2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之根与系数的关系

这是一份2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之根与系数的关系，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2021秋•武侯区校级期中）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2，则x1•x2为（ ）
A．1B．2C．﹣3D．3
2．（2021秋•闵行区期中）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2﹣3x＝0B．x2﹣3x﹣2＝0C．x2﹣3x+3＝0D．x2﹣3x+2＝0
3．（2021秋•海安市期中）关于方程85（x﹣2）2＝95的两根，则下列叙述正确的是（ ）
A．一根小于1，另一根大于3
B．一根小于﹣2，另一根大于2
C．两根都小于0
D．两根都大于2
4．（2021秋•高要区期中）关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根分别是﹣2和3，则（ ）
A．p＝﹣1，q＝﹣6B．p＝1，q＝﹣6C．p＝5，q＝﹣6D．p＝﹣1，q＝6
5．（2021秋•大邑县期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0没有实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2021秋•亳州期末）若关于x的方程mx2﹣mx+2＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．0B．8C．4或8D．0或8
7．（2021秋•太仓市期末）下列方程中有实数根的是（ ）
A．x2+2x+2＝0B．x2﹣2x+3＝0C．x2﹣3x+1＝0D．x2+3x+4＝0
8．（2021春•莒县期末）如果关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．aB．a且a≠0C．aD．a且a≠0
9．（2021秋•龙岗区期末）若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝2﹣，x2＝2+，则这个方程是（ ）
A．x2+4x+1＝0B．x2﹣4x+1＝0C．x2﹣4x﹣1＝0D．x2+4x﹣1＝0
10．（2021•泸州）设x1、x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
二、填空题（共5小题）
11．（2021•江西）一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为 ．
12．（2021•吉林）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
13．（2021秋•济南期末）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
14．（2021•达州）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
15．（2021秋•东城区期末）请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是1；②方程有两个相等的实数根，此方程可以是 ．
三、解答题（共10小题）
16．（2021•扬州一模）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．
17．（2021秋•镇江期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）若方程两根为平行四边形一组邻边长，当该平行四边形是菱形时，求菱形边长．
18．（2021秋•铁西区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（k为常数）．
（1）求证：无论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）若该方程的两根互为倒数，求该方程的两根．
19．（2021秋•邵阳县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2＝2（1﹣x）有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值．
20．（2021秋•船山区校级期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）m取什么值时，方程有两个实数根？
（2）设此方程的两个实数根为a、b，若y＝ab﹣2b2+2b+1，求y的取值范围．
21．（2021秋•滨州期中）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个根．
22．（2021•绥化模拟）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
23．（2021•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
24．（2021•孝感模拟）关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2+|x1|+|x2|＝7，求k的值．
25．（2021秋•新乡期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9＝0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若n＝4（x1+x2）﹣x1x2，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（1，16），并说明理由．
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版九年级期中必刷常考题之根与系数的关系
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2021秋•武侯区校级期中）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2，则x1•x2为（ ）
A．1B．2C．﹣3D．3
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系的内容得出即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣3＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1•x2＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
2．（2021秋•闵行区期中）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2﹣3x＝0B．x2﹣3x﹣2＝0C．x2﹣3x+3＝0D．x2﹣3x+2＝0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：（A）∵a＝1，b＝﹣3，c＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×0＝9＞0，故A有实数根．
（B）∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝17＞0，故B有实数根．
（C）∵a＝1，b＝﹣3，c＝3
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×3＝﹣3，故C没有实数根．
（D）∵a＝1，b＝﹣3，c＝2，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×2＝4＞0，故D有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
3．（2021秋•海安市期中）关于方程85（x﹣2）2＝95的两根，则下列叙述正确的是（ ）
A．一根小于1，另一根大于3
B．一根小于﹣2，另一根大于2
C．两根都小于0
D．两根都大于2
【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；根与系数的关系．
【专题】计算题；一元二次方程及应用．
【答案】A
【分析】利用直接开平方法解方程得到x1＝2﹣，x2＝2+，然后利用1＜＜2可对各选项进行判断．
【解答】解：（x﹣2）2＝，
x﹣2＝±，
所以x1＝2﹣，x2＝2+，
而1＜＜2，
所以x1＜1，x2＞3．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
4．（2021秋•高要区期中）关于x的一元二次方程x2+px+q＝0的两个实数根分别是﹣2和3，则（ ）
A．p＝﹣1，q＝﹣6B．p＝1，q＝﹣6C．p＝5，q＝﹣6D．p＝﹣1，q＝6
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系得到﹣2+3＝﹣p，﹣2×3＝q，然后解方程即可得到p和q的值．
【解答】解：根据题意得﹣2+3＝﹣p，﹣2×3＝q，
所以p＝﹣1，q＝﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
5．（2021秋•大邑县期中）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0没有实数根，则一次函数y＝kx+b的大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】根的判别式；一次函数的图象．
【专题】判别式法；一次函数及其应用．
【答案】A
【分析】由根的系数结合根的判别式Δ＜0，即可得出k、b同号，再利用一次函数图象与系数的关系找出k＞0、b＞0或k＜0、b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象经过的象限，此题得解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（kb+1）＝﹣4kb＜0，
∴k、b同号．
当k＞0、b＞0时，一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
当k＜0、b＜0时，一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及一次函数图象与系数的关系，牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
6．（2021秋•亳州期末）若关于x的方程mx2﹣mx+2＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．0B．8C．4或8D．0或8
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣m）2﹣4•m•2＝0，解得m1＝0，m2＝8，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣m）2﹣4•m•2＝0，解得m1＝0，m2＝8，
而m≠0，
所以m的值为8．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（2021秋•太仓市期末）下列方程中有实数根的是（ ）
A．x2+2x+2＝0B．x2﹣2x+3＝0C．x2﹣3x+1＝0D．x2+3x+4＝0
【考点】根的判别式．
【答案】C
【分析】由选项中的方程即可得根的判别式的符号，根据根的判别式的符号来判定该方程的根的情况．
【解答】解：A、Δ＝22﹣4×1×2＝﹣6＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；
B、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；
C、Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，则该方程有实数根，故本选项正确；
D、Δ＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
8．（2021春•莒县期末）如果关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（ ）
A．aB．a且a≠0C．aD．a且a≠0
【考点】根的判别式．
【答案】A
【分析】分方程为一元一次方程和一元二次方程考虑：当a＝0时，一元一次方程x﹣1＝0有实数根；当a≠0时，根据根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求出a的取值范围．综上即可得出结论．
【解答】解：当a＝0时，原方程为x﹣1＝0，
解得：x＝1；
当a≠0时，有Δ＝12﹣4a×（﹣1）＝1+4a≥0，
解得：a≥﹣且a≠0．
综上可知：若关于x的方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围为a≥﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是分a＝0与a≠0两种情况考虑．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分方程为一元一次方程与一元二次方程两种情况考虑根的情况是关键．
9．（2021秋•龙岗区期末）若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝2﹣，x2＝2+，则这个方程是（ ）
A．x2+4x+1＝0B．x2﹣4x+1＝0C．x2﹣4x﹣1＝0D．x2+4x﹣1＝0
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】先计算x1+x2，x1x2，然后根据根与系数的关系写出满足条件的一元二次方程即可．
【解答】解：∵x1＝2﹣，x2＝2+，
∴x1+x2＝4，x1x2＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1，
∴以x1，x2为根的一元二次方程为x2﹣4x+1＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
10．（2021•泸州）设x1、x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，则的值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】B
【分析】先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将两根之和与两根之积代入计算即可求出值．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣3，x1x2＝﹣3，
则原式＝＝＝﹣5．
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
二、填空题（共5小题）
11．（2021•江西）一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根为x1，x2，则x12﹣4x1+2x1x2的值为 2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12﹣4x1＝﹣2、x1x2＝2，将其代入x12﹣4x1+2x1x2中即可求出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根为x1、x2，
∴x12﹣4x1＝﹣2，x1x2＝2，
∴x12﹣4x1+2x1x2＝﹣2+2×2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
12．（2021•吉林）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ﹣1 ．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】由于关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的不等式，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0，
即：22﹣4（﹣m）＝0，
解得：m＝﹣1，
故选答案为﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
13．（2021秋•济南期末）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤1 ．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）＝﹣8k+8≥0，
解得：k≤1．
故答案为：k≤1．
【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键．
14．（2021•达州）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ 2021 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2＝﹣2m+2021，则m2+3m+n可化简为2021+m+n，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的实数根，
∴m2+2m﹣2021＝0，即m2＝﹣2m+2021，
∴m2+3m+n＝﹣2m+2021+3m+n＝2021+m+n，
∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣2，
∴m2+3m+n＝2021﹣2＝2021．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程根的定义．
15．（2021秋•东城区期末）请你写出一个一元二次方程，满足条件：①二次项系数是1；②方程有两个相等的实数根，此方程可以是 x2+2x+1＝0 ．
【考点】根的判别式．
【专题】开放型．
【答案】见试题解答内容
【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，判别式等于0．答案不唯一．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴b2﹣4ac＝0，
符合条件的一元二次方程可以为x2+2x+1＝0（答案不唯一）．
故答案是：x2+2x+1＝0．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系为：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
三、解答题（共10小题）
16．（2021•扬州一模）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值．
【考点】无理数；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用根与系数的关系得到Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣3）＝﹣8m+16＞0，然后解不等式即可；
（2）先利用m的范围得到m＝0或m＝1，再分别求出m＝0和m＝1时方程的根，然后根据根的情况确定满足条件的m的值．
【解答】解：（1）Δ＝[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣3）＝﹣8m+16．
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0．
即﹣8m+16＞0．
解得 m＜2；
（2）∵m＜2，且m为非负整数，
∴m＝0或m＝1，
当m＝0时，原方程为x2﹣2x﹣3＝0，
解得 x1＝3，x2＝﹣1，不符合题意舍去，
当m＝1时，原方程为x2﹣2＝0，
解得x1＝，x2＝﹣，
综上所述，m＝1．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
17．（2021秋•镇江期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+2m＝0
（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）若方程两根为平行四边形一组邻边长，当该平行四边形是菱形时，求菱形边长．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；平行四边形的性质；菱形的性质．
【专题】一元二次方程及应用；矩形 菱形 正方形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质和一元二次方程根的判别式解方程即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（m+2）]2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴不论m为何值时，方程总有实数根；
（2）解：∵平行四边形是菱形，
∴邻边相等，
∴方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（m﹣2）2＝0，
∴m＝2，
此时有方程：x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，
∴菱形边长为2．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18．（2021秋•铁西区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0（k为常数）．
（1）求证：无论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）若该方程的两根互为倒数，求该方程的两根．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先计算判别式的值得到Δ＝（k﹣2）2，然后根据非负数的性质得△≥0，则根据判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到2k＝1，解得k＝，原方程变形为x2﹣x+1＝0，整理得2x2﹣5x+2＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，
∴无论k取何实数，该方程总有实数根；
（2）解：根据题意得2k＝1，解得k＝，
原方程变形为x2﹣x+1＝0，
整理得2x2﹣5x+2＝0，
（2x﹣1）（x﹣2）＝0，
解得x1＝，x2＝2．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式（Δ＝b2﹣4ac）：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
19．（2021秋•邵阳县期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2+2＝2（1﹣x）有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣1，求k的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k的取值范围；
（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可．
【解答】解：x2﹣2kx+k2+2＝2（1﹣x），
整理得x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0．
（1）∵方程有两个实数根x1，x2．
∴Δ＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数关系知：
x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，
又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，
|2k﹣2|＝k2﹣1，
∵k≤，
∴2k﹣2＜0，
∴|2k﹣2|＝k2﹣1可化简为：k2+2k﹣3＝0．
解得k＝1（不合题意，舍去）或k＝﹣3，
∴k＝﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac．当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．以及根与系数的关系．
20．（2021秋•船山区校级期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）m取什么值时，方程有两个实数根？
（2）设此方程的两个实数根为a、b，若y＝ab﹣2b2+2b+1，求y的取值范围．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据△的意义得到当△≥0，方程有两个实数根，则12﹣4×1×m≥0，解不等式即可得到m的取值范围；
（2）根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解和根与系数的关系得b2﹣b+m＝0，ab＝m，然后把b2﹣b＝﹣m，ab＝m整体代入y中，化简后得到y＝m+1，再根据（1）中m的取值范围即可得到y的取值范围．
【解答】解：（1）∵△≥0，方程有两个实数根，
∴12﹣4×1×m≥0，解得m≤1，
∴当m≤1时，方程有两个实数根；
（2）∵方程的两个实数根为a、b，
∴b2﹣b+m＝0，ab＝m，
∴y＝m﹣2（b2﹣b）+1
＝m﹣2×（﹣m）+1
＝m+1，
∵m≤1，
∴y≤+1，
即y≤．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解和根与系数的关系．
21．（2021秋•滨州期中）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0．
（1）若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
（2）若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个根．
【考点】一元二次方程的解；根的判别式；根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据方程总有两个实数根知Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0，解之可得；
（2）将x＝1代入方程得到关于m的方程，解之求得m的值，继而还原方程，解之可得答案．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2+2＝0总有两个实数根，
∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+2）＝8m﹣4≥0，
解得：m≥．
（2）将x＝1代入方程，得：1﹣2（m+1）+m2+2＝0，
整理，得：m2﹣2m+1＝0，
解得：m＝1，
则方程为x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
故m的值为1，方程的另一个根为3．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．也考查了一元二次方程根的判别式．
22．（2021•绥化模拟）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k＝2，求该矩形的对角线L的长．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据方程解的个数结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）当k＝2时，原方程为x2﹣5x+5＝0，设方程的两个为m、n，根据根与系数的关系找出m+n＝5、mn＝5，将变形为，再代入数据即可得出结论．
【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）＝4k﹣3＞0，
∴k＞．
（2）当k＝2时，原方程为x2﹣5x+5＝0，
设方程的两个为m、n，
∴m+n＝5，mn＝5，
∴＝＝．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握当方程有两个不相等的实数根时Δ＞0是解题的关键．
23．（2021•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【专题】计算题；一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：Δ＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）＝10，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m＝﹣1或m＝3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
24．（2021•孝感模拟）关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2+|x1|+|x2|＝7，求k的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【答案】见试题解答内容
【分析】（ ）1）根据方程有两个不相等的实数根可得Δ＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＝4k2﹣12k+9﹣4k2﹣4＝﹣12k+5＞0，求出k的取值范围；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到﹣2k+3＝2k2+2﹣3，结合k的取值范围解方程即可．
【解答】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（2k﹣3）]2﹣4（k2+1）＝4k2﹣12k+9﹣4k2﹣4＝﹣12k+5＞0，
解得：k＜；
（2）∵k＜，
∴x1+x2＝2k﹣3＜0，
又∵x1•x2＝k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|＝﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝﹣2k+3，
∵x1x2+|x1|+|x2|＝7，
∴k2+1﹣2k+3＝7，即k2﹣2k﹣3＝0，
∴k1＝﹣1，k2＝2，
又∵k＜，
∴k＝﹣1．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0时，方程没有实数根；（4）x1+x2＝﹣；（5）x1•x2＝．
25．（2021秋•新乡期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9＝0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若n＝4（x1+x2）﹣x1x2，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（1，16），并说明理由．
【考点】根的判别式；根与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）根据n＝4（x1+x2）﹣x1x2，求出n＝m+15，即可得出动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（1，16）．
【解答】解（1）∵Δ＝（m+6）2﹣4（3m+9）＝m2≥0
∴该一元二次方程总有两个实数根
（2）动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（1，16），
∵n＝4（x1+x2）﹣x1x2＝4（m+6）﹣（3m+9）＝m+15
∴P（m，n）为P（m，m+15）．
∴A（1，16）在动点P（m，n）所形成的函数图象上．
【点评】此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
考点卡片
1．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
2．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
3．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
4．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
5．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
6．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
7．一次函数的图象
（1）一次函数的图象的画法：经过两点（0，b）、（﹣，0）或（1，k+b）作直线y＝kx+b．
注意：①使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确．②一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象．如x＝a，y＝b分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象．
（2）一次函数图象之间的位置关系：直线y＝kx+b，可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位而得到．
当b＞0时，向上平移；b＜0时，向下平移．
注意：①如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；
②将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；
③两条直线相交，其交点都适合这两条直线．
8．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
9．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
10．菱形的性质
（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质
①菱形具有平行四边形的一切性质；
②菱形的四条边都相等；
③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
（3）菱形的面积计算
①利用平行四边形的面积公式．
②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度）