高中数学北师大版必修12.2函数的表示方法教案

函数的表示法

教学分析

课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图像法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图像的直观作用．在研究图像时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．

三维目标

1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图像法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．

2．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用，提高应用函数解决实际问题的能力，增加学习数学的兴趣．

3．会用描点法画一些简单函数的图像，培养学生应用函数的图像解决问题的能力．

重点难点

教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．

教学难点：分段函数的表示及其图像．

课时安排

1课时

导入新课

我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．

初中学过的三种表示法：解析法、图像法和列表法各是怎样表示函数的？

讨论结果：(1)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式叫作函数的解析式．

(2)图像法：用图像表示两个变量之间函数关系的方法叫作图像法．

(3)列表法：这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫作列表法．

请同学们阅读课本28-29页，完成表格。

学生回答，教师点评、总结。

思路1

例1  请画出下面函数的图像：y＝|x|＝

活动：学生思考函数图像的画法：①一次函数是基本初等函数，其图像是直线，可直接画出；②利用变换法画出图像，根据绝对值的概念来化简解析式．

解法一：函数y＝|x|的图像如图1所示．

图1

解法二：画函数y＝x的图像，将其位于x轴下方的部分对称到x轴上方，与函数y＝x的图像位于x轴上方的部分合起来得函数y＝|x|的图像(如图1所示)．

点评：本题主要考查分段函数．所谓分段函数是指在定义域的不同部分，其解析式不同的函数．注意：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等.

变式训练

1．已知函数y＝

(1)求f{f[f(5)]}的值；

(2)画出函数的图像．

分析：本题主要考查分段函数及其图像．f(x)是分段函数，要求f{f[f(5)]}，需要确定f[f(5)]的取值范围，为此又需确定f(5)的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解．画出函数在各段上的图像，再合起来就是分段函数的图像．

解：(1)∵5＞4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.

∵－3＜0，

∴f[f(5)]＝f(－3)＝－3＋4＝1.

∵0＜1＜4，

∴f{f[f(5)]}＝f(1)＝12－2×1＝－1，

即f{f[f(5)]}＝－1.

图2

(2)图像如图2所示．

2．画函数y＝的图像．

步骤：①画整个二次函数y＝(x＋1)2的图像，再取其在区间(－∞，0]上的图像，其他部分删去不要；②画一次函数y＝－x的图像，再取其在区间(0，＋∞)上的图像，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图像．如图3所示．

图3

点评：函数y＝f(x)的图像位于x轴上方的部分是y＝|f(x)|的图像的一部分，函数y＝f(x)的图像位于x轴下方的部分对称到上方就是函数y＝|f(x)|的图像的一部分．这两部分合起来是y＝|f(x)|的图像，利用函数y＝f(x)的图像和函数y＝|f(x)|的图像的这种关系，由函数y＝f(x)的图像画出函数y＝|f(x)|的图像.

例2  国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如下表：[来源:学.科.网Z.X.X.K]

画出图像，并写出函数的解析式．

活动：学生回顾思考常数函数的图像形状和分段函数的含义．教师适当时加以提示．

解：邮资是信函质量的函数，函数图像如图4.

图4

函数的解析式为M＝

点评：本题主要考查分段函数的解析式和图像．求分段函数的函数值时，要注意自变量在其定义域的哪一段上，依次代入分段函数的解析式．画分段函数y＝(D1，D2，…，两两交集是空集)的图像步骤是

(1)画整个函数y＝f1(x)的图像，再取其在区间D1上的图像，其他部分删去不要；

(2)画整个函数y＝f2(x)的图像，再取其在区间D2上的图像，其他部分删去不要；

(3)依次画下去；

(4)将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图像．

例3某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数y＝f(x)．

活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图像，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．

解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}，

用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．

用列表法可将函数y＝f(x)表示为

用图像法可将函数y＝f(x)表示为图6.

图6

点评：本题主要考查函数的三种表示法．解析法的特点是：简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域；图像法的特点是：直观形象地表示自变量的变化及相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图像来研究函数的某些性质，图像法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图、股市走势图等；列表法的特点是：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，列表法在实际生产和生活中也有广泛的应用，如银行利率表、列车时刻表等．但是并不是所有的函数都能用解析法表示，只有函数值随自变量的变化发生有规律的变化时，这样的函数才可能有解析式，否则写不出解析式，也就不能用解析法表示．例如：张丹的年龄n(n∈N＋)每取一个值，那么他的身高y(单位：cm)总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄n的函数y＝f(n)，但是这个函数的解析式不存在，函数y＝f(n)不能用解析法来表示．

注意：(1)函数图像既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等；

(2)解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；

(3)图像法：根据实际情境来决定是否连线；

(4)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.

变式训练

1．已知函数f(x)在[－1,2]上的图像如图7所示，求f(x)的解析式．

图7

解：观察图像，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解析式为：

当－1≤x≤0时，f(x)＝x＋1；

当0＜x≤2时，f(x)＝－，

则有f(x)＝

2．已知2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(x)＝________.

分析：由题意得

把f(x)和f(－x)看成未知数，解方程即得．

答案：3x＋

本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．

习题2—2B组2.

本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用，特别是用图像法求函数的值域，并对求函数值域的方法进行了总结以满足高考的要求．