2020-2021年四川省江油市高一（下）3月月考数学（理）试卷人教A版

这是一份2020-2021年四川省江油市高一（下）3月月考数学（理）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下列说法中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.平行向量不一定是共线向量
C.对于任意向量a→，b→，必有a→+b→≤a→+b→
D.若a→，b→满足a→>b→且a→与b→同向，则a→>b→

2. 已知点A1,0，B3,2，向量AC→=2,1，则向量BC→=( )
A.0,−1B.1,−1C.(−7,−4)D.−1,0

3. 已知点A(1, 3)，B(4, −1)，则与向量AB→的方向相反的单位向量是( )
A.(−35, 45)B.(−45, 35)C.(35, −45)D.(45, −35)

4. 在正方形ABCD的边长为1，DE→=2EC→，DF→=12(DC→+DB→)，则BE→⋅DF→的值为( )
A.−56B.56C.−16D.16

5. 已知向量a→=(1,k)，b→=(2,2)，若a→+b→与a→共线，则a→在b→方向上的投影是( )
A.1B.−1C.2D.−2

6. 设向量a→=(2,1)，b→=(−3, 2)，若以下三个向量3a→，2b→−a→，c→首尾相接能构成三角形，则向量c→为( )
A.(2, 6)B.(−2, −6)C.(−2, 6)D.(2, −6)

7. 已知O是△ABC的重心，且OA→+2OB→+λBC→=0→，则实数λ=( )
A.3B.2C.1D.12

8. 在以下关于向量的命题中，不正确的是( )
A.若向量a→=(x, y)，向量b→=(−y, x)，(x，y≠0)，则a→⊥b→
B.平行四边形ABCD是菱形的充要条件是(AB→+AD→)(AB→−AD→)=0
C.点G是△ABC的重心，则GA→+GB→+CG→=0→
D.△ABC中，AB→和CA→的夹角等于180∘−A

9. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，且 AE→=ED→，若EB→=λAB→+μAC→，则λμ=( )
A.−3B.−13 C.3D.13

10. 已知△ABC满足AB→|AB→|−AC→|AC→|=kBC→ （其中k是常数），则△ABC的形状一定是( )
A.正三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形
二、多选题

已知向量a→=3,1，b→=csα,sinα，α∈0,π2，则下列结论正确的有( )
A.|b→|=1B.若a→//b→，则tanα=3
C.a→⋅b→的最大值为2D.|a→−b→|的最大值为3

已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足2PA→+PC→=0→，QA→=2QB→，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是( )
A.PB→//CQ→B.BP→=23BA→+13BC→
C.PA→⋅PC→<0D.S=2
三、填空题

设向量a→=(1,3)，b→=(−2,m)，若b→//a→，则m=________．

若向量a→=4e1→+2e2→，b→=ke1→+e2→共线，其中e1→，e2→是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________.

设非零向量a→，b→满足a→⊥(a→+b→)，且|b→|=2|a→|，则向量a→与b→的夹角为________．

已知△ABC中，∠BAC=60∘，AB=2，AC=4，E，F分别为BC边上三等分点，则AE→⋅AF→=________．
四、解答题

已知|a→|=2，|b→|=3，且(2a→−3b→)⋅(a→+b→)=2．
(1)求a→⋅b→的值；

(2)求a→与b→所成角的大小.

已知平面向量a→=(3, 2)，b→=(−1, 2)，c→=(4, 1)．
(1)求|2a→−c→|；

(2)若(a→+kc→) // (2b→−a→)，求实数k的值．

如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60∘，D为线段BC中点，E为线段AD中点．

(1)求AD→⋅BC→的值；

(2)求EB→，EC→夹角的余弦值．

如图所示，在△ABC中，点D为AB边的中点，点E为BC上靠近点B的三等分点，线段AE与CD交于点P．

(1)设AP→=mAB→+nAC→，求m−n的值；

(2)若AB=3，AC=2，∠BAC=2π3，求|CP→|．
参考答案与试题解析
2020-2021年四川省江油市高一（下）3月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
向量的模
平行向量的性质
单位向量
向量的物理背景与概念
【解析】

【解答】
解：对于A，单位向量模都相等，但方向不一定相同，故A错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故B错误；
对于C，若a→，b→同向共线，则|a→+b→|=|a→|+|b→|，
若a→，b→反向共线，则|a→+b→|<|a→|+|b→|，
若a→，b→不共线，则|a→+b→|<|a→|+|b→|，
综上所述，对于任意向量a→，b→，必有|a→+b→|≤|a→|+|b→|，故C正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故D错误.
故选C．
2.
【答案】
A
【考点】
平面向量的坐标运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 点A1,0，B3,2，AC→=2,1，
∴ BA→=(−2,−2)，
∴ BC→=BA→+AC→=(−2,−2)+(2,1)=(0,−1).
故选A.
3.
【答案】
A
【考点】
相等向量与相反向量
平面向量的坐标运算
向量的模
【解析】
利用与向量AB→的方向相反的单位向量=−AB→|AB→|即可得出．
【解答】
解：∵ 点A(1, 3)，B(4, −1)，
∴ AB→=(4, −1)−(1, 3)=(3, −4)，|AB→|=32+(−4)2=5，
∴ 与向量AB→的方向相反的单位向量为
−AB→|AB→|=−(3,−4)5=(−35,45)．
故选A.
4.
【答案】
A
【考点】
平面向量的坐标运算
平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】
画出图形，利用正方形的边角关系以及题目中的条件，代入向量计算即可．
【解答】
解：如图，分别以AB，AD为x轴，y轴建立直角坐标系，
则A0,0，B1,0，C1,1，D0,1，
∴ DC→=1,0，DB→=1,−1，
∵ DE→=2EC→，
∴ E23,1，
∴ BE→=−13,1，
∵ DF→=12(DC→+DB→)，
∴ DF→=1,−12，
∴ BE→⋅DF→=−13×1+1×−12=−56 ．
故选A．
5.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的运算
向量的共线定理
向量的模
向量的投影
【解析】
根据向量共线求出λ，再代入平面向量的投影公式计算．
【解答】
解：∵ a→=(1,k)，b→=(2,2)，
∴ a→+b→=(3,k+2)，
又a→+b→与a→共线，
∴ k+2=3k，
解得k=1，
∴ a→=(1,1)，a→⋅b→=2+2=4，
∴ a→在b→方向上的投影为a→⋅b→|b→|=422=2．
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
向量加减混合运算及其几何意义
向量的三角形法则
【解析】
向量首尾相连，构成封闭图形，则四个向量的和是零向量，用题目给出的三个点的坐标，再设出要求的坐标，写出首尾相连的四个向量的坐标，让四个向量相加结果是零向量，解出设的坐标．
【解答】
解：∵ 向量3a→，2b→−a→，c→首尾相接能构成三角形，
∴ 3a→+(2b→−a→)+c→=0→，
即c→=−2a→−2b→=(2,−6).
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量数乘的运算及其几何意义
【解析】
根据OA→+2OB→+λBC→=0→可得出OA→+(2−λ)OB→+λOC→=0→，而根据O为△ABC的重心即可得出OA→+OB→+OC→=0→，从而得出OB→+OC→=(2−λ)OB→+λOC→，这样即可求出λ的值．
【解答】
解：∵ OA→+2OB→+λBC→=OA→+2OB→+λ(OC→−OB→)
=OA→+(2−λ)OB→+λOC→=0→.
∵ O是△ABC的重心，
∴ OA→+OB→+OC→=0→，
∴ (2−λ)OB→+λOC→=OB→+OC→，
∴ 2−λ=1，λ=1，
∴ λ=1．
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积
向量的三角形法则
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
A：直接根据向量垂直的条件即可得；
B：要证明ABCD是菱形的充要条件是对角线AC→⊥BD→．(AB→+AD→)(AB→−AD→)=0，即证明：|AB→|=|AD→|即可；
C：先判断点G是△ABC的重心，则GA→+GB→+CG→=0→命题是否成立，结合向量的运算法则和几何意义，设G是△ABC的重心，由重心的性质得GA→=−2GD→，得出命题不成立．
D：根据向量夹角的定义可知其正确性．
【解答】
解：A：∵ a→=(x, y)，b→=(−y, x)，(x，y≠0)，
∴ a→⋅b→=−xy+xy=0，
∴ a→⊥b→，故A正确；
B：若平行四边形ABCD是菱形，则|AB→|=|AD→|，
∴ (AB→+AD→)(AB→−AD→)=0，即充分性成立，
若(AB→+AD→)(AB→−AD→)=0，
则|AB→|=|AD→|，
∴ 平行四边形ABCD是菱形，故B正确；
C：如图，
设G是△ABC的重心，则G是△ABC的三边中线的交点，
∴ GA→=−2GD→，
又−2GD→=−(GB→+GC→)，
∴ GA→+GB→+GC→=0，故C错误；
D：根据向量夹角的定义可知，在△ABC中，
AB→和CA→的夹角等于180∘−A，故D正确．
故选C．
9.
【答案】
A
【考点】
向量数乘的运算及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ AE→=ED→，
∴ E为AD中点，
∴ EB→=AB→−AE→
=AB→−12AD→
=AB→−12[12(AB→+AC→)]
=AB→−14AB→−14AC→
=34AB→−14AC→，
∴ λ=34，μ=−14，
∴ λμ=−3.
故选A.
10.
【答案】
C
【考点】
三角形的形状判断
平面向量数量积的运算
向量在几何中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图所示，
在边AB上取一点B′，使得AB′=1，在边AC上取点C′，使得AC′=1，
由题意，得AB→|AB→|=AB′→，AC→|AC→|=AC′→，
又AB′→−AC′→=C′B′→，
所以C′B′→=kBC→，
即BC//B′C′，
所以AB′AB=AC′AC，
所以AB′=AC′，
所以AB=AC，即△ABC为等腰三角形.
故选C.
二、多选题
【答案】
A,C
【考点】
平面向量数量积的运算
同角三角函数间的基本关系
三角函数的恒等变换及化简求值
向量的模
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：对于A，∵ b→=csα,sinα，
∴ |b→|=cs2α+sin2α=1，故A正确；
对于B，若a→//b→，则3sinα=csα，
∴ tanα=33，故B错误；
对于C，∵ a→=3,1，b→=csα,sinα，
∴ a→⋅b→=3csα+sinα=2sinα+π3，
又α∈0,π2，则α+π3∈π3,5π6，
∴ 当α+π3=π2时，a→⋅b→取得最大值，
此时a→⋅b→的最大值为2，故C正确；
对于D，|a→−b→|=3−csα2+1−sinα2
=5−2sinα−23csα=5−4sinα+π3，
又α∈0,π2，则α+π3∈π3,5π6，
∴ sinα+π3∈12,1，
∴ |a→−b→|max=5−4×12=3，故D错误．
故选AC．
【答案】
B,C,D
【考点】
平面向量数量积的运算
三角形的面积公式
向量加减混合运算及其几何意义
【解析】

【解答】
解：∵ 2PA→+PC→=0，QA→=2QB→，
∴ B是AQ的中点，P是AC的一个三等分点，如图，
∴ PB→与CQ→不平行，故A错误；
BP→=BA→+AP→=BA→+13(BC→−BA→)
=23BA→+13BC→，故B正确；
点P在AC上，PA→与PC→夹角为π，
则PA→⋅PC→<0，故C正确；
∵ S△ABC=3，
S△APQS△ABC=12×AB×13ℎ12AB⋅ℎ=23，
∴ S△APQ=S=2，故D正确.
故选BCD.
三、填空题
【答案】
−6
【考点】
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得1×m＝3×(−2)，变形可得m的值，即可得答案．
【解答】
解：∵ a→=(1,3)，b→=(−2,m)，b→//a→，
∴ 1×m−3×(−2)=0，
解得m=−6.
故答案为：−6.
【答案】
2
【考点】
平面向量的基本定理及其意义
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 向量a→，b→共线，
∴ 存在实数λ，使得b→=λa→，
即ke1→+e2→=λ4e1→+2e2→=4λe1→+2λe2→．
∵ e→1，e2→是同一平面内两个不共线的向量，
∴ k=4λ,1=2λ,
解得k=2.
故答案为：2.
【答案】
3π4
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算律
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
根据题意，设向量a→与b→的夹角为θ，|a→|=t，由向量垂直与向量数量积的关系，分析可得a→⋅(a→+b→)=a→2+a→⋅b→=0，整理可得t2+t×2t×csθ=0，解可得csθ的值，结合θ的范围，分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设向量a→与b→的夹角为θ，|a→|=t，
则|b→|=2|a→|=2t，
∵ 非零向量a→，b→满足a→⊥(a→+b→)，
∴ a→⋅(a→+b→)=a→2+a→⋅b→=0，
即t2+t×2t×csθ=0，
解得csθ=−22，
又0≤θ≤π，
∴ θ=3π4.
故答案为：3π4.
【答案】
203
【考点】
向量的三角形法则
平面向量数量积的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由向量的运算法则，得AE→=AB→+13BC→
=AB→+13AC→−AB→=23AB→+13AC→，
AF→=AB→+23BC→=AB→+23AC→−AB→=13AB→+23AC→，
所以AE→⋅AF→=23AB→+13AC→13AB→+23AC→
=29AB→2+59AB→⋅AC→+29AC→2
=29×4+59×2×4cs60∘+29×16=609=203．
故答案为：203．
四、解答题
【答案】
解：(1)∵ (2a→−3b→)⋅(a→+b→)=2，
∴ 2|a→|2+2a→⋅b→−3a→⋅b→−3|b→|2=2，
又|a→|=2，|b→|=3，
∴ 2×4−a→⋅b→−3×3=2，
∴ a→⋅b→=−3.
(2)由题意，设a→与b→所成角为α，
由(1)可知，a→⋅b→=−3，
∵ |a→|=2，|b→|=3，
∴ csα=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=−32×3=−32，
又α∈0,π，
∴ α=5π6.
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算律
数量积表示两个向量的夹角
【解析】

（1）先求出a→⋅b→，再根据夹角公式即可求出；
【解答】
解：(1)∵ (2a→−3b→)⋅(a→+b→)=2，
∴ 2|a→|2+2a→⋅b→−3a→⋅b→−3|b→|2=2，
又|a→|=2，|b→|=3，
∴ 2×4−a→⋅b→−3×3=2，
∴ a→⋅b→=−3.
(2)由题意，设a→与b→所成角为α，
由(1)可知，a→⋅b→=−3，
∵ |a→|=2，|b→|=3，
∴ csα=a→⋅b→|a→|⋅|b→|=−32×3=−32，
又α∈0,π，
∴ α=5π6.
【答案】
解：(1)∵ a→=(3, 2)，c→=(4, 1)，
∴ 2a→−c→=(2×3−4,2×2−1)=(2, 3)，
∴ |2a→−c→|=22+32=13．
(2)∵ a→=(3, 2)，b→=(−1, 2)，c→=(4, 1)，
∴ a→+kc→=(3+4k, 2+k)，
2b→−a→=(−5, 2)，
又(a→+kc→) // (2b→−a→)，
∴ 2(3+4k)=−5(2+k)，
解得k=−1613．
【考点】
向量的模
平面向量数量积
平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
（1）由向量a→、b→求出2b→−a→，计算|2b→−a→|即可；
（2）求出a→+kc→、2b→−a→，由(a→+kc→) // (2b→−a→)列出坐标表示，求出k的值．
【解答】
解：(1)∵ a→=(3, 2)，c→=(4, 1)，
∴ 2a→−c→=(2×3−4,2×2−1)=(2, 3)，
∴ |2a→−c→|=22+32=13．
(2)∵ a→=(3, 2)，b→=(−1, 2)，c→=(4, 1)，
∴ a→+kc→=(3+4k, 2+k)，
2b→−a→=(−5, 2)，
又(a→+kc→) // (2b→−a→)，
∴ 2(3+4k)=−5(2+k)，
解得k=−1613．
【答案】
解：(1)∵ AB=2，AC=4，∠BAC=60∘，
∴ △ABC为直角三角形， BC=23，如图建立直角坐标系，
则B0,0，A(0,2)，C23,0，
∵ D为BC的中点，
∴ D3,0，
∴ AD→=3,−2，BC→=23,0，
∴ AD→⋅BC→=3×23=6．
(2)由E为线段AD中点可知E32,1，
∴ EB→=−32,−1，EC→=332,−1，
∴ cs⟨EB→,EC→⟩=EB→⋅EC→|EB→||EC→|
=−32×332+1×1(−32)2+(−1)2⋅3322+(−1)2
=5217．
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量数量积的运算
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ AB=2，AC=4，∠BAC=60∘，
∴ △ABC为直角三角形， BC=23，如图建立直角坐标系，
则B0,0，A(0,2)，C23,0，
∵ D为BC的中点，
∴ D3,0，
∴ AD→=3,−2，BC→=23,0，
∴ AD→⋅BC→=3×23=6．
(2)由E为线段AD中点可知E32,1，
∴ EB→=−32,−1，EC→=332,−1，
∴ cs⟨EB→,EC→⟩=EB→⋅EC→|EB→||EC→|
=−32×332+1×1(−32)2+(−1)2⋅3322+(−1)2
=5217．
【答案】
解：(1)如图所示，
过点D作DF//BE，交AE于点F，
则DF是△ABE的中位线，
所以AF=FE，DF=12BE.
又因为CE=2BE，
所以DF=14CE，
所以FP=14EP，
所以AF:FP:PE=5:1:4，
所以AP→=35AE→=35AB→+BE→，
=35AB→+15BC→
=35AB→+15AC→−AB→，
=25AB→+15AC→，
所以m=25，n=15，
所以m−n=15．
(2)由(1)中的分析可知，DP=14PC，
所以CP→=45CD→=45CA→+25AB→=25AB→−45AC→，
所以|CP→|2=25AB→−45AC→2
=425|AB→|2−1625AB→⋅AC→+1625|AC→|2
=425×9−1625×3×2×−12+1625×4=14825.
所以|CP→|=2375.
【考点】
向量的线性运算性质及几何意义
向量的加法及其几何意义
平面向量数量积的运算
【解析】
（1）本题考查平面向量的线性运算和数量积运算．
（2）本题考查平面向量的线性运算和数量积运算
【解答】
解：(1)如图所示，
过点D作DF//BE，交AE于点F，
则DF是△ABE的中位线，
所以AF=FE，DF=12BE.
又因为CE=2BE，
所以DF=14CE，
所以FP=14EP，
所以AF:FP:PE=5:1:4，
所以AP→=35AE→=35AB→+BE→，
=35AB→+15BC→
=35AB→+15AC→−AB→，
=25AB→+15AC→，
所以m=25，n=15，
所以m−n=15．
(2)由(1)中的分析可知，DP=14PC，
所以CP→=45CD→=45CA→+25AB→=25AB→−45AC→，
所以|CP→|2=25AB→−45AC→2
=425|AB→|2−1625AB→⋅AC→+1625|AC→|2
=425×9−1625×3×2×−12+1625×4=14825.
所以|CP→|=2375.