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2019-2020学年福建省三明市泰宁县八年级（上）期中数学试卷
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这是一份2019-2020学年福建省三明市泰宁县八年级（上）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列实数中是无理数的是（ ）
A．B．C．πD．
2．（2分）要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x＞0B．x≥0C．x≠0D．x＜0
3．（2分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，这一过程中汽车的行驶速度v和行驶时间t之间的关系用图象表示，其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）估算的值是在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
5．（2分）已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＞0，则点M的位置一定在（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第一、三象限D．第一、四象限
6．（2分）已知+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2019的值为（ ）
A．﹣1B．1C．32019D．﹣32019
7．（2分）下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三角形三边分别是3，4，5
B．三角形三内角之比为1：2：3
C．三角形三内角中有两个角互余
D．三角形三边之比为2：3：4
8．（2分）如图，在5×5的正方形网格中，小正方形的边长都是1，小正方形的顶点为格点，若格点Q与P的距离为x，如果x2＝10，那么这样的点Q个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
10．（2分）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，计18分；请将答案填在答题卡的相应位置．）
11．（3分）在实数0，﹣1，1，﹣中，最小的数是 ．
12．（3分）点（﹣1，2）关于原点对称的坐标点是 ．
13．（3分）一只蚂蚁由（0，0）先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位长度，它所在位置的坐标是 ．
14．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为 ．
15．（3分）有一个长为12cm，宽为4cm，高为3cm的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铅笔，则铅笔最长是 ．
16．（3分）如图，数轴上点A、B对应的数分别是1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径作圆弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，当点M在点B的右侧时，点M对应的数是 ．
三、解答题：（本大题共9小题，计62分．请将解答过程写在答题卡的相应位置.）
17．（6分）计算：
（1）（+）；
（2）（﹣）2．
18．（10分）计算下列各题：
（1）；
（2）．
19．（6分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点在网格线的交点的三角形）△ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并分别写出点A1、B1、C1的坐标．
20．（6分）如图，在所给的平面直角坐标系中描出下列各点：
①点A在x轴上方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度；
②点B在x轴下方，y轴右侧，距离x、y轴都是3个单位长度；
③点C在y轴上，位于原点下方，距离原点2个单位长度；
④点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度．
填空：点A的坐标为 ；点B的坐标为 ；
点B到原点的距离是 ；点C的坐标为 ；
点D的坐标为 ；线段CD的长度为 ．
21．（6分）已知点A（5，a）与点B（5，﹣3）关于x轴对称，b为1+的小数部分，求
（1）a+b的值．
（2）化简+（+1）b﹣．
22．（6分）为庆祝中华人民共和国成立70周年，某班计划在班级墙上挂两张大小不同的正方形壁画，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2.如果再用金丝线把壁画的边镶上会更漂亮，现在有长1.8m的金丝线，请你帮助算一算，他的金丝线够用吗？如果不够，还需买多长的金丝线？（结果保留整数）
23．（7分）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证：EC＝BD；
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
24．（7分）如图，在10×8的方格内取A，B，C，D四个格点，使AB＝BC＝2CD＝4，P是线段BC上的动点，连接AP，DP．
（1）设BP＝a，CP＝b，用含字母a，b的代数式分别表示线段AP，DP的长；
（2）设k＝AP+DP，k是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
25．（8分）问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
2019-2020学年福建省三明市泰宁县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题2分，计20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂）
1．（2分）下列实数中是无理数的是（ ）
A．B．C．πD．
【分析】根据有理数包括整数和分数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，找出其中无理数即可解答．
【解答】解：A.，是整数，属于有理数；
B.是分数，属于有理数；
C．π是无理数；
D.，是整数，属于有理数．
故选：C．
2．（2分）要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x＞0B．x≥0C．x≠0D．x＜0
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x≥0．
故选：B．
3．（2分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，这一过程中汽车的行驶速度v和行驶时间t之间的关系用图象表示，其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据加速行驶，速度随时间的增加而增加，匀速行驶，速度不变；减速行驶，速度随时间的增加而减少，可得答案．
【解答】解：由题意，得
加速行驶速度增加，匀速行驶速度不变，减速行驶速度减少，故B符合题意；
故选：B．
4．（2分）估算的值是在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【分析】直接利用估算无理数的方法得出＜＜，进而得出答案．
【解答】解：∵＜＜，
∴的值是在2和3之间．
故选：B．
5．（2分）已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＞0，则点M的位置一定在（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第一、三象限D．第一、四象限
【分析】根据有理数的乘法，可得a，b同号，根据坐标轴的特点，可得答案．
【解答】解：∵ab＞0，
∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，
∴点M的位置一定在第一、三象限．
故选：C．
6．（2分）已知+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2019的值为（ ）
A．﹣1B．1C．32019D．﹣32019
【分析】直接利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵+|b﹣1|＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2019＝﹣1．
故选：A．
7．（2分）下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三角形三边分别是3，4，5
B．三角形三内角之比为1：2：3
C．三角形三内角中有两个角互余
D．三角形三边之比为2：3：4
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵32+42＝52，
∴以3、4、5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵三角形三内角之比为1：2：3，三角形的三内角度数和是180°，
∴三角形的最大角的度数是×180°＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵三角形三内角中两个角互余，
∴第三个角的度数是180°﹣90°＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵三角形三边之比为2：3：4，
∴此三角形的最大角的度数是×180°＝80°
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
8．（2分）如图，在5×5的正方形网格中，小正方形的边长都是1，小正方形的顶点为格点，若格点Q与P的距离为x，如果x2＝10，那么这样的点Q个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】画一个直角边分别为1、3的直角三角形，斜边即为所求的线段
【解答】解：∵12+32＝10＝x2，
∴符合条件的点如图所示，共有4个，
故选：C．
9．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．
【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（2，3），
∴PQ＝2，OQ＝3，
∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，
∴点P′的坐标为（3，﹣2）．
故选：D．
10．（2分）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】观察图形根据勾股定理的几何意义，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2＝1，S2+S3＝2，S3+S4＝3，S1+S2+S3+S4＝4，故选A．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，计18分；请将答案填在答题卡的相应位置．）
11．（3分）在实数0，﹣1，1，﹣中，最小的数是 ﹣ ．
【分析】根据实数的大小比较法则即可求出答案．
【解答】解：﹣＜﹣1＜0＜1，
故答案为：﹣．
12．（3分）点（﹣1，2）关于原点对称的坐标点是 （1，﹣2） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：点（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
13．（3分）一只蚂蚁由（0，0）先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位长度，它所在位置的坐标是 （3，4） ．
【分析】此题可按照蚂蚁爬行的方向来确定点的坐标，具体方法是“右加左减，上加下减”．
【解答】解：先向上爬4个单位长度，得（0，4）；
再向右爬3个单位长度，得（3，4）．
故答案为：（3，4）．
14．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为 3 ．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，BC＝＝，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3，
故答案为：3．
15．（3分）有一个长为12cm，宽为4cm，高为3cm的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铅笔，则铅笔最长是 13cm ．
【分析】本题根据题目中所给的信息，可以构造出直角三角形，再利用勾股定理解答即可．
【解答】解：铅笔的长为＝＝13cm．
故答案为：13cm．
16．（3分）如图，数轴上点A、B对应的数分别是1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径作圆弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，当点M在点B的右侧时，点M对应的数是 ．
【分析】先依据勾股定理可求得OC的长，从而得到OM的长，于是可得到点M对应的数．
【解答】解：由题意得可知：OB＝2，BC＝1，
依据勾股定理可知：OC＝＝．
∴OM＝．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共9小题，计62分．请将解答过程写在答题卡的相应位置.）
17．（6分）计算：
（1）（+）；
（2）（﹣）2．
【分析】（1）先化简二次根式，再计算括号内二次根式的加法，最后计算乘法即可；
（2）利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝×（2+）
＝×3
＝6；
（2）原式＝（）2﹣2××+（）2
＝5﹣2+3
＝8﹣2．
18．（10分）计算下列各题：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用乘法公式结合二次根式的性质计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则计算，进而合并同类二次根式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（）2﹣（）2+2
＝5﹣7+2
＝0；
（2）原式＝×﹣2×﹣6×
＝3﹣6﹣3
＝﹣6．
19．（6分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点在网格线的交点的三角形）△ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并分别写出点A1、B1、C1的坐标．
【分析】（1）直接利用A，C点坐标得出原点位置进而作出平面直角坐标系；
（2）直接利用关于y轴对称点的性质得出各点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：；
（2）如图所示：A1（4，5），B1（2，1），C1（1，3）．
20．（6分）如图，在所给的平面直角坐标系中描出下列各点：
①点A在x轴上方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度；
②点B在x轴下方，y轴右侧，距离x、y轴都是3个单位长度；
③点C在y轴上，位于原点下方，距离原点2个单位长度；
④点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度．
填空：点A的坐标为 （﹣2，4） ；点B的坐标为 （3，﹣3） ；
点B到原点的距离是 3 ；点C的坐标为 （0，﹣2） ；
点D的坐标为 （4，0） ；线段CD的长度为 2 ．
【分析】由题意可知点A在第二象限，再根据距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度即可求出其坐标；；
由题意可知点B在第四象限，再根据距离每条坐标轴都是3个单位长度即可求出其坐标；
由题意可知点C的横坐标为0，再根据位于原点下方，距离原点2个单位长度即可求出其坐标；
由题意可知点D的纵坐标为0，再根据位于原点右侧，距离原点4个单位长度即可求出其坐标；
根据勾股定理可得线段CD的长度．
【解答】解：如图，
∵点A在x轴上方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，
∴点A的坐标为（﹣2，4）；
∵点B在x轴下方，y轴右侧，距离x、y轴都是3个单位长度，
∴点B的坐标为（3，﹣3）；点B到原点的距离是＝3；
∵点C在y轴上，位于原点下方，距离原点2个单位长度；
∴点C的坐标为（0，﹣2）；
∵点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度点D的坐标为（4，0）；
线段CD的长度＝＝2，
故答案为：（﹣2，4），（3，﹣3），3，（0，﹣2），（4，0），2．
21．（6分）已知点A（5，a）与点B（5，﹣3）关于x轴对称，b为1+的小数部分，求
（1）a+b的值．
（2）化简+（+1）b﹣．
【分析】（1）先依据关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数可求得a的值，然后再估算出的大小，从而可求得b，最后进行计算即可；
（2）先将a、b的值代入，然后进行计算即可．
【解答】解：（1∵点A（5，a）与点B（5，﹣3）关于x轴对称，
∴a＝3．
∵1＜＜2，
∴b＝﹣1．
∴以a+b＝﹣1+3＝+2．
（2）将a、b的值代入得：原式＝+（+1）（﹣1）﹣＝2+2﹣1﹣＝+1．
22．（6分）为庆祝中华人民共和国成立70周年，某班计划在班级墙上挂两张大小不同的正方形壁画，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2.如果再用金丝线把壁画的边镶上会更漂亮，现在有长1.8m的金丝线，请你帮助算一算，他的金丝线够用吗？如果不够，还需买多长的金丝线？（结果保留整数）
【分析】先计算出两个正方形的边，再得到两个正方形的周长，然后与1.8m进行大小比较即可．
【解答】解：镶壁画所用的金色彩带的长为：≈197.96（cm），
因为1.8m＝180cm＜197.96cm，
所以小号的金色彩带不够用﹣180＝17.96≈78（cm），即还需买18cm的金色彩带．
23．（7分）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证：EC＝BD；
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【分析】①通过AAS证得△CAE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等证得结论；
②利用等面积法证得勾股定理．
【解答】①证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCD＝90°．
∵∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD．
在△AEC与△BCD中，
∴△CAE≌△BCD（AAS）．
∴EC＝BD；
②解：由①知：BD＝CE＝a
CD＝AE＝b
∴S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）
＝a2+ab+b2．
又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC
＝ab+ab+c2
＝ab+c2．
∴a2+ab+b2＝ab+c2．
整理，得a2+b2＝c2．
24．（7分）如图，在10×8的方格内取A，B，C，D四个格点，使AB＝BC＝2CD＝4，P是线段BC上的动点，连接AP，DP．
（1）设BP＝a，CP＝b，用含字母a，b的代数式分别表示线段AP，DP的长；
（2）设k＝AP+DP，k是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别用x表示出BP、CD的长度，再根据勾股定理求出AP、DP的长即可；
（2）作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，再由对称的性质及勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）由题意结合图形知：
∵AB＝BC＝2CD＝4，BP＝a，CP＝b，
∴AP＝＝，PD＝＝；
（2）存在．
如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′D交BC于P，
则此时，k存在最小值，
过A′作A′E⊥CD交DC的延长线于E，
∴A′E＝4，DE＝6，
则A′D＝＝＝2，
∴最小值为2．
25．（8分）问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
【分析】（1）△ABC的面积＝3×3﹣1×2÷2﹣1×3÷2﹣2×3÷2＝3.5；
（2）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；2a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边；a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．
【解答】解：（1）；
（2）如图：
S△ABC＝2a×4a﹣a×2a﹣×2a×2a﹣＝3a2；
（3）解：构造△ABC所示，
S△ABC＝3m×4n﹣﹣×3m×2n×2m×2n
＝5mn．
1．（2分）下列实数中是无理数的是（ ）
A．B．C．πD．
2．（2分）要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x＞0B．x≥0C．x≠0D．x＜0
3．（2分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，这一过程中汽车的行驶速度v和行驶时间t之间的关系用图象表示，其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）估算的值是在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
5．（2分）已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＞0，则点M的位置一定在（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第一、三象限D．第一、四象限
6．（2分）已知+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2019的值为（ ）
A．﹣1B．1C．32019D．﹣32019
7．（2分）下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三角形三边分别是3，4，5
B．三角形三内角之比为1：2：3
C．三角形三内角中有两个角互余
D．三角形三边之比为2：3：4
8．（2分）如图，在5×5的正方形网格中，小正方形的边长都是1，小正方形的顶点为格点，若格点Q与P的距离为x，如果x2＝10，那么这样的点Q个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
10．（2分）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，计18分；请将答案填在答题卡的相应位置．）
11．（3分）在实数0，﹣1，1，﹣中，最小的数是 ．
12．（3分）点（﹣1，2）关于原点对称的坐标点是 ．
13．（3分）一只蚂蚁由（0，0）先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位长度，它所在位置的坐标是 ．
14．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为 ．
15．（3分）有一个长为12cm，宽为4cm，高为3cm的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铅笔，则铅笔最长是 ．
16．（3分）如图，数轴上点A、B对应的数分别是1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径作圆弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，当点M在点B的右侧时，点M对应的数是 ．
三、解答题：（本大题共9小题，计62分．请将解答过程写在答题卡的相应位置.）
17．（6分）计算：
（1）（+）；
（2）（﹣）2．
18．（10分）计算下列各题：
（1）；
（2）．
19．（6分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点在网格线的交点的三角形）△ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并分别写出点A1、B1、C1的坐标．
20．（6分）如图，在所给的平面直角坐标系中描出下列各点：
①点A在x轴上方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度；
②点B在x轴下方，y轴右侧，距离x、y轴都是3个单位长度；
③点C在y轴上，位于原点下方，距离原点2个单位长度；
④点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度．
填空：点A的坐标为 ；点B的坐标为 ；
点B到原点的距离是 ；点C的坐标为 ；
点D的坐标为 ；线段CD的长度为 ．
21．（6分）已知点A（5，a）与点B（5，﹣3）关于x轴对称，b为1+的小数部分，求
（1）a+b的值．
（2）化简+（+1）b﹣．
22．（6分）为庆祝中华人民共和国成立70周年，某班计划在班级墙上挂两张大小不同的正方形壁画，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2.如果再用金丝线把壁画的边镶上会更漂亮，现在有长1.8m的金丝线，请你帮助算一算，他的金丝线够用吗？如果不够，还需买多长的金丝线？（结果保留整数）
23．（7分）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证：EC＝BD；
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
24．（7分）如图，在10×8的方格内取A，B，C，D四个格点，使AB＝BC＝2CD＝4，P是线段BC上的动点，连接AP，DP．
（1）设BP＝a，CP＝b，用含字母a，b的代数式分别表示线段AP，DP的长；
（2）设k＝AP+DP，k是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
25．（8分）问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
2019-2020学年福建省三明市泰宁县八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题2分，计20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂）
1．（2分）下列实数中是无理数的是（ ）
A．B．C．πD．
【分析】根据有理数包括整数和分数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，找出其中无理数即可解答．
【解答】解：A.，是整数，属于有理数；
B.是分数，属于有理数；
C．π是无理数；
D.，是整数，属于有理数．
故选：C．
2．（2分）要使二次根式有意义，字母x必须满足的条件是（ ）
A．x＞0B．x≥0C．x≠0D．x＜0
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x≥0．
故选：B．
3．（2分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，这一过程中汽车的行驶速度v和行驶时间t之间的关系用图象表示，其图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据加速行驶，速度随时间的增加而增加，匀速行驶，速度不变；减速行驶，速度随时间的增加而减少，可得答案．
【解答】解：由题意，得
加速行驶速度增加，匀速行驶速度不变，减速行驶速度减少，故B符合题意；
故选：B．
4．（2分）估算的值是在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【分析】直接利用估算无理数的方法得出＜＜，进而得出答案．
【解答】解：∵＜＜，
∴的值是在2和3之间．
故选：B．
5．（2分）已知直角坐标系内有一点M（a，b），且ab＞0，则点M的位置一定在（ ）
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第一、三象限D．第一、四象限
【分析】根据有理数的乘法，可得a，b同号，根据坐标轴的特点，可得答案．
【解答】解：∵ab＞0，
∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，
∴点M的位置一定在第一、三象限．
故选：C．
6．（2分）已知+|b﹣1|＝0，那么（a+b）2019的值为（ ）
A．﹣1B．1C．32019D．﹣32019
【分析】直接利用绝对值以及二次根式的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵+|b﹣1|＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得：a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2019＝﹣1．
故选：A．
7．（2分）下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三角形三边分别是3，4，5
B．三角形三内角之比为1：2：3
C．三角形三内角中有两个角互余
D．三角形三边之比为2：3：4
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理逐个判断即可．
【解答】解：A．∵32+42＝52，
∴以3、4、5为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵三角形三内角之比为1：2：3，三角形的三内角度数和是180°，
∴三角形的最大角的度数是×180°＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵三角形三内角中两个角互余，
∴第三个角的度数是180°﹣90°＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵三角形三边之比为2：3：4，
∴此三角形的最大角的度数是×180°＝80°
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
8．（2分）如图，在5×5的正方形网格中，小正方形的边长都是1，小正方形的顶点为格点，若格点Q与P的距离为x，如果x2＝10，那么这样的点Q个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】画一个直角边分别为1、3的直角三角形，斜边即为所求的线段
【解答】解：∵12+32＝10＝x2，
∴符合条件的点如图所示，共有4个，
故选：C．
9．（2分）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．
【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（2，3），
∴PQ＝2，OQ＝3，
∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，
∴点P′的坐标为（3，﹣2）．
故选：D．
10．（2分）在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】观察图形根据勾股定理的几何意义，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．
【解答】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2＝1，S2+S3＝2，S3+S4＝3，S1+S2+S3+S4＝4，故选A．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，计18分；请将答案填在答题卡的相应位置．）
11．（3分）在实数0，﹣1，1，﹣中，最小的数是 ﹣ ．
【分析】根据实数的大小比较法则即可求出答案．
【解答】解：﹣＜﹣1＜0＜1，
故答案为：﹣．
12．（3分）点（﹣1，2）关于原点对称的坐标点是 （1，﹣2） ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：点（﹣1，2）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
13．（3分）一只蚂蚁由（0，0）先向上爬4个单位长度，再向右爬3个单位长度，它所在位置的坐标是 （3，4） ．
【分析】此题可按照蚂蚁爬行的方向来确定点的坐标，具体方法是“右加左减，上加下减”．
【解答】解：先向上爬4个单位长度，得（0，4）；
再向右爬3个单位长度，得（3，4）．
故答案为：（3，4）．
14．（3分）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为 3 ．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据正方形的面积公式计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，BC＝＝，
∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3，
故答案为：3．
15．（3分）有一个长为12cm，宽为4cm，高为3cm的长方形铁盒，在其内部要放一根笔直的铅笔，则铅笔最长是 13cm ．
【分析】本题根据题目中所给的信息，可以构造出直角三角形，再利用勾股定理解答即可．
【解答】解：铅笔的长为＝＝13cm．
故答案为：13cm．
16．（3分）如图，数轴上点A、B对应的数分别是1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径作圆弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，当点M在点B的右侧时，点M对应的数是 ．
【分析】先依据勾股定理可求得OC的长，从而得到OM的长，于是可得到点M对应的数．
【解答】解：由题意得可知：OB＝2，BC＝1，
依据勾股定理可知：OC＝＝．
∴OM＝．
故答案为：．
三、解答题：（本大题共9小题，计62分．请将解答过程写在答题卡的相应位置.）
17．（6分）计算：
（1）（+）；
（2）（﹣）2．
【分析】（1）先化简二次根式，再计算括号内二次根式的加法，最后计算乘法即可；
（2）利用完全平方公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝×（2+）
＝×3
＝6；
（2）原式＝（）2﹣2××+（）2
＝5﹣2+3
＝8﹣2．
18．（10分）计算下列各题：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用乘法公式结合二次根式的性质计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘法运算法则计算，进而合并同类二次根式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝（）2﹣（）2+2
＝5﹣7+2
＝0；
（2）原式＝×﹣2×﹣6×
＝3﹣6﹣3
＝﹣6．
19．（6分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点在网格线的交点的三角形）△ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并分别写出点A1、B1、C1的坐标．
【分析】（1）直接利用A，C点坐标得出原点位置进而作出平面直角坐标系；
（2）直接利用关于y轴对称点的性质得出各点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：；
（2）如图所示：A1（4，5），B1（2，1），C1（1，3）．
20．（6分）如图，在所给的平面直角坐标系中描出下列各点：
①点A在x轴上方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度；
②点B在x轴下方，y轴右侧，距离x、y轴都是3个单位长度；
③点C在y轴上，位于原点下方，距离原点2个单位长度；
④点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度．
填空：点A的坐标为 （﹣2，4） ；点B的坐标为 （3，﹣3） ；
点B到原点的距离是 3 ；点C的坐标为 （0，﹣2） ；
点D的坐标为 （4，0） ；线段CD的长度为 2 ．
【分析】由题意可知点A在第二象限，再根据距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度即可求出其坐标；；
由题意可知点B在第四象限，再根据距离每条坐标轴都是3个单位长度即可求出其坐标；
由题意可知点C的横坐标为0，再根据位于原点下方，距离原点2个单位长度即可求出其坐标；
由题意可知点D的纵坐标为0，再根据位于原点右侧，距离原点4个单位长度即可求出其坐标；
根据勾股定理可得线段CD的长度．
【解答】解：如图，
∵点A在x轴上方，y轴左侧，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，
∴点A的坐标为（﹣2，4）；
∵点B在x轴下方，y轴右侧，距离x、y轴都是3个单位长度，
∴点B的坐标为（3，﹣3）；点B到原点的距离是＝3；
∵点C在y轴上，位于原点下方，距离原点2个单位长度；
∴点C的坐标为（0，﹣2）；
∵点D在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度点D的坐标为（4，0）；
线段CD的长度＝＝2，
故答案为：（﹣2，4），（3，﹣3），3，（0，﹣2），（4，0），2．
21．（6分）已知点A（5，a）与点B（5，﹣3）关于x轴对称，b为1+的小数部分，求
（1）a+b的值．
（2）化简+（+1）b﹣．
【分析】（1）先依据关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数可求得a的值，然后再估算出的大小，从而可求得b，最后进行计算即可；
（2）先将a、b的值代入，然后进行计算即可．
【解答】解：（1∵点A（5，a）与点B（5，﹣3）关于x轴对称，
∴a＝3．
∵1＜＜2，
∴b＝﹣1．
∴以a+b＝﹣1+3＝+2．
（2）将a、b的值代入得：原式＝+（+1）（﹣1）﹣＝2+2﹣1﹣＝+1．
22．（6分）为庆祝中华人民共和国成立70周年，某班计划在班级墙上挂两张大小不同的正方形壁画，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2.如果再用金丝线把壁画的边镶上会更漂亮，现在有长1.8m的金丝线，请你帮助算一算，他的金丝线够用吗？如果不够，还需买多长的金丝线？（结果保留整数）
【分析】先计算出两个正方形的边，再得到两个正方形的周长，然后与1.8m进行大小比较即可．
【解答】解：镶壁画所用的金色彩带的长为：≈197.96（cm），
因为1.8m＝180cm＜197.96cm，
所以小号的金色彩带不够用﹣180＝17.96≈78（cm），即还需买18cm的金色彩带．
23．（7分）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证：EC＝BD；
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【分析】①通过AAS证得△CAE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等证得结论；
②利用等面积法证得勾股定理．
【解答】①证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE+∠BCD＝90°．
∵∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCD．
在△AEC与△BCD中，
∴△CAE≌△BCD（AAS）．
∴EC＝BD；
②解：由①知：BD＝CE＝a
CD＝AE＝b
∴S梯形AEDB＝（a+b）（a+b）
＝a2+ab+b2．
又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC
＝ab+ab+c2
＝ab+c2．
∴a2+ab+b2＝ab+c2．
整理，得a2+b2＝c2．
24．（7分）如图，在10×8的方格内取A，B，C，D四个格点，使AB＝BC＝2CD＝4，P是线段BC上的动点，连接AP，DP．
（1）设BP＝a，CP＝b，用含字母a，b的代数式分别表示线段AP，DP的长；
（2）设k＝AP+DP，k是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别用x表示出BP、CD的长度，再根据勾股定理求出AP、DP的长即可；
（2）作点A关于BC的对称点A′，连接A′D，再由对称的性质及勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）由题意结合图形知：
∵AB＝BC＝2CD＝4，BP＝a，CP＝b，
∴AP＝＝，PD＝＝；
（2）存在．
如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′D交BC于P，
则此时，k存在最小值，
过A′作A′E⊥CD交DC的延长线于E，
∴A′E＝4，DE＝6，
则A′D＝＝＝2，
∴最小值为2．
25．（8分）问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为、、（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积；
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为、、（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
【分析】（1）△ABC的面积＝3×3﹣1×2÷2﹣1×3÷2﹣2×3÷2＝3.5；
（2）a是直角边长为a，2a的直角三角形的斜边；2a是直角边长为2a，2a的直角三角形的斜边；a是直角边长为a，4a的直角三角形的斜边，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；
（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为m，4n的直角三角形的斜边；直角边长为3m，2n的直角三角形的斜边；直角边长为2m，2n的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．
【解答】解：（1）；
（2）如图：
S△ABC＝2a×4a﹣a×2a﹣×2a×2a﹣＝3a2；
（3）解：构造△ABC所示，
S△ABC＝3m×4n﹣﹣×3m×2n×2m×2n
＝5mn．
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