2020-2021学年河南省许昌市高二（上）12月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省许昌市高二（上）12月月考数学（文）试卷人教A版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∃x0∈R，csx0+lnx0<1”的否定是( )
A.∃x0∈R，csx0+lnx0>1B.∃x0∈R，csx0+lnx0≥1
C.∀x∈R，csx+lnx>1D.∀x∈R，csx+lnx≥1

2. 双曲线x23−y2=1的焦点坐标是( )
A.(−2, 0)，(2, 0)B.(−2, 0)，(2, 0)C.(0, −2)，(0, 2)D.(0, −2)，(0, 2)

3. 到点−23,0和23,0的距离之和为8的点的轨迹方程为( )
A.x216+y24=1B.x212+y24=1C.x216+y212=1D.x212+y216=1

4. 抛物线x2=2y的准线方程为( )
A.x=−12B.x=−18C.y=−12D.y=−18

5. 已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±3x B.y=±2xC.y=±3xD.y=±2x

6. 祖暅原理“幂势既同，则积不容异”中的“幂”指面积，“势”即是高，意思是：若两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积恒等，则这两几何体的体积相等．设夹在两个平行平面之间的几何体的体积分别为V1，V2，它们被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1=S2恒成立”是“V1=V2”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7. 已知函数fx=kx+2,x≤0,2x+k,x>0.则“fx单调递增”的充要条件是( )
A.k>0B.k≤1C.k>2D.0
8. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线( )
A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP

9. 已知椭圆C:x24+y2b2=1b>0的左、右顶点分别为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为−14，则b=( )
A.2B.3C.1D.12

10. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且AB=BC=CD，则该双曲线的离心率为( )

A.2B.3C.355D.477

11. 已知倾斜角为π6的直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，抛物线C上存在点P与x轴上一点Q(5, 0)关于直线l对称，则p=( )
A.2B.1C.12D.4

12. 已知点Px0,y0x0≠±a在椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0上，若点M为椭圆C的右顶点，且PO⊥PM（O为坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是( )
A.0,33B.33,1C.22,1D.0,22
二、填空题

能够说明“∀x∈N∗，2x≥x2”是假命题的一个x值为________.

若方程x2m−1+y23−m=1表示椭圆，则实数m的取值范围是________．

已知抛物线y2=4x的焦点为F，点P在抛物线上，点Q9,0．若|QF|=2|PF|，则△PQF的面积为________.

已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为2，渐近线为y=±12x，|MF1|−|MF2|=2，点N在圆Ω:x2+y2−2y=0上，则|MN|+|MF1|的最小值为________.
三、解答题

已知p:fx=2a−1x是单调递减的指数函数，q：关于x的方程x2−3ax+2a2+1=0有两个正实根．若“¬p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．

已知抛物线C:y2=2pxp>0，其焦点F到其准线的距离为2，过焦点F且倾斜角为45∘的直线l交抛物线C于A，B两点，
(1)求抛物线C的方程及其焦点坐标；

(2)求|AB|．

已知双曲线C1:x2a2−y2b2=1a>0,b>0与双曲线C2:x24−y22=1有相同的渐近线，且点P22,3在C1上．
(1)求C1的标准方程；

(2)直线l:x−2y+1=0与双曲线C1交于A，B两点，求线段AB的中点坐标.

已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其左焦点、上顶点和左顶点分别为F，A，B，坐标原点为O，且线段FO，OA，AB的长度成等差数列．
(1)求椭圆的离心率；

(2)若过点F的一条直线l交椭圆于点M，N，交y轴于点P，使得线段MN被点F，P三等分，求直线l的斜率．

在平面直角坐标系中，A−2,0,B2,0,F1,0，动圆E过点F且和定直线l1:x=−1相切．
(1)求动圆圆心E的轨迹C的方程；

(2)若过点A的直线l2交曲线C于M，N两点，求BM→⋅BN→的取值范围．

已知点O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F1,0，P为椭圆C上一点，椭圆C上异于P的两点A，B满足∠AFO=∠BFO，当PF垂直于x轴时，|PF|=32.
(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设直线PA，PB分别与x轴交于点Mm,0，Nn,0，问：mn的值是否为定值？若是，请求出mn的值；若不是，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省许昌市高二（上）12月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
【解析】
直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
【解答】
解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“∃x0∈R，csx0+lnx0<1”的否定是：∀x∈R，csx+lnx≥1．
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
双曲线的标准方程
【解析】
根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出c=a2+b2=2，即可得到双曲线的焦点坐标．
【解答】
解：∵ 双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，
由此可得c=a2+b2=2，
∴ 该双曲线的焦点坐标为(±2, 0).
故选B．
3.
【答案】
A
【考点】
轨迹方程
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题可知该轨迹为焦点在x轴上的椭圆，
且c=23，由2a=8得a=4，
所以b2=a2−c2=4，
因此椭圆方程为x216+y24=1．
故选A．
4.
【答案】
C
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．
【解答】
解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上，
所以2p=2，即p=1，
所以p2=12，
所以准线方程 y=−p2=−12.
故选C．
5.
【答案】
A
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的渐近线
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设双曲线的半焦距为c（c>0），
由e=ca=2，得c=2a．
由b2=c2−a2=4a2−a2=3a2，
得渐近线方程为y=±bax=±3x．
故选A．
6.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
根据祖暅原理，由“S1=S2恒成立”可得到“V1=V2”，反之不一定．即可得出．
【解答】
解：根据祖暅原理，由“S1=S2恒成立”可得到“V1=V2”，反之不一定．
∴ “S1=S2恒成立”是“V1=V2”的充分不必要条件．
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若f(x)单调递增，则k>0且k(0+2)≤20+k，
解得0故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
抛物线的定义
【解析】
由抛物线定义得出PQ与PF的关系，从而得出点P与线段FQ垂直平分线的关系．
【解答】
解：由抛物线的定义可知PQ=PF，
所以点P在FQ的垂直平分线上.
故选B.
9.
【答案】
C
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由已知得A−2,0，B2,0．
设Mx0,y0，则x024+y02b2=1，
所以y02=b244−x02．
因为kAM⋅kBM=y0x0+2⋅y0x0−2
=y02x02−4=b24(4−x02)x02−4=−b24=−14，
所以b24=14，故b=1．
故选C．
10.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
设出双曲线方程，把双曲线上的点的坐标表示出来并代入到方程中，找到a、b的关系即可求解．
【解答】
解：设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1a>0,b>0，则OC=a，
因为AB=BC=CD，所以CD=2OC，所以OD=3OC=3a，
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
所以点32a,32a在双曲线上，
代入双曲线方程得92−9a22b2=1，解得b2a2=97，
所以双曲线的离心率为e=ca=1+b2a2=1+97=477.
故选D．
11.
【答案】
A
【考点】
抛物线的性质
抛物线的定义
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
设P(x0, y0)，直线PQ的方程为y=−3(x−5)，由y02=2px0y0=−3(x0−5) ，结合抛物线的定义，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，F(p2, 0)，设P(x0, y0)，
直线PQ的方程为y=−3(x−5)，
∴ y02=2px0，y0=−3(x0−5)，
∴ 3(x0−5)2=2px0.
又x0+p2=5−p2，
联立解得x0=3，p=2.
故选A.
12.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意，PO→=(−x0,−y0)，PM→=(a−x0,−y0)，
∵ PO→⋅PM→=0，
∴ a−x0−x0+y02=0，y02=ax0−x02>0，
∴ 0将P(x0,y0)及y02=ax0−x02代入x2a2+y2b2=1，
整理得(b2−a2)x0+a3x0=a2b2其在(0,a)上有解．
设f(x)=(b2−a2)x2+a3x−a2b2，
∵ f(0)=−a2b2<0，f(a)=0，
∴ Δ≥0，0<−a32(b2−a2)得c2a2>12．
又0∴ 22故选C．
二、填空题
【答案】
3
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为3∈N∗，而23<32，说明“∀x∈N∗，2x≥x2”是假命题．
故答案为：3.
【答案】
(1, 2)∪(2, 3)
【考点】
椭圆的定义
【解析】
由于方程x2m−1+y23−m=1表示椭圆，可得m−1>03−m>0m−1≠3−m，即可．
【解答】
解：∵ 方程x2m−1+y23−m=1表示椭圆，
∴ m−1>0，3−m>0，m−1≠3−m，
解得1故答案为：(1, 2)∪(2, 3)．
【答案】
83
【考点】
抛物线的定义
抛物线的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由条件知F1,0，
所以|QF|=8，
所以|PF|=12|QF|=4，
由抛物线的准线为x=−1，及抛物线的定义可知，P点的横坐标为3，
不妨设点P在x轴上方，则P的纵坐标为23，
所以S△PQF=12×8×23=83．
故答案为：83.
【答案】
52
【考点】
双曲线的渐近线
圆锥曲线的综合问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：依题意可知a=1，b=12，
故双曲线C:x2−4y2=1．
易知圆心Ω0,1，
由|MF1|−|MF2|=2得点M为双曲线右支上一点，
|MN|+|MF1|=|MN|+|MF2|+2≥|F2N|+2，
问题转化为求点F2到圆Ω上点的最小距离，
|F2N|min=|F2Ω|−1=32−1=12，
故|MN|+|MF1|min=12+2=52.
故答案为：52.
三、解答题
【答案】
解：若p真，则fx=2a−1x在R上单调递减，
所以0<2a−1<1，即12若q真，则应满足(−3a)2−4(2a2+1)≥0,2a2+1>0,3a>0,
解得a≥2．
因为¬p∧q真命题，则p为假命题，q为真命题，
若p假q真，则a≤12或a≥1，a≥2，
所以a≥2．
综上，实数a的取值范围为[2,+∞)．
【考点】
指数函数的单调性与特殊点
逻辑联结词“或”“且”“非”
一元二次方程的根的分布与系数的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若p真，则fx=2a−1x在R上单调递减，
所以0<2a−1<1，即12若q真，则应满足(−3a)2−4(2a2+1)≥0,2a2+1>0,3a>0,
解得a≥2．
因为¬p∧q真命题，则p为假命题，q为真命题，
若p假q真，则a≤12或a≥1，a≥2，
所以a≥2．
综上，实数a的取值范围为[2,+∞)．
【答案】
解：(1)抛物线C1：y2=2px（p>0）的焦点F到其准线的距离为2，
即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．
焦点坐标为(1,0)．
(2)过焦点F且倾斜角为45∘的直线l的方程为y=x−1，
联立方程组y2=4x,y=x−1,
消去y可得x2−6x+1=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=6，
根据抛物线的定义|AB|=x1+x2+p=8．
【考点】
抛物线的标准方程
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)抛物线C1：y2=2px（p>0）的焦点F到其准线的距离为2，
即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．
焦点坐标为(1,0)．
(2)过焦点F且倾斜角为45∘的直线l的方程为y=x−1，
联立方程组y2=4x,y=x−1,
消去y可得x2−6x+1=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=6，
根据抛物线的定义|AB|=x1+x2+p=8．
【答案】
解：(1)因为C1与C2的渐近线相同，可设C1：x24−y22=λ（λ≠0），
将P22,3代入得λ=84−32=12，
所以C1的标准方程为x22−y2=1．
(2)联立方程组x22−y2=1,x−2y+1=0,
消去y可得x2−2x−5=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=2，
从而AB中点的横坐标为x1+x22=1，
又因为AB的中点在直线l上，
因此其坐标为1,1．
【考点】
双曲线的渐近线
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为C1与C2的渐近线相同，可设C1：x24−y22=λ（λ≠0），
将P22,3代入得λ=84−32=12，
所以C1的标准方程为x22−y2=1．
(2)联立方程组x22−y2=1,x−2y+1=0,
消去y可得x2−2x−5=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=2，
从而AB中点的横坐标为x1+x22=1，
又因为AB的中点在直线l上，
因此其坐标为1,1．
【答案】
解：(1)由题意得c+a2+b2=2b，
把上式移项平方并把a2=b2+c2代入得，b=2c，
又a2=b2+c2，
所以椭圆的离心率e=ca=cb2+c2=55．
(2)设直线l的方程为y=k(x+c)，
先研究k>0的情况，不妨设M在第三象限，要使|MF|=|FP|，
则xM=−2c，yM=−b⋅1−xM2a2=−b5，
因此k=0−(−b5)−c−(−2c)=255．
将直线l的方程和椭圆方程联立可得
y=255(x+c),x2a2+y2b2=1,
解得xM=−2c,xN=c,
由于点N的横坐标为c，因此|PN|也等于|PF|，
同理，当k<0时，由对称性可知k=−255；
即直线l的斜率为255或−255．
【考点】
椭圆的离心率
等差中项
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
(Ⅰ)依题意有c + a2 + b2 = 2b，将其变形可得b=2c，结合椭圆的几何性质以及离心率公式可得e = ca = cb2 + c2，计算可得答案；
(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x+c)，当k>0时，表示出k和xM、yM，将直线l的方程和椭圆方程联立，解可得xM、yM的值，由斜率公式计算可得k的值，同理分析k<0时可得k的值，综合可得答案．
【解答】
解：(1)由题意得c+a2+b2=2b，
把上式移项平方并把a2=b2+c2代入得，b=2c，
又a2=b2+c2，
所以椭圆的离心率e=ca=cb2+c2=55．
(2)设直线l的方程为y=k(x+c)，
先研究k>0的情况，不妨设M在第三象限，要使|MF|=|FP|，
则xM=−2c，yM=−b⋅1−xM2a2=−b5，
因此k=0−(−b5)−c−(−2c)=255．
将直线l的方程和椭圆方程联立可得
y=255(x+c),x2a2+y2b2=1,
解得xM=−2c,xN=c,
由于点N的横坐标为c，因此|PN|也等于|PF|，
同理，当k<0时，由对称性可知k=−255；
即直线l的斜率为255或−255．
【答案】
解：(1)依题意，点E到点F的距离等于到直线l1:x=−1的距离.
由抛物线的定义可知，动点E在以F为焦点，以l1为准线的抛物线上．
由p2=1即p=2可知，点E的轨迹C的方程为y2=4x.
(2)设直线l2的方程为x=my−2,
与曲线C的方程y2=4x联立可得y2−4my+8=0.
∵Δ=16m2−32>0，
∴ m2>2.
设点M，N的坐标分别为x1,y1，x2,y2，
则y1+y2=4m，y1y2=8.
BM→⋅BN→=x1−2,y1⋅x2−2,y2
=y124−2,y1⋅y224−2,y2
=y1y2216−12y12+y22+4+y1y2
=16−12y1+y22−2y1y2
=24−8m2<8.
∴ BM→⋅BN→的取值范围是−∞,8.
【考点】
轨迹方程
直线与抛物线结合的最值问题
圆锥曲线中的范围与最值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)依题意，点E到点F的距离等于到直线l1:x=−1的距离.
由抛物线的定义可知，动点E在以F为焦点，以l1为准线的抛物线上．
由p2=1即p=2可知，点E的轨迹C的方程为y2=4x.
(2)设直线l2的方程为x=my−2,
与曲线C的方程y2=4x联立可得y2−4my+8=0.
∵Δ=16m2−32>0，
∴ m2>2.
设点M，N的坐标分别为x1,y1，x2,y2，
则y1+y2=4m，y1y2=8.
BM→⋅BN→=x1−2,y1⋅x2−2,y2
=y124−2,y1⋅y224−2,y2
=y1y2216−12y12+y22+4+y1y2
=16−12y1+y22−2y1y2
=24−8m2<8.
∴ BM→⋅BN→的取值范围是−∞,8.
【答案】
解：(1)设椭圆的半焦距为cc>0，根据题意可得c=1=a2−b2.
当PF垂直于x轴时，|PF|=b2a=32，
解得a2=4，b2=3，
∴ 椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
(2)由∠AFO=∠BFO，可得A，B关于x轴对称．
设Ax1,y1，Bx1,−y1，Px0,y0，易知x1≠x0，±y1≠y0.
当P点为C的左、右顶点时，可知P，M，N重合，m=n=2或m=n=−2，
此时，总有mn=4.
当P点不是C的左、右顶点时，有kPA=kPM，
∴y1−y0x1−x0=y0x0−m，
∴ x0−m=x1−x0y0y1−y0，
∴ m=x0−x1−x0y0y1−y0=x0y1−x1y0y1−y0.
同理，得n=x0y1+x1y0y1+y0.
∴ mn=x0y1−x1y0y1−y0⋅x0y1+x1y0y1+y0=x02y12−x12y02y12−y02.
又x024+y023=1，x124+y123=1，
∴ x02=41−y023，x12=41−y123，
∴ mn=x02y12−x12y02y12−y02=41−y023⋅y12−41−y123⋅y02y12−y02=4.
综上所述，mn为定值4.
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的通径
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设椭圆的半焦距为cc>0，根据题意可得c=1=a2−b2.
当PF垂直于x轴时，|PF|=b2a=32，
解得a2=4，b2=3，
∴ 椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
(2)由∠AFO=∠BFO，可得A，B关于x轴对称．
设Ax1,y1，Bx1,−y1，Px0,y0，易知x1≠x0，±y1≠y0.
当P点为C的左、右顶点时，可知P，M，N重合，m=n=2或m=n=−2，
此时，总有mn=4.
当P点不是C的左、右顶点时，有kPA=kPM，
∴y1−y0x1−x0=y0x0−m，
∴ x0−m=x1−x0y0y1−y0，
∴ m=x0−x1−x0y0y1−y0=x0y1−x1y0y1−y0.
同理，得n=x0y1+x1y0y1+y0.
∴ mn=x0y1−x1y0y1−y0⋅x0y1+x1y0y1+y0=x02y12−x12y02y12−y02.
又x024+y023=1，x124+y123=1，
∴ x02=41−y023，x12=41−y123，
∴ mn=x02y12−x12y02y12−y02=41−y023⋅y12−41−y123⋅y02y12−y02=4.
综上所述，mn为定值4.