初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数综合与测试测试题

人教版九年级上册《二次函数》单元质量检测卷

一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．下列各式中，y是x的二次函数的是（   ）

A．y=     B．y=2x＋1    C．y=x2＋x－2      D．y2=x2＋3x

2．抛物线y=2x2＋1的顶点坐标是（   ）

A．(2，1)  B．(0，1)    C．(1，0)  D．(1，2)

3．二次函数y=ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是（   ）

A．－3  B．－1    C．2  D．3

4．抛物线y=x2－2x－3与x轴的交点个数是（   ）

A．0个  B．1个    C．2个  D．3个

5．下列函数中，当x>0时，y随x值的增大而先增大后减小的是（   ）

A．y=x2＋1  B．y=x2－1    C．y=(x＋1)2  D．y=－(x－1)2

6．二次函数y=ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：

二次函数图象的对称轴是（   ）

A．直线x=1  B．y轴

C．直线x=  D．直线x=－

7．如图，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（   ）

A．x＜－2    B．－2＜x＜4    C．x＞0    D．x＞4

8．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y=ax＋b的图象大致是（   ）

9．某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可卖出20件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价2元，每天可多卖出1件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（   ）

A．y=－x2＋10x＋1200(0＜x＜60)

B．y=－x2－10x＋1200(0＜x＜60)

C．y=－x2＋10x＋1250(0＜x＜60)

D．y=－x2－10x＋1250(x≤60)

10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2－2x，其对称轴与两段抛物线弧所围成的阴影部分的面积为（   ）

A．2          B．4             C．8             D．16

11．抛物线y=－x2＋6x－9的顶点为A，与y轴的交点为B，如果在抛物线上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是（   ）

A．(－6，0)  B．(6，0)  C．(－9，0)  D．(9，0)

12．如图是抛物线y1=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1，3)，与x轴的一个交点为B(4，0)，直线y2=mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点.

下列结论：

①2a＋b=0；

②abc＞0；

③方程ax2＋bx＋c=3有两个相等的实数根；

④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；

⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（   ）

A．①②③  B．①③④  C．①③⑤  D．②④⑤

二、填空题

13．当a=       时，函数y=(a－1)xa2＋1＋x－3是二次函数．

14．把二次函数y=x2－12x化为形如y=a(x－h)2＋k的形式为              .

15．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y=(x＋3)2－2的图象上两点，则y1       y2.

16．若抛物线y=x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为              .

17．教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=－(x－4)2＋3，由此可知铅球推出的距离是       m.

18．若函数y=(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为       .

三、解答题

19．二次函数的图象如图所示，求这条抛物线的解析式(结果化成一般式)．

20．已知△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20.写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长．

21.已知二次函数y=x2－6x＋8.

(1)将y=x2－6x＋8化成y=a(x－h)2＋k的形式；

(2)当0≤x≤4时，y的最小值是       ，最大值是       ；

(3)当y<0时，根据函数草图直接写出x的取值范围．

22.已知在平面直角坐标系内，抛物线y=x2＋bx＋6经过x轴上两点A，B，点B的坐标为(3，0)，与y轴相交于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)求△ABC的面积．

23．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间定价增加10x元(x为整数)．

(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；

(2)设宾馆每天的利润为w元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大？最大利润是多少？

24．已知抛物线y=x2－px＋－.

(1)若抛物线与y轴交点的坐标为(0，1)，求抛物线与x轴交点的坐标；

(2)证明：无论p为何值，抛物线与x轴必有交点．

25．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．

(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x的值；

(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．

26．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A(0，4)，B(1，0)，C(5，0)，其对称轴与x轴相交于点M.

(1)求抛物线的解析式和对称轴；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

1．C　2.B　3.D　4.C　5.D　6.A　7.B　8.A　9.A

10．B　11.D

12．C　解析：对于抛物线y1=ax2＋bx＋c(a≠0)，对称轴为直线x=－=1，∴2a＋b=0，①正确；由抛物线图象可知a＜0，c＞0，x=－＞0，∴b＞0，∴abc＜0，②错误；由抛物线y1=ax2＋bx＋c(a≠0)图象与y=3只有一个交点，∴方程ax2＋bx＋c=3有两个相等的实数根，③正确；设抛物线与x轴的另一个交点是(x2，0)，由抛物线的对称性可知=1，∴x2=－2，即抛物线与x轴的另一个交点是(－2，0)，④错误；通过函数图象可直接得到当1＜x＜4时，有y2＜y1，⑤正确．故选C.

13．－1　14.y=(x－6)2－36　15.>　16.y=x2－1

17．10　18.－1或2或1

19．解：由图象可知抛物线的顶点坐标为(1，4)，(1分)设此二次函数的解析式为y=a(x－1)2＋4.(3分)把点(3，0)代入解析式，得4a＋4=0，即a=－1.(7分)所以此函数的解析式为y=－(x－1)2＋4=－x2＋2x＋3.(10分)

20．解：y=x(20－x)=－x2＋10x.(4分)解方程48=－x2＋10x，得x1=12，x2=8，(9分)∴△ABC的面积为48时，BC的长为12或8.(10分)

21．解：(1)y=(x－3)2－1；(3分)

(2)－1(5分)　8(7分)

(3)2<x<4.(10分)

22．解：(1)把点B的坐标(3，0)代入抛物线y=x2＋bx＋6得0=9＋3b＋6，解得b=－5，(3分)∴抛物线的表达式为y=x2－5x＋6；(4分)

(2)∵抛物线的表达式y=x2－5x＋6，令y=0，即x2－5x＋6=0，解得x1=2，x2=3.令x=0，则y=6.∴A(2，0)，B(3，0)，C(0，6)．(8分)∴AB=1，OC=6，S△ABC=×1×6=3.(10分)

23．解：(1)y=50－x(0≤x≤50，x为整数)；(4分)

(2)w=(120＋10x－20)(50－x)=－10x2＋400x＋5000=－10(x－20)2＋9000.(8分)∵a=－10＜0，∴当x=20时，w取得最大值，最大值为9000.此时每个房间定价为120＋10x=320(元)．(11分)

答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元．(12分)

24．(1)解：对于抛物线y=x2－px＋－，将x=0，y=1代入得－=1，解得p=，∴抛物线的解析式为y=x2－x＋1.(2分)令y=0，得x2－x＋1=0，解得x1=，x2=2.(5分)则抛物线与x轴交点的坐标为与(2，0)；(6分)

(2)证明：∵Δ=p2－4=p2－2p＋1=(p－1)2≥0，∴无论p为何值，抛物线与x轴必有交点．(12分)

25．解：(1)根据题意，得(30－2x)x=72，解得x1=3，x2=12.∵30－2x≤18，∴x≥6，∴x=12；(4分)

(2)设苗圃园的面积为y，则y=x(30－2x)=－2x2＋30x.由题意得30－2x≥8，∴x≤11.由(1)可知x≥6，∴x的取值范围是6≤x≤11.(6分)∵a=－2＜0，对称轴为直线x=－=－=，∴当x=时，y取最大值，最大值为－2×＋30×=112.5；(9分)当x=11时，y取最小值，最小值为－2×112＋30×11=88.(11分)

答：当平行于墙的一边长不小于8米时，这个苗圃园的面积的最大值为112.5平方米，最小值为88平方米．(12分)

26．解：(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a(x－1)(x－5)，(1分)把点A(0，4)代入上式，得a=，∴y=(x－1)(x－5)=x2－x＋4=(x－3)2－，(3分)∴抛物线的对称轴是直线x=3；(4分)

(2)存在．(5分)理由如下：∵点A(0，4)，抛物线的对称轴是直线x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为(6，4)．(6分)如图①，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．(7分)设直线BA′的解析式为y=kx＋b，把A′(6，4)，B(1，0)代入得解得∴y=x－.(8分)∵点P的横坐标为3，∴y=×3－=，∴P；(9分)

(3)在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．(10分)设N点的横坐标为t，此时点N(t，t2－t＋4)(0＜t＜5)．如图②，过点N作NG∥y轴交AC于G，作AD⊥NG于D.(11分)由点A(0，4)和点C(5，0)可求出直线AC的解析式为y=－x＋4.则G(t，－t＋4)，此时NG=－t＋4－=－t2＋4t.∵AD＋CF=CO=5，∴S△ACN=S△ANG＋S△CGN=AD·NG＋NG·CF=NG·OC=××5=－2t2＋10t=－2＋.∴当t=时，△CAN面积的最大值为.(13分)当t=时，y=t2－t＋4=－3，∴N.