2020-2021学年安徽省淮北市高二（下）6月月考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年安徽省淮北市高二（下）6月月考数学（理）试卷北师大版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知A=x∈N|x<7，B=5,6,7,8，则集合AUB中的元素个数为( )
A.7B.8C.9D.10

2. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λe−t12（λ∈R）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为( )(参考数据ln3≈1.1)
A.10分钟B.14分钟C.15分钟D.20分钟

3. 函数fx=ex+x3−9的零点所在的区间为( )
A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4

4. 已知不等式组 x−y≥0，x+y−1≤0，x≥0 构成的平面区域为D，命题p：对∀x,y∈D，都有2x−y≥0，q：∃(x,y)∈D，使得2x−y>2，则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧qB.¬p∧¬qC.¬p∧qD.p∧¬q

5. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了了解在校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《三国演义》的学生共有80位，阅读过《西游记》的学生共有60位，阅读过《西游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位，则在调查的100位同学中阅读过《三国演义》的学生人数为( )
A.60B.50C.40D.20

6. 已知集合A=x∈Z|x−2x+2≤0，B=y|y=x2,x∈A则集合A∪B的非空真子集的个数为( )
A.14B.15C.16D.30

7. 下列命题中正确的命题有( )
A.函数fx=tanx−π4的定义域为x∈R|x≠kπ−π4,k∈Z；
B.命题‘"∀x∈R，x−lnx>0"的否定是“∃x0∈R，x0−lnx0<0”；
C.函数fx=x+1⋅x−1与函数gx=x2−1是同一个函数；
D.用二分法求函数fx=lnx+2x−6在区间2,3内的零点近似值，至少经过7次二分后，精确度达到0.001．

8. 若fx=lnx，则limΔx→0f1+2Δx−f1Δx=( )
A.1B.2C.4D.8

9. 已知函数y=−axa+b−1是幂函数，直线mx−ny+2=0m>0,n>0过点a,b，则n+1m+1的取值范围是( )
A.−∞,13∪13,3B.1,3C.13,3D.13,3

10. 函数y=x23⋅sinπx⋅lg2|x|的图象大致为( )
A.B.
C.D.

11. 函数fx=−2x+2x<0，gx=xlnx+x．若fx1=gx2，则x2−2x1的最小值为( )
A.2e−1B.4−2eC.4e−2D.4e−1

12. 已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)+xf′(x)>1（f′(x)为函数f(x)的导函数），则不等(1+x)f(1−x2)>f(1−x)+x的解集为( )
A.(0, 1)B.(0, 1]C.(0, +∞)D.(0, 1)∪(1, +∞)
二、填空题

设fx=2x2x+1，gx=asinπx3+3−2aa>0，若对于任意x1∈0,1，总存在x0∈0,32，使得gx0=fx1成立，则a的取值范围是________．
三、解答题

已知集合A=x|m≤x≤2m+1，B=x|x2−3x−4≤0．
(1)当m=2时，求A∩B；

(2)若A为非空集合且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

已知函数fx=1−axcsxa≠0．
(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；

(2)求函数fx在0,π4的最小值．

已知命题p：函数y=lnmx2−4x+m的定义域为R，命题q：任意的x∈1,10，函数y=x+4x≥m恒成立．
(1)若p为真命题，求实数m的取值范围；

(2)若¬p∨q为真命题且¬p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

已知关于x的函数fx=ax−lnx−1+ln2．
(1)讨论fx的单调性；

(2)证明：当n∈N∗时，ln1×2×3×⋯×n
已知函数fx=2x，gx=1x+aa∈R．
(1)当a=1时，解不等式fgx>4；

(2)关于x的方程1fgx−fax−a−2=0在区间0,3内恰有一解，求a的取值范围．

已知fx=asinx+x2ex−ax−xexsinx．
(1)当fx有两个零点时，求a的取值范围；

(2)当a=1，x>0时，设gx=fxx−sinx，求证：gx≥x+lnx．
参考答案与试题解析
2020-2021学年安徽省淮北市高二（下）6月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
并集及其运算
【解析】
无
【解答】
解：A={0,1,2,3,4,5,6}，A∪B={0,1,2,3,4,4,5,6,7,8}，共9个元素．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
函数模型的选择与应用
【解析】
根据已知条件求得λ的值，由此列不等式，解不等式求得t的取值范围，从而确定正确答案.
【解答】
解：由题意知，当t=0时，y=0.2，
所以0.05+λe0=0.2，λ=0.15，
所以y=0.05+0.15e−t12≤0.1，
解得e−t12≤13，
所以−t12≤−ln3，
t≥12ln3≈13.2，
故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
根据零点存在性定理，由fx=ex+x3−9为增函数，带入相关数值判断即可得解．
【解答】
解：由ex为增函数，x3为增函数，
故fx=ex+x3−9为增函数，
由f1=e−8<0，
f2=e2−1>0，
根据零点存在性定理可得∃x0∈1,2使得fx0=0.
故选B．
4.
【答案】
A
【考点】
命题的真假判断与应用
简单线性规划
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】
由题意，作出满足条件的可行域图象，对两个命题进行判断，得到两个命题都是真命题，进而求解即可.
【解答】
解：已知不等式组x−y≥0，x+y−1≤0，x≥0构成的平面区域为D，作出满足条件的可行域如图所示：
命题p：对∀x,y∈D，都有2x−y≥0，即y≤2x，
因为y≤2x表示的区域在直线y=2x的下方，其满足条件，
所以命题p为真命题；
命题q：2x−y>2，即y<2x−2，
作出直线y=2x−2，
由图知，∃(x,y)∈D，使得2x−y>2，
所以命题q为真命题，
可得p∧q为真命题.
故选A.
5.
【答案】
A
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
无
【解答】
解：因为阅读过《西游记》或《三国演义》的学生共有80位，阅读过《西游记》的学生共有60位，
所以只阅读了《三国演义》的学生有80−60=20位，
又因为阅读过《西游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位，
所以阅读过《三国演义》的学生共有20+40=60位.
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
分式不等式的解法
子集与真子集的个数问题
【解析】
无
【解答】
解：由题意得集合A=−1,0,1,2，则集合B=0,1,4，
所以集合A∪B=−1,0,1,2,4的非空真子集的个数为25−2=30.
故选D．
7.
【答案】
A
【考点】
正切函数的定义域
命题的否定
判断两个函数是否为同一函数
二分法的定义
【解析】
无
【解答】
解：对A，由fx=tanx−π4，
令x−π4≠−π2+kπ，k∈Z，则x≠kπ−π4，k∈Z，
所以函数fx=tanx−π4的定义域为x∈R|x≠kπ−π4,k∈Z，故A正确；
对B，命题“∀x∈R，x−lnx>0”的否定是“∃x0∈R，x0−lnx0≤0”，故B错误；
对C，函数fx=x+1⋅x−1的定义域为[1,+∞)，
函数gx=x2−1的定义域为{x|x≤−1或x≥1}，
所以函数fx=x+1⋅x−1与函数gx=x2−1不是同一个函数，故C错误；
对D，因为初始区间为2,3，
所以12n≤0.001，则n≥10，故D错误．
故选A．
8.
【答案】
B
【考点】
导数的运算
极限及其运算
【解析】
直接利用函数的导数的定义，导数的计算公式，求解函数的极限即可．
【解答】
解：∵fx=lnx，∴f′x=1x，
∴limΔx→0f1+2Δx−f1Δx
=2limΔx→0f1+2Δx−f(1)2Δx
=2f′(1)=2×1=2．
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
幂函数的性质
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】

【解答】
解：由y=−axa+b−1是幂函数，
知：a=−1，b=1，
又(a,b)在mx−ny+2=0上，
∴ m+n=2，即n=2−m>0，
则n+1m+1=3−mm+1=4m+1−1，且0∴ n+1m+1∈13,3 .
故选D.
10.
【答案】
B
【考点】
函数的图象
【解析】
无
【解答】
解：设fx=x23⋅sinπx⋅lg2|x|=3x2⋅sinπx⋅lg2|x|，
该函数的定义域为x|x≠0，
f−x=3−x2⋅sin−πx⋅lg2|−x|
=−3x2⋅sinπx⋅lg2|x|=−fx，
函数fx为奇函数，排除AC选项；
当00，则fx<0，排除D选项．
故选B．
11.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
【解答】
解：由题x1<0且fx1=gx2，x2−2x1>0．
有−2x1+2=x2lnx2+x2，
则x2−2x1=x2lnx2+2x2−2，
令u(x)=xlnx+2x−2(x>0且x≠1,ux>0)．
(1)当0(2)当x>1时，知ux>0，
由u′x=2ln2x+lnx−1ln2x=2lnx−1lnx+1ln2x，
令u′x=0，
则x1=e，x2=1e（舍去），
若1若x>e，则u′x>0，
则x=e时取得极小值ue=4e−2，也为最小值，
则ux≥ue，
即x2−2x1≥4e−2，
所以x2−2x1的最小值为4e−2．
故选C．
12.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
构造函数g(x)＝xf(x)−x，根据条件判断g(x)在R上的单调性，然后不等式(1+x)f(1−x2)>f(1−x)+x，分x＝1，x>1和x<1三种情况得到不等式的解集．
【解答】
解：令g(x)=xf(x)−x，则g′(x)=f(x)+xf′(x)−1，
∵ 定义域为R的函数f(x)满足f(x)+xf′(x)>1，
∴ g′(x)>0，∴ g(x)在R上单调递增，
当x=0时，由f(x)+xf′(x)>1，知f(0)>1，
∴ 当x=1时，显然不等式(1+x)f(1−x2)>f(1−x)+x成立，
当x>1时，由(1+x)f(1−x2)>f(1−x)+x，
得g(1−x2)∴ 1−x2<1−x，∴ x>1，
当x<1时，由(1+x)f(1−x2)>f(1−x)+x，
得g(1−x2)>g(1−x)，
∴ 1−x2>1−x，∴ 0综上，不等式的解集为(0, +∞)．
故选C.
二、填空题
【答案】
32,2
【考点】
函数的值域及其求法
函数恒成立问题
【解析】
无
【解答】
解：fx=2x2x+1，
当x=0时，fx=0；
当0所以fx在0,1的值域为0,1；
gx=asinπx3+3−2aa>0，
当0≤x≤32时，0≤πx3≤π2，
有0≤sinπx3≤1，
可得gx的值域为3−2a,3−a，
对于任意x1∈0,1，
总存在x0∈0,32，
使得gx0=fx1成立，
可得0,1⊆3−2a,3−a，
则3−2a≤0,3−a≥1,
解得32≤a≤2．
故答案为：32,2．
三、解答题
【答案】
解：(1)因为B={x|x2−3x−4≤0}={x|−1≤x≤4}，
当m=2时，A={x|2≤x≤5}，
所以A∩B={2≤x≤4}.
(2)因为A为非空集合，所以m≤2m+1，即m≥−1，
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⊆B且A≠B，
所以m≥−1,2m+1≤4且等号不同时取得，解得−1≤m≤32，
综上，实数m的取值范围−1≤m≤32.
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
集合关系中的参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为B={x|x2−3x−4≤0}={x|−1≤x≤4}，
当m=2时，A={x|2≤x≤5}，
所以A∩B={2≤x≤4}.
(2)因为A为非空集合，所以m≤2m+1，即m≥−1，
因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A⊆B且A≠B，
所以m≥−1,2m+1≤4且等号不同时取得，解得−1≤m≤32，
综上，实数m的取值范围−1≤m≤32.
【答案】
解：(1)当a=1时，fx=1−xcsx，
∴ f′x=xsinx−csx，
又f0=1得切点0,1，
∴ k=f′0=−1，
∴ 切线方程为y−1=−x，
即x+y−1=0；
(2)fx=1−axcsx，
∴ f′x=axsinx−csx，x∈0,π4．
令gx=xsinx−csx，
∴ g′x=2sinx+xcsx．
由x∈0,π4，得g′x≥0，
∴ gx在0,π4上为单调增函数．
又g0=−1<0，gπ4=22π4−1<0，
∴ gx<0在0,π4上恒成立，
即xsinx−csx<0在0,π4恒成立．
当a>0时，f′x<0，
知fx在0,π4上为减函数，
从而fxmin=fπ4=1−2aπ8．
当a<0时，f′x>0，
知fx在0,π4上为增函数，
从而fxmin=f0=1；
综上，当a>0时，fxmin=fπ4=1−2aπ8；
当a<0时，fxmin=f0=1．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当a=1时，fx=1−xcsx，
∴ f′x=xsinx−csx，
又f0=1得切点0,1，
∴ k=f′0=−1，
∴ 切线方程为y−1=−x，
即x+y−1=0；
(2)fx=1−axcsx，
∴ f′x=axsinx−csx，x∈0,π4．
令gx=xsinx−csx，
∴ g′x=2sinx+xcsx．
由x∈0,π4，得g′x≥0，
∴ gx在0,π4上为单调增函数．
又g0=−1<0，gπ4=22π4−1<0，
∴ gx<0在0,π4上恒成立，
即xsinx−csx<0在0,π4恒成立．
当a>0时，f′x<0，
知fx在0,π4上为减函数，
从而fxmin=fπ4=1−2aπ8．
当a<0时，f′x>0，
知fx在0,π4上为增函数，
从而fxmin=f0=1；
综上，当a>0时，fxmin=fπ4=1−2aπ8；
当a<0时，fxmin=f0=1．
【答案】
解：(1)当m=0时，y=ln−4x，
定义域−∞,0，不满足题意，舍去；
当m≠0时，要使y=lnmx2−4x+m的定义域为R，
则m>0,Δ=16−4m2<0,解得m>2，
综上可知：m的取值范围是2,+∞．
(2)当q为真命题时，y=x+4x≥2x⋅4x=4，当且仅当x=4x即x=2时取等号，
所以当x∈1,10时，ymin=4，
即m≤4，
因为¬p∨q为真命题且¬p∧q为假命题，
所以¬p，q一真一假，
所以p，q真假相同，
当p假q假时，m≤2,m>4,此时m不存在，
当p真q真时，m>2,m≤4,此时2综上，m的取值范围是(2,4]．
【考点】
对数函数的定义域
复合命题及其真假判断
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当m=0时，y=ln−4x，
定义域−∞,0，不满足题意，舍去；
当m≠0时，要使y=lnmx2−4x+m的定义域为R，
则m>0,Δ=16−4m2<0,解得m>2，
综上可知：m的取值范围是2,+∞．
(2)当q为真命题时，y=x+4x≥2x⋅4x=4，当且仅当x=4x即x=2时取等号，
所以当x∈1,10时，ymin=4，
即m≤4，
因为¬p∨q为真命题且¬p∧q为假命题，
所以¬p，q一真一假，
所以p，q真假相同，
当p假q假时，m≤2,m>4,此时m不存在，
当p真q真时，m>2,m≤4,此时2综上，m的取值范围是(2,4]．
【答案】
(1)解：由fx=ax−lnx−1+ln2得f′x=a−1xx>0，
知当a≤0时f′x<0⇒fx在0,+∞上单调递减，
当a>0时，f′x=ax−1x=ax−1ax，
∴ 当x>1a时f′x>0，fx在1a,+∞上单调递增，
当0(2)证明：由(1)知a=2时fx在0,12上单调递减，在12,+∞上单调递增，
fx≥f12=0，
即有lnx≤2x−1−ln2x>0，
∴ ln1<2−1−ln2=1−ln2，
ln2<4−1−ln2=3−ln2，
ln3<6−1−ln2=5−ln2，
…
lnn<2n−1−ln2，
以上各式相加得：ln1+ln2+ln3+⋯+lnn
< 1+3+5+⋯+2n−1−nln2，
即ln1×2×3×⋯×n【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：由fx=ax−lnx−1+ln2得f′x=a−1xx>0，
知当a≤0时f′x<0⇒fx在0,+∞上单调递减，
当a>0时，f′x=ax−1x=ax−1ax，
∴ 当x>1a时f′x>0，fx在1a,+∞上单调递增，
当0(2)证明：由(1)知a=2时fx在0,12上单调递减，在12,+∞上单调递增，
fx≥f12=0，
即有lnx≤2x−1−ln2x>0，
∴ ln1<2−1−ln2=1−ln2，
ln2<4−1−ln2=3−ln2，
ln3<6−1−ln2=5−ln2，
…
lnn<2n−1−ln2，
以上各式相加得：ln1+ln2+ln3+⋯+lnn
< 1+3+5+⋯+2n−1−nln2，
即ln1×2×3×⋯×n【答案】
解：(1)当a=1时，fgx=21x+1>4，
即1x+1>2，
∴ 1−xx>0，
∴ 0不等式解为0,1．
(2)1f(g(x))−f(ax−a−2)=0，
即121x+a−2ax−a−2=0，
∴ −1x+a=ax−a−2，
化简得到：ax2−2x+1=0x≠0，在区间0,3内恰有一解，
令ℎx=ax2−2x+1．
当a=0时，方程有解为x=12，满足条件；
当a≠0时：
当Δ=4−4a=0，a=1时，方程有唯一解为x=1，满足条件；
当Δ=4−4a>0，即a<1时，
fx在区间0,3内恰有一解，
由于ℎ0>0则ℎ3<0，a<59，
或ℎ3=0，a=59时根为x=35∈0,3，
即a≤59且a≠0，
综上所述：a的取值范围a∈−∞,59∪1．
【考点】
指数函数的性质
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)当a=1时，fgx=21x+1>4，
即1x+1>2，
∴ 1−xx>0，
∴ 0不等式解为0,1．
(2)1f(g(x))−f(ax−a−2)=0，
即121x+a−2ax−a−2=0，
∴ −1x+a=ax−a−2，
化简得到：ax2−2x+1=0x≠0，在区间0,3内恰有一解，
令ℎx=ax2−2x+1．
当a=0时，方程有解为x=12，满足条件；
当a≠0时：
当Δ=4−4a=0，a=1时，方程有唯一解为x=1，满足条件；
当Δ=4−4a>0，即a<1时，
fx在区间0,3内恰有一解，
由于ℎ0>0则ℎ3<0，a<59，
或ℎ3=0，a=59时根为x=35∈0,3，
即a≤59且a≠0，
综上所述：a的取值范围a∈−∞,59∪1．
【答案】
(1)解：由题知，fx=xex−ax−sinx有两个零点，
∵ x−sinx=0时， x=0，
故xex−a=0有一个非零实根，
设ℎx=xex，得ℎ′x=x+1ex，
∴ ℎx在−∞,−1上单调递减，在−1,+∞上单调递增．
又ℎ−1=−1e，ℎ0=0，
x>0时， ℎ0>0；x<0时，ℎ0<0，
所以，a的取值范围是a=−1e或a>0．
(2)证明：由题， gx=fxx−sinx=xex−1，
∵ xex−1≥x+lnx=lnxex，
令t=xex>0，
令Ht=t−lnt−1t>0，
H′t=1−1t=t−1t，
∴ Hx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增．
∴ Hx≥H1=0．
∴ xex−1≥x+lnx．
【考点】
由函数零点求参数取值范围问题
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
无
无
【解答】
(1)解：由题知，fx=xex−ax−sinx有两个零点，
∵ x−sinx=0时， x=0，
故xex−a=0有一个非零实根，
设ℎx=xex，得ℎ′x=x+1ex，
∴ ℎx在−∞,−1上单调递减，在−1,+∞上单调递增．
又ℎ−1=−1e，ℎ0=0，
x>0时， ℎ0>0；x<0时，ℎ0<0，
所以，a的取值范围是a=−1e或a>0．
(2)证明：由题， gx=fxx−sinx=xex−1，
∵ xex−1≥x+lnx=lnxex，
令t=xex>0，
令Ht=t−lnt−1t>0，
H′t=1−1t=t−1t，
∴ Hx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增．
∴ Hx≥H1=0．
∴ xex−1≥x+lnx．