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2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之勾股定理
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这是一份2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之勾股定理，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2021秋•长清区期中）以下列各组数为线段长，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，B．3，4，5C．1，2，D．6，8，12
2．（2021秋•紫金县期中）下列各组数，属于勾股数的是（ ）
A．4，5，6B．5，10，13C．3，4，5D．8，39，40
3．（2021秋•相城区期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6B．8C．D．
4．（2021秋•普宁市期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，7，9
5．（2021秋•南江县期末）国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2021年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（ ）
A．6000米B．5000米C．4000米D．2000米
6．（2021春•孝义市期中）我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．后人称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是赵爽在注解哪部著作中提到的？（ ）
A．《几何原本》B．《九章算术》C．《周髀算经》D．《海岛算经》
7．（2021春•磴口县期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab＝6，则图中大正方形的边长为（ ）
A．5B．C．4D．3
8．（2021春•夏津县期中）如图，梯子AB靠在墙上，梯子底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（ ）
A．小于1 mB．大于1 m
C．等于1 mD．小于或等于1 m
二、填空题（共5小题）
9．（2021秋•常熟市期中）已知三角形的三边长分别为8、15、17，则该三角形的面积为 ．
10．（2021春•新田县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝9，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为 ．
11．（2021春•台州期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为7，正方形IJKL的边长为1，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 ．
12．（2021春•柳州期末）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：① ； ② ．
13．（2013秋•郑州校级期末）一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口1小时后相距 km．
三、解答题（共10小题）
14．（2021春•越秀区期中）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长
15．（2021春•江油市期中）如图：每个小正方形的边长都是1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求证：∠BCD＝90°．
16．（2021秋•锦江区校级期中）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1＝S2+S3
（1）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系：（不必证明）
（2）如图③，△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明
（3）利用图①的结论，解决下列问题：如图④，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝8．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．则S1+S2+S3+S4＝ ．
17．（2021秋•金州区期中）阅读下面材料：
勾股定理的逆定理：如果是直角三角形的三条边长a，b，c，满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．例如：32+42＝52，3、4、5是一组勾股数．
古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．
18．（2021秋•虹口区校级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内造成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象部门观测，在某沿海城市A的正南方向相距240km的B处有一台风中心正以16km/h的速度沿北偏东30方向移动，中心最大风力为12级，每运离台风中心20km，风力就会减弱一级，若城市所受风力达到或超过4级，则称该城市会受台风影响．
①已知城市A会受台风影响，求台风影响该城市的持续时间有多少小时？
②求城市A受到台风影响时的最大风力为几级？
19．（2021春•宜兴市期中）甲同学在拼图探索活动中发现，用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为a、b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2的一个等式．
（1）请你写出这一结论： ，并给出验证过程．
（2）试用上述结论解决问题：如图2，P是Rt△ABC斜边AB上的一个动点，已知AC＝5，AB＝13，求PC的最小值．
20．（2021春•陵城区期中）如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝．
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）求证：△ABC是直角三角形．
21．（2021春•嘉祥县期中）我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数．通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）：
表一
表二
（1）仔细观察，表一中a为大于1的奇数，此时b、c的数量关系是 ，a2、b、c之间的数量关系是 ；
（2）仔细观察，表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是 ，a2、b、c之间的数量关系是 ；
（3）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，12，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当a＝，b＝时，斜边c的值．
22．（2021秋•兴化市校级期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点B作DC边上的高BF，则BF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）．
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将4个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠ABC＝90°．
求证：a2+b2＝c2．
证明： ．
23．（2004•吉林）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm），其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面．
（1）用经加工的圆木杆穿入旗裤作旗杆，求旗杆的最大直径（精确到1cm）；
（2）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②，求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之勾股定理
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
1．（2021秋•长清区期中）以下列各组数为线段长，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，B．3，4，5C．1，2，D．6，8，12
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：12+22＝5＝（）2，A能构成直角三角形；
32+42＝25＝52，B能构成直角三角形；
12+（）2＝4＝22，C能构成直角三角形；
62+82＝100≠122，D不能构成直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2．（2021秋•紫金县期中）下列各组数，属于勾股数的是（ ）
A．4，5，6B．5，10，13C．3，4，5D．8，39，40
【考点】勾股数．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】C
【分析】根据勾股数的概念判断即可．
【解答】解：A、因为42+52≠62，所以它们不是勾股数，故本选项错误．
B、因为102+52≠132，所以它们不是勾股数，故本选项错误．
C、因为42+32＝52，所以它们是勾股数，故本选项正确．
D、因为82+392≠402，所以它们不是勾股数，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股数的概念，掌握满足a2+b2＝c2 的三个正数，称为勾股数是解题的关键．
3．（2021秋•相城区期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6B．8C．D．
【考点】勾股定理．
【答案】D
【分析】首先根据勾股定理，得：斜边＝＝13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．
【解答】解：由题意得，斜边为＝13．所以斜边上的高＝12×5÷13＝．
故选：D．
【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
4．（2021秋•普宁市期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，7，9
【考点】勾股数．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故错误；
B、72+242＝252，能构成直角三角形，是整数，故错误；
C、82+152＝172，构成直角三角形，是正整数，故错误；
D、52+72≠92，不能构成直角三角形，故正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键．
5．（2021秋•南江县期末）国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2021年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（ ）
A．6000米B．5000米C．4000米D．2000米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】根据题意可得∠ABC＝90°，AB＝4000米，BC＝3000米，然后利用勾股定理求得AC．
【解答】解：如图，连接AC．
依题意得：∠ABC＝90°，AB＝4000米，BC＝3000米，
则由勾股定理，得
AC＝＝＝5000（米）．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理在实际生活中的运用，关键是得出两车行驶的路程和两车的距离构成的是直角三角形，然后根据勾股定理可求出解．
6．（2021春•孝义市期中）我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．后人称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是赵爽在注解哪部著作中提到的？（ ）
A．《几何原本》B．《九章算术》C．《周髀算经》D．《海岛算经》
【考点】数学常识；勾股定理的证明．
【专题】三角形．
【答案】C
【分析】在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”；
【解答】解：在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，记住“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过．
7．（2021春•磴口县期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab＝6，则图中大正方形的边长为（ ）
A．5B．C．4D．3
【考点】勾股定理的证明．
【专题】几何图形．
【答案】B
【分析】根据ab的值求得直角三角形的面积，进而得出大正方形的面积．
【解答】解：∵ab＝6，
∴直角三角形的面积是ab＝3，
∵小正方形的面积是1，
∴大正方形的面积＝1+4×3＝13，
∴大正方形的边长为，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
8．（2021春•夏津县期中）如图，梯子AB靠在墙上，梯子底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（ ）
A．小于1 mB．大于1 m
C．等于1 mD．小于或等于1 m
【考点】勾股定理的应用．
【答案】A
【分析】由题意可知OA＝2，OB＝7，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB＝A′B′，又由题意可知OA′＝3，利用勾股定理分别求OB′长，把其相减得解．
【解答】解：在直角三角形AOB中，
∵OA＝2，OB＝7
∴AB＝＝＝．
由题意可知AB＝A′B′＝，
又∵OA′＝3，根据勾股定理得：OB′＝＝＝，
∴BB′＝7﹣＜1．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是掌握勾股定理的表达式．
二、填空题（共5小题）
9．（2021秋•常熟市期中）已知三角形的三边长分别为8、15、17，则该三角形的面积为 60 ．
【考点】三角形的面积；勾股定理的逆定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定此三角形是直角三角形，然后根据直角三角形的面积计算方法求出该三角形的面积．
【解答】解：∵82+152＝172，
∴此三角形是直角三角形，且直角边为15，8，
那么它的面积S＝×15×8＝60．
故答案为：60．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形面积的计算方法，正确掌握直角三角形的判定方法是解题关键．
10．（2021春•新田县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝9，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为 18 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】18．
【分析】由勾股定理得，再由圆的面积公式即可得出结论．
【解答】解：由勾股定理的，
∴﹣＝18，
故答案为18．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是要能根据勾股定理求出AB的长度．
11．（2021春•台州期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为7，正方形IJKL的边长为1，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 5 ．
【考点】数学常识；平行线的性质；勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到1个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积，进一步求出正方形EFGH的边长．
【解答】解：（7×7﹣1×1）÷8
＝（49﹣1）÷8
＝48÷8
＝6，
6×4+1×1
＝24+1
＝25，
答：正方形EFGH的边长为5．
故答案为：5
【点评】考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形EFGH的面积．
12．（2021春•柳州期末）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：① 3，4，5 ； ② 6，8，10 ．
【考点】勾股数．
【专题】开放型．
【答案】见试题解答内容
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：根据勾股数定义可得①3，4，5；②6，8，10，
故答案为：3，4，5；6，8，10．
【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
13．（2013秋•郑州校级期末）一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口1小时后相距 20 km．
【考点】勾股定理的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的1小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．
【解答】解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC＝16×1km＝16km，
BC＝12×1km＝12km．
则AB＝20km
故答案为 20．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定△ABC为直角三角形，并且根据勾股定理计算AB是解题的关键．
三、解答题（共10小题）
14．（2021春•越秀区期中）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形，
（2）由（1）可求出AC的长，周长即可求出．
【解答】（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝BD2+CD2
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2
x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+13＝（cm）．
【点评】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答．
15．（2021春•江油市期中）如图：每个小正方形的边长都是1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求证：∠BCD＝90°．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用勾股定理分别求出AB、BC、CD、AD即可解决问题；
（2）求出BC、CD、BD，利用勾股定理的逆定理即可证明．
【解答】（1）解：由题意可知AB＝＝，BC＝＝2，CD＝＝，AD＝＝，
∴四边形ABCD的周长为+2++＝+3+；
（2）证明：连接BD．
∵BC＝2，CD＝，BD＝＝5，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD＝90°．
【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（2021秋•锦江区校级期中）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1＝S2+S3
（1）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系：（不必证明）
（2）如图③，△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明
（3）利用图①的结论，解决下列问题：如图④，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝8．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．则S1+S2+S3+S4＝ 60 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据圆的面积公式及勾股定理得出S1、S2、S3之间的关系即可；
（2）利用等边三角形的面积公式及勾股定理即可得证；
（3）过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S1+S2+S3+S4＝Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．
【解答】解：（1）如图（2），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1＝S2+S3，
理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+BC2，即S1＝S2+S3；
（2）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S1、S2、S3表示，S1、S2、S3之间的关系为S1＝S2+S3，
理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+BC2，即S1＝S2+S3；
（3）过F作AM的垂线交AM于D，
∴DF∥PC，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以FD＝AC＝CP，
∴四边形CDFP是矩形，
∴∠CPF＝90°，
∵∠QPC＝90°，
∴∠QPF＝180°，
∴Q，P，F三点共线，S2＝SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1+S2+S3+S4
＝（S1+S3）+S2+S4
＝SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC
＝SRt△ABC×3
＝5×8÷2×3
＝60．
故答案为：60．
【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
17．（2021秋•金州区期中）阅读下面材料：
勾股定理的逆定理：如果是直角三角形的三条边长a，b，c，满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．例如：32+42＝52，3、4、5是一组勾股数．
古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．
【考点】勾股数．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：正确．理由：
∵m表示大于1的整数，
∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，
∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
即a、b、c为勾股数．
当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．
【点评】本题考查了勾股数．解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
18．（2021秋•虹口区校级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内造成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象部门观测，在某沿海城市A的正南方向相距240km的B处有一台风中心正以16km/h的速度沿北偏东30方向移动，中心最大风力为12级，每运离台风中心20km，风力就会减弱一级，若城市所受风力达到或超过4级，则称该城市会受台风影响．
①已知城市A会受台风影响，求台风影响该城市的持续时间有多少小时？
②求城市A受到台风影响时的最大风力为几级？
【考点】方向角；勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】①；
②6级．
【分析】①当C到A的距离小于160km时，台风达到4级，求出C到A的距离小于160km的时间段即可；
②求出C到A的最短距离即可得出台风的最大风力．
【解答】解：①∵12﹣4＝8，8×20＝160km，
∴当C到A的距离小于160km时，A处受到台风影响，
如图，取AC＝AC''＝160km，AC''⊥BC，
当台风在C到C''之间时，A地将收到影响，
∵∠B＝30°，
∴AC'＝km，
由勾股定理得CC'2＝AC2﹣AC'2，
∴CC'＝＝40km，
∴CC''＝80，
∴A地受影响的时间为；
②∵C到A的最小距离是120km，
∵120÷20＝6，12﹣6＝6，
∴A地受到的最大风力等级为6级．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是要求出A地受到台风影响时的最大距离和最小距离．
19．（2021春•宜兴市期中）甲同学在拼图探索活动中发现，用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为a、b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2的一个等式．
（1）请你写出这一结论： a2+b2＝c2 ，并给出验证过程．
（2）试用上述结论解决问题：如图2，P是Rt△ABC斜边AB上的一个动点，已知AC＝5，AB＝13，求PC的最小值．
【考点】垂线段最短；勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用不同的方法表示阴影部分的面积，即可得到关于a2，b2，c2的一个等式．
（2）先求得BC的长，进而运用面积法即可得出CP的最小值．
【解答】解：（1）结论：a2+b2＝c2．
验证：∵阴影部分的面积＝4×ab＝2ab，
阴影部分的面积＝（a+b）2﹣c2，
∴（a+b）2﹣c2＝2ab，
即a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2．
（2）∵Rt△ABC中，AC＝5，AB＝13，
∴52+BC2＝132，
解得BC＝12，
当CP⊥AB时，PC最短，
此时，BC×AC＝AB×PC，
即PC＝＝，
∴PC的最小值为．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及面积法的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
20．（2021春•陵城区期中）如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝．
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）求证：△ABC是直角三角形．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用勾股定理求出DC的长即可；
（2）利用（1）中所求，直接利用勾股定理求出DA的长即可；
（3）利用（2）中所求进而勾股定理的逆定理求出即可．
【解答】（1）解：在Rt△BCD中，DC＝＝＝；
（2）解：在Rt△CDA中
AD＝＝＝；
（3）证明：∵BC2＝9，AC2＝16，
（BD+AD）2＝25，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
21．（2021春•嘉祥县期中）我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数．通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）：
表一
表二
（1）仔细观察，表一中a为大于1的奇数，此时b、c的数量关系是 b+1＝c ，a2、b、c之间的数量关系是 a2＝b+c ；
（2）仔细观察，表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是 b+2＝c ，a2、b、c之间的数量关系是 a2＝2（b+c） ；
（3）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，12，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当a＝，b＝时，斜边c的值．
【考点】勾股定理的证明；勾股数．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据表中的数得出规律即可；
（2）根据表中的数得出规律即可；
（3）根据32+42＝52得出答案即可．
【解答】解：（1）当a为大于1的奇数，b、c的数量关系b+1＝c，a、b、c之间的数量关系是a2＝b+c，
故答案为：b+1＝c，a2＝b+c；
（2）当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是b+2＝c，a、b、c之间的数量关系是a2＝2（b+c），
故答案为：b+2＝c，a2＝2（b+c）；
（3）∵32+42＝52，
∴，
∴c＝1．
【点评】本题考查了勾股数的应用，能根据表中的数据得出规律是解此题的关键．
22．（2021秋•兴化市校级期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点B作DC边上的高BF，则BF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）．
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将4个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠ABC＝90°．
求证：a2+b2＝c2．
证明： 延长线段DH交EF于G．
∵S多边形AEFCD＝S梯形AEGD+S梯形DCFG＝b[b+（a+b）]+a[a+（a+b）]＝b2+ab+a2+ab＝a2+b2+ab．
∵S多边形AEFCD＝S正方形ABCD+2S直角三角形ABE＝c2+ab，
∴a2+b2＝c2． ．
【考点】勾股定理的证明．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长线段DH交EF于G，根据S多边形AEFCD＝S梯形AEGD+S梯形DCFG＝S正方形ABCD+2S直角三角形ABE，利用面积公式即可证得．
【解答】解：如图，延长线段DH交EF于G．
∵S多边形AEFCD＝S梯形AEGD+S梯形DCFG＝b[b+（a+b）]+a[a+（a+b）]＝b2+ab+a2+ab＝a2+b2+ab．
∵S多边形AEFCD＝S正方形ABCD+2S直角三角形ABE＝c2+ab，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了证明勾股定理，勾股定理的证明一般考查图形面积的关系，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
23．（2004•吉林）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm），其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面．
（1）用经加工的圆木杆穿入旗裤作旗杆，求旗杆的最大直径（精确到1cm）；
（2）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②，求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．
【考点】勾股定理的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）要求最大直径，根据题意知它的最大周长是5×2＝10，再根据圆周长公式进行计算；
（2）分析可知需要计算彩旗的对角线的长．
【解答】解：（1）根据题意，旗裤的周长为5×2＝10，
设旗杆的直径为d，
∴πd≤10，
∴d≤≈3.18，
∴旗杆的最大直径3cm；
（2）彩旗自然下垂时，距离地面的最小距离是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，
∵彩旗这一矩形的对角线即＝150，
∴h＝220﹣150＝70cm．
【点评】此类题的难点在于正确理解题意，能够运用数学知识解决生活中的实际问题．
考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
3．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
7．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
8．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
9．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
10．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
11．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边a
b
c
3
4
5
5
12
13
7
24
25
9
41
a
b
c
6
8
10
8
15
17
10
24
26
12
37
a
b
c
3
4
5
5
12
13
7
24
25
9
40
41
a
b
c
6
8
10
8
15
17
10
24
26
12
35
37
1．（2021秋•长清区期中）以下列各组数为线段长，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，B．3，4，5C．1，2，D．6，8，12
2．（2021秋•紫金县期中）下列各组数，属于勾股数的是（ ）
A．4，5，6B．5，10，13C．3，4，5D．8，39，40
3．（2021秋•相城区期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6B．8C．D．
4．（2021秋•普宁市期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，7，9
5．（2021秋•南江县期末）国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2021年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（ ）
A．6000米B．5000米C．4000米D．2000米
6．（2021春•孝义市期中）我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．后人称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是赵爽在注解哪部著作中提到的？（ ）
A．《几何原本》B．《九章算术》C．《周髀算经》D．《海岛算经》
7．（2021春•磴口县期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab＝6，则图中大正方形的边长为（ ）
A．5B．C．4D．3
8．（2021春•夏津县期中）如图，梯子AB靠在墙上，梯子底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（ ）
A．小于1 mB．大于1 m
C．等于1 mD．小于或等于1 m
二、填空题（共5小题）
9．（2021秋•常熟市期中）已知三角形的三边长分别为8、15、17，则该三角形的面积为 ．
10．（2021春•新田县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝9，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为 ．
11．（2021春•台州期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为7，正方形IJKL的边长为1，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 ．
12．（2021春•柳州期末）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：① ； ② ．
13．（2013秋•郑州校级期末）一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口1小时后相距 km．
三、解答题（共10小题）
14．（2021春•越秀区期中）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长
15．（2021春•江油市期中）如图：每个小正方形的边长都是1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求证：∠BCD＝90°．
16．（2021秋•锦江区校级期中）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1＝S2+S3
（1）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系：（不必证明）
（2）如图③，△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明
（3）利用图①的结论，解决下列问题：如图④，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝8．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．则S1+S2+S3+S4＝ ．
17．（2021秋•金州区期中）阅读下面材料：
勾股定理的逆定理：如果是直角三角形的三条边长a，b，c，满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．例如：32+42＝52，3、4、5是一组勾股数．
古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．
18．（2021秋•虹口区校级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内造成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象部门观测，在某沿海城市A的正南方向相距240km的B处有一台风中心正以16km/h的速度沿北偏东30方向移动，中心最大风力为12级，每运离台风中心20km，风力就会减弱一级，若城市所受风力达到或超过4级，则称该城市会受台风影响．
①已知城市A会受台风影响，求台风影响该城市的持续时间有多少小时？
②求城市A受到台风影响时的最大风力为几级？
19．（2021春•宜兴市期中）甲同学在拼图探索活动中发现，用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为a、b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2的一个等式．
（1）请你写出这一结论： ，并给出验证过程．
（2）试用上述结论解决问题：如图2，P是Rt△ABC斜边AB上的一个动点，已知AC＝5，AB＝13，求PC的最小值．
20．（2021春•陵城区期中）如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝．
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）求证：△ABC是直角三角形．
21．（2021春•嘉祥县期中）我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数．通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）：
表一
表二
（1）仔细观察，表一中a为大于1的奇数，此时b、c的数量关系是 ，a2、b、c之间的数量关系是 ；
（2）仔细观察，表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是 ，a2、b、c之间的数量关系是 ；
（3）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，12，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当a＝，b＝时，斜边c的值．
22．（2021秋•兴化市校级期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点B作DC边上的高BF，则BF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）．
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将4个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠ABC＝90°．
求证：a2+b2＝c2．
证明： ．
23．（2004•吉林）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm），其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面．
（1）用经加工的圆木杆穿入旗裤作旗杆，求旗杆的最大直径（精确到1cm）；
（2）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②，求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．
2021-2022学年上学期初中数学北师大新版八年级期中必刷常考题之勾股定理
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
1．（2021秋•长清区期中）以下列各组数为线段长，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，2，B．3，4，5C．1，2，D．6，8，12
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：12+22＝5＝（）2，A能构成直角三角形；
32+42＝25＝52，B能构成直角三角形；
12+（）2＝4＝22，C能构成直角三角形；
62+82＝100≠122，D不能构成直角三角形；
故选：D．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2．（2021秋•紫金县期中）下列各组数，属于勾股数的是（ ）
A．4，5，6B．5，10，13C．3，4，5D．8，39，40
【考点】勾股数．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】C
【分析】根据勾股数的概念判断即可．
【解答】解：A、因为42+52≠62，所以它们不是勾股数，故本选项错误．
B、因为102+52≠132，所以它们不是勾股数，故本选项错误．
C、因为42+32＝52，所以它们是勾股数，故本选项正确．
D、因为82+392≠402，所以它们不是勾股数，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股数的概念，掌握满足a2+b2＝c2 的三个正数，称为勾股数是解题的关键．
3．（2021秋•相城区期中）直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）
A．6B．8C．D．
【考点】勾股定理．
【答案】D
【分析】首先根据勾股定理，得：斜边＝＝13．再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高．
【解答】解：由题意得，斜边为＝13．所以斜边上的高＝12×5÷13＝．
故选：D．
【点评】运用了勾股定理．注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
4．（2021秋•普宁市期末）下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5B．7，24，25C．8，15，17D．5，7，9
【考点】勾股数．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故错误；
B、72+242＝252，能构成直角三角形，是整数，故错误；
C、82+152＝172，构成直角三角形，是正整数，故错误；
D、52+72≠92，不能构成直角三角形，故正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键．
5．（2021秋•南江县期末）国家八纵八横高铁网络规划中“京昆通道”的重要组成部分──西成高铁于2021年12月6日开通运营，西安至成都列车运行时间由14小时缩短为3.5小时．张明和王强相约从成都坐高铁到西安旅游．如图，张明家（记作A）在成都东站（记作B）南偏西30°的方向且相距4000米，王强家（记作C）在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为（ ）
A．6000米B．5000米C．4000米D．2000米
【考点】勾股定理的应用．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】根据题意可得∠ABC＝90°，AB＝4000米，BC＝3000米，然后利用勾股定理求得AC．
【解答】解：如图，连接AC．
依题意得：∠ABC＝90°，AB＝4000米，BC＝3000米，
则由勾股定理，得
AC＝＝＝5000（米）．
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理在实际生活中的运用，关键是得出两车行驶的路程和两车的距离构成的是直角三角形，然后根据勾股定理可求出解．
6．（2021春•孝义市期中）我国古代的数学家很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽．赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明．后人称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是赵爽在注解哪部著作中提到的？（ ）
A．《几何原本》B．《九章算术》C．《周髀算经》D．《海岛算经》
【考点】数学常识；勾股定理的证明．
【专题】三角形．
【答案】C
【分析】在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”；
【解答】解：在《周髀算经》中赵爽提过”“赵爽弦图”，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，记住“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过．
7．（2021春•磴口县期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．已知小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b且ab＝6，则图中大正方形的边长为（ ）
A．5B．C．4D．3
【考点】勾股定理的证明．
【专题】几何图形．
【答案】B
【分析】根据ab的值求得直角三角形的面积，进而得出大正方形的面积．
【解答】解：∵ab＝6，
∴直角三角形的面积是ab＝3，
∵小正方形的面积是1，
∴大正方形的面积＝1+4×3＝13，
∴大正方形的边长为，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
8．（2021春•夏津县期中）如图，梯子AB靠在墙上，梯子底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（ ）
A．小于1 mB．大于1 m
C．等于1 mD．小于或等于1 m
【考点】勾股定理的应用．
【答案】A
【分析】由题意可知OA＝2，OB＝7，先利用勾股定理求出AB，梯子移动过程中长短不变，所以AB＝A′B′，又由题意可知OA′＝3，利用勾股定理分别求OB′长，把其相减得解．
【解答】解：在直角三角形AOB中，
∵OA＝2，OB＝7
∴AB＝＝＝．
由题意可知AB＝A′B′＝，
又∵OA′＝3，根据勾股定理得：OB′＝＝＝，
∴BB′＝7﹣＜1．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是掌握勾股定理的表达式．
二、填空题（共5小题）
9．（2021秋•常熟市期中）已知三角形的三边长分别为8、15、17，则该三角形的面积为 60 ．
【考点】三角形的面积；勾股定理的逆定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定此三角形是直角三角形，然后根据直角三角形的面积计算方法求出该三角形的面积．
【解答】解：∵82+152＝172，
∴此三角形是直角三角形，且直角边为15，8，
那么它的面积S＝×15×8＝60．
故答案为：60．
【点评】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形面积的计算方法，正确掌握直角三角形的判定方法是解题关键．
10．（2021春•新田县期中）如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝9，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为 18 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】18．
【分析】由勾股定理得，再由圆的面积公式即可得出结论．
【解答】解：由勾股定理的，
∴﹣＝18，
故答案为18．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是要能根据勾股定理求出AB的长度．
11．（2021春•台州期中）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为7，正方形IJKL的边长为1，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为 5 ．
【考点】数学常识；平行线的性质；勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得8个直角三角形的面积，进一步得到1个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形EFGH的面积，进一步求出正方形EFGH的边长．
【解答】解：（7×7﹣1×1）÷8
＝（49﹣1）÷8
＝48÷8
＝6，
6×4+1×1
＝24+1
＝25，
答：正方形EFGH的边长为5．
故答案为：5
【点评】考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形EFGH的面积．
12．（2021春•柳州期末）满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．写出你比较熟悉的两组勾股数：① 3，4，5 ； ② 6，8，10 ．
【考点】勾股数．
【专题】开放型．
【答案】见试题解答内容
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：根据勾股数定义可得①3，4，5；②6，8，10，
故答案为：3，4，5；6，8，10．
【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
13．（2013秋•郑州校级期末）一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以12km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口1小时后相距 20 km．
【考点】勾股定理的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，画出图形，且东北和东南的夹角为90°，根据题目中给出的1小时后和速度可以计算AC，BC的长度，在直角△ABC中，已知AC，BC可以求得AB的长．
【解答】解：作出图形，因为东北和东南的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．
在Rt△ABC中，AC＝16×1km＝16km，
BC＝12×1km＝12km．
则AB＝20km
故答案为 20．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中确定△ABC为直角三角形，并且根据勾股定理计算AB是解题的关键．
三、解答题（共10小题）
14．（2021春•越秀区期中）如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的周长
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，知道BC2＝BD2+CD2，所以△BDC为直角三角形，
（2）由（1）可求出AC的长，周长即可求出．
【解答】（1）证明：∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝BD2+CD2
∴△BDC为直角三角形；
（2）解：设AB＝x，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝x，
∵AC2＝AD2+CD2
x2＝（x﹣5）2+122，
解得：x＝，
∴△ABC的周长＝2AB+BC＝2×+13＝（cm）．
【点评】此题考查等腰三角形的性质、勾股定理以及逆定理的应用，关键是勾股定理的逆定理解答．
15．（2021春•江油市期中）如图：每个小正方形的边长都是1．
（1）求四边形ABCD的周长；
（2）求证：∠BCD＝90°．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用勾股定理分别求出AB、BC、CD、AD即可解决问题；
（2）求出BC、CD、BD，利用勾股定理的逆定理即可证明．
【解答】（1）解：由题意可知AB＝＝，BC＝＝2，CD＝＝，AD＝＝，
∴四边形ABCD的周长为+2++＝+3+；
（2）证明：连接BD．
∵BC＝2，CD＝，BD＝＝5，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD＝90°．
【点评】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（2021秋•锦江区校级期中）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，则不难证明S1＝S2+S3
（1）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系：（不必证明）
（2）如图③，△ABC中，∠C＝90°，分别以△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明
（3）利用图①的结论，解决下列问题：如图④，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝8．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4．则S1+S2+S3+S4＝ 60 ．
【考点】勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据圆的面积公式及勾股定理得出S1、S2、S3之间的关系即可；
（2）利用等边三角形的面积公式及勾股定理即可得证；
（3）过F作AM的垂线交AM于D，通过证明S1+S2+S3+S4＝Rt△ABC的面积×3，依此即可求解．
【解答】解：（1）如图（2），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1＝S2+S3，
理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+BC2，即S1＝S2+S3；
（2）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S1、S2、S3表示，S1、S2、S3之间的关系为S1＝S2+S3，
理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB2＝AC2+BC2，
∴AB2＝AC2+BC2，即S1＝S2+S3；
（3）过F作AM的垂线交AM于D，
∴DF∥PC，
可证明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以FD＝AC＝CP，
∴四边形CDFP是矩形，
∴∠CPF＝90°，
∵∠QPC＝90°，
∴∠QPF＝180°，
∴Q，P，F三点共线，S2＝SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可进一步证得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可证得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC．
易证Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1+S2+S3+S4
＝（S1+S3）+S2+S4
＝SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC
＝SRt△ABC×3
＝5×8÷2×3
＝60．
故答案为：60．
【点评】本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．
17．（2021秋•金州区期中）阅读下面材料：
勾股定理的逆定理：如果是直角三角形的三条边长a，b，c，满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．例如：32+42＝52，3、4、5是一组勾股数．
古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数，你认为正确吗？如果正确，请说明理由，并利用这个结论得出一组勾股数．
【考点】勾股数．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【解答】解：正确．理由：
∵m表示大于1的整数，
∴a，b，c都是正整数，且c是最大边，
∵（2m）2+（m2﹣1）2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
即a、b、c为勾股数．
当m＝2时，可得一组勾股数3，4，5．
【点评】本题考查了勾股数．解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
18．（2021秋•虹口区校级期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内造成气旋风暴，有极强的破坏力．据气象部门观测，在某沿海城市A的正南方向相距240km的B处有一台风中心正以16km/h的速度沿北偏东30方向移动，中心最大风力为12级，每运离台风中心20km，风力就会减弱一级，若城市所受风力达到或超过4级，则称该城市会受台风影响．
①已知城市A会受台风影响，求台风影响该城市的持续时间有多少小时？
②求城市A受到台风影响时的最大风力为几级？
【考点】方向角；勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】①；
②6级．
【分析】①当C到A的距离小于160km时，台风达到4级，求出C到A的距离小于160km的时间段即可；
②求出C到A的最短距离即可得出台风的最大风力．
【解答】解：①∵12﹣4＝8，8×20＝160km，
∴当C到A的距离小于160km时，A处受到台风影响，
如图，取AC＝AC''＝160km，AC''⊥BC，
当台风在C到C''之间时，A地将收到影响，
∵∠B＝30°，
∴AC'＝km，
由勾股定理得CC'2＝AC2﹣AC'2，
∴CC'＝＝40km，
∴CC''＝80，
∴A地受影响的时间为；
②∵C到A的最小距离是120km，
∵120÷20＝6，12﹣6＝6，
∴A地受到的最大风力等级为6级．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是要求出A地受到台风影响时的最大距离和最小距离．
19．（2021春•宜兴市期中）甲同学在拼图探索活动中发现，用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为a、b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2的一个等式．
（1）请你写出这一结论： a2+b2＝c2 ，并给出验证过程．
（2）试用上述结论解决问题：如图2，P是Rt△ABC斜边AB上的一个动点，已知AC＝5，AB＝13，求PC的最小值．
【考点】垂线段最短；勾股定理的证明．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）用不同的方法表示阴影部分的面积，即可得到关于a2，b2，c2的一个等式．
（2）先求得BC的长，进而运用面积法即可得出CP的最小值．
【解答】解：（1）结论：a2+b2＝c2．
验证：∵阴影部分的面积＝4×ab＝2ab，
阴影部分的面积＝（a+b）2﹣c2，
∴（a+b）2﹣c2＝2ab，
即a2+b2＝c2．
故答案为：a2+b2＝c2．
（2）∵Rt△ABC中，AC＝5，AB＝13，
∴52+BC2＝132，
解得BC＝12，
当CP⊥AB时，PC最短，
此时，BC×AC＝AB×PC，
即PC＝＝，
∴PC的最小值为．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及面积法的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
20．（2021春•陵城区期中）如图所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝．
（1）求CD的长；
（2）求AD的长；
（3）求证：△ABC是直角三角形．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用勾股定理求出DC的长即可；
（2）利用（1）中所求，直接利用勾股定理求出DA的长即可；
（3）利用（2）中所求进而勾股定理的逆定理求出即可．
【解答】（1）解：在Rt△BCD中，DC＝＝＝；
（2）解：在Rt△CDA中
AD＝＝＝；
（3）证明：∵BC2＝9，AC2＝16，
（BD+AD）2＝25，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确应用勾股定理是解题关键．
21．（2021春•嘉祥县期中）我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”，下面我们来探究两类特殊的勾股数．通过观察完成下面两个表格中的空格（以下a、b、c为Rt△ABC的三边，且a＜b＜c）：
表一
表二
（1）仔细观察，表一中a为大于1的奇数，此时b、c的数量关系是 b+1＝c ，a2、b、c之间的数量关系是 a2＝b+c ；
（2）仔细观察，表二中a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是 b+2＝c ，a2、b、c之间的数量关系是 a2＝2（b+c） ；
（3）我们还发现，表一中的三边长“3，4，5”与表二中的“6，8，10”成倍数关系，表一中的“5，12，13”与表二中的“10，24，26”恰好也成倍数关系……请直接利用这一规律计算：在Rt△ABC中，当a＝，b＝时，斜边c的值．
【考点】勾股定理的证明；勾股数．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据表中的数得出规律即可；
（2）根据表中的数得出规律即可；
（3）根据32+42＝52得出答案即可．
【解答】解：（1）当a为大于1的奇数，b、c的数量关系b+1＝c，a、b、c之间的数量关系是a2＝b+c，
故答案为：b+1＝c，a2＝b+c；
（2）当a为大于4的偶数，此时b、c的数量关系是b+2＝c，a、b、c之间的数量关系是a2＝2（b+c），
故答案为：b+2＝c，a2＝2（b+c）；
（3）∵32+42＝52，
∴，
∴c＝1．
【点评】本题考查了勾股数的应用，能根据表中的数据得出规律是解此题的关键．
22．（2021秋•兴化市校级期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2
证明：连接DB，过点B作DC边上的高BF，则BF＝EC＝b﹣a．
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a）．
∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），∴a2+b2＝c2．
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将4个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠ABC＝90°．
求证：a2+b2＝c2．
证明： 延长线段DH交EF于G．
∵S多边形AEFCD＝S梯形AEGD+S梯形DCFG＝b[b+（a+b）]+a[a+（a+b）]＝b2+ab+a2+ab＝a2+b2+ab．
∵S多边形AEFCD＝S正方形ABCD+2S直角三角形ABE＝c2+ab，
∴a2+b2＝c2． ．
【考点】勾股定理的证明．
【答案】见试题解答内容
【分析】延长线段DH交EF于G，根据S多边形AEFCD＝S梯形AEGD+S梯形DCFG＝S正方形ABCD+2S直角三角形ABE，利用面积公式即可证得．
【解答】解：如图，延长线段DH交EF于G．
∵S多边形AEFCD＝S梯形AEGD+S梯形DCFG＝b[b+（a+b）]+a[a+（a+b）]＝b2+ab+a2+ab＝a2+b2+ab．
∵S多边形AEFCD＝S正方形ABCD+2S直角三角形ABE＝c2+ab，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了证明勾股定理，勾股定理的证明一般考查图形面积的关系，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
23．（2004•吉林）图①是一面矩形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm），其中矩形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为矩形绸缎旗面．
（1）用经加工的圆木杆穿入旗裤作旗杆，求旗杆的最大直径（精确到1cm）；
（2）将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为220cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图②，求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．
【考点】勾股定理的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）要求最大直径，根据题意知它的最大周长是5×2＝10，再根据圆周长公式进行计算；
（2）分析可知需要计算彩旗的对角线的长．
【解答】解：（1）根据题意，旗裤的周长为5×2＝10，
设旗杆的直径为d，
∴πd≤10，
∴d≤≈3.18，
∴旗杆的最大直径3cm；
（2）彩旗自然下垂时，距离地面的最小距离是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长，
∵彩旗这一矩形的对角线即＝150，
∴h＝220﹣150＝70cm．
【点评】此类题的难点在于正确理解题意，能够运用数学知识解决生活中的实际问题．
考点卡片
1．数学常识
数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．
平时要注意多观察，留意身边的小知识．
2．方向角
方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角
（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
（2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）
（3）画方向角
以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．
3．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
4．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
5．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
6．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
7．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
8．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
9．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
10．勾股数
勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
说明：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
11．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边a
b
c
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a
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