，14a2+1516b2=1，
解得a2=4，b2=1，
故椭圆E的方程为：x24+y2=1．
(2)由题意知直线l过定点0,12，且斜率存在，
故A，B与C，D不重合，
设Ax1,y1，Bx2,y2，(x1≠0，x2≠0)，
y=kx+12,x2+4y2−4=0,⇒4k2+1x2+4kx−3=0，
所以，x1+x2=−4k4k2+1，x1x2=−34k2+1，
所以，x1x2=34kx1+x2，
又因为C0,1，D0,−1，
所以直线AC方程为：y−1=y1−1x1x．
直线BD方程为：y+1=y2+1x2x，
联立消去x，整理得： y−1y+1=y1−1x1⋅x2y2+1
=kx1−12x1⋅x2kx2+32=2kx1x2−x22kx1x2+3x1
=32(x1+x2)−x232(x1+x2)+3x1=3x1+x29x1+3x2=13，
即y−1y+1=13，解得y=2，即yP=2，
综上得，点P在定直线y=2上运动．
【答案】
解：(1)依题意有定义域为−1,+∞，
f′x=1x+1−2ax−1=−x2ax+2a+1x+1，
令f′x=0，得x1=0，x2=−1−12a>−1(a<0).
①当−1−12a<0，即a<−12时，
可得fx在−1,−1−12a，0,+∞上单调递增，
在−1−12a,0上单调递减；
②当−1−12a=0，即a=−12时，f′x=x2x+1≥0，
fx在−1,+∞上单调递增；
③当−1−12a>0，即−12fx在−1,0，−1−12a,+∞上单调递增，
在0,−1−12a上单调递减，
综上，当a<−12时，fx的单调递增区间为−1,−1−12a，0,+∞，
单调递减区间为−1−12a,0；
当a=−12时， fx的单调递增区间为−1,+∞；
当−12单调递减区间为0,−1−12a．
(2)原不等式等价于：fm+1−m+1令Fx=fx−x，则由题意得
∀m，n∈0,1且m>n，Fm+1所以Fx在1,2上为减函数．
所以，F′x=f′x−1=−2ax2−2ax−2x−1x+1≤0，
所以−2ax2−2ax−2x−1≤0，
即2a≥−2x+1x2+x对1≤x≤2恒成立．
令ux=−2x+1x2+xx∈1,2，则u′x=2x2+2x+1x2+x2>0，
ux在1,2上为增函数，
所以，uy≤u2≤−56，故2a≥−56，所以−512≤a<0，
综上所述，实数a的取值范围为−512,0.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)依题意有定义域为−1,+∞，
f′x=1x+1−2ax−1=−x2ax+2a+1x+1，
令f′x=0，得x1=0，x2=−1−12a>−1(a<0).
①当−1−12a<0，即a<−12时，
可得fx在−1,−1−12a，0,+∞上单调递增，
在−1−12a,0上单调递减；
②当−1−12a=0，即a=−12时，f′x=x2x+1≥0，
fx在−1,+∞上单调递增；
③当−1−12a>0，即−12fx在−1,0，−1−12a,+∞上单调递增，
在0,−1−12a上单调递减，
综上，当a<−12时，fx的单调递增区间为−1,−1−12a，0,+∞，
单调递减区间为−1−12a,0；
当a=−12时， fx的单调递增区间为−1,+∞；
当−12单调递减区间为0,−1−12a．
(2)原不等式等价于：fm+1−m+1令Fx=fx−x，则由题意得
∀m，n∈0,1且m>n，Fm+1所以Fx在1,2上为减函数．
所以，F′x=f′x−1=−2ax2−2ax−2x−1x+1≤0，
所以−2ax2−2ax−2x−1≤0，
即2a≥−2x+1x2+x对1≤x≤2恒成立．
令ux=−2x+1x2+xx∈1,2，则u′x=2x2+2x+1x2+x2>0，
ux在1,2上为增函数，
所以，uy≤u2≤−56，故2a≥−56，所以−512≤a<0，
综上所述，实数a的取值范围为−512,0.