高中数学人教版新课标A必修22.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案及反思

2.3.3　直线与平面垂直的性质

Q

海底气油开采是一项技术难度很大的工程，首先要在海平面以上搭建作业平台并耸立钻塔．图中钻塔所在直线与作业平台所在平面有何关系？

X

直线与平面垂直的性质定理

Y

1．从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　B　)

A．相交　　　　　　　 B．平行

C．异面  D．相交或平行

[解析]　由直线与平面垂直的性质定理可知，这条垂线与圆柱的母线所在直线平行．

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线l⊥平面A1C1，则有(　B　)

A．B1B⊥l  B．B1B∥l

C．B1B与l异面  D．B1B与l相交

[解析]　因为B1B⊥平面A1C1，又l⊥平面A1C1，则l∥B1B．

3．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是(　D　)

A．相交  B．平行

C．异面  D．不确定

[解析]　∵AD∥BC，∴梯形ABCD确定一个平面α．

∵l⊥AB，l⊥CD，AB和CD相交．

∴l⊥α.由于AD∥BC，m⊥AD，m⊥BC

则m⊥α或m∥α或m⊂α或m与α相交

则l∥m或l与m异面或l与m相交．

4．在三棱锥V－ABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件__VC⊥VA，VC⊥VB(答案不惟一)__时，有VC⊥AB．(注：填上你认为正确的一种条件即可)

[解析]　∵VC⊥VA，VC⊥VB，VA∩VB＝V

∴VC⊥平面VAB，∴VC⊥AB．

H

命题方向1　⇨利用线面垂直的性质证明平行问题

典例1 如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.

[思路分析]　要证明EF∥BD1，转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C．

[解析]　如图所示，连接AB1，B1C，BD．因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以DD1⊥AC．

又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1．

又BD1⊂平面BDD1，所以AC⊥BD1．

同理可证BD1⊥B1C．

又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C．

因为EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C．

又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C．

所以EF∥BD1．

『规律方法』　当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．

〔跟踪练习1〕 

如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a⊂β，a⊥AB．求证：a∥l．

[解析]　∵EB⊥β，a⊂β，∴EB⊥a．

又∵a⊥AB，AB∩EB＝B，

∴a⊥平面ABE．

∵α∩β＝l，∴l⊂α，l⊂β．

∵EA⊥α，EB⊥β，

∴EA⊥l，EB⊥l．

又∵EA∩EB＝E，

∴l⊥平面ABE．

∴a∥l.

命题方向2　⇨利用线面垂直的性质证明垂直问题

典例2 已知α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R.

求证：QR⊥AB．

[思路分析]　证AB与QR所在的平面垂直，再根据线面垂直的定义，即可证明QR⊥AB．

[解析]　如图所示，因为α∩β＝AB，PO⊥β于O，所以PO⊥AB．

因为PQ⊥α于Q，所以PQ⊥AB．

因为PO∩PQ＝P，

所以AB⊥平面PQO．

因为OR⊥α于R，所以PQ∥OR．

因为PQ与OR确定平面PQRO．

又因为QR⊂平面PQRO，AB⊥平面PQRO，所以AB⊥QR．

『规律方法』　要证线线垂直，只需证线面垂直，可利用线面垂直的定义或判定定理证明，从而得出所需结论．因此，在解题时，要充分体现线面关系的相互转化在解题中的灵活应用．

〔跟踪练习2〕 

如图，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于E，EF⊥SC于F．

(1)求证：AF⊥SC；

(2)若SD交平面AEF于G，求证：AG⊥SD．

[解析]　(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC．

因为ABCD是矩形，所以AB⊥BC．

又SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB．因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE．

又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC．

因为SC⊂平面SBC，所以AE⊥SC．

又EF⊥SC，EF∩AE＝E，所以SC⊥平面AEF．

所以AF⊥SC．

(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．

又AD⊥DC，SA∩AD＝A，所以DC⊥平面SAD．因为AG⊂平面SAD，所以DC⊥AG．

又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF．

所以SC⊥AG.又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC．因为SD⊂平面SCD，

所以AG⊥SD．

Y 　推理过程不严密，张冠李戴，理由与结论衔接不恰当

典例3 已知a⊄α，a⊥b，b⊥α，求证a∥α.

[错解]　∵b⊥α，a⊥b，∴a⊂α或a∥α．

又∵a⊄α，∴a∥α．

[错因分析]　推理过程逻辑不严密，理由与结论衔接不恰当．

[思路分析]　本题垂直关系比较分散，不能按平面几何的方法进行论证，应将其集中到一个平面内，然后用平面几何知识解决．

[正解]　如图，在a上任取一点A，过点A作直线b′∥b.设b′∩α＝B，过直线a，b′作平面β，β∩α＝l．

∵b⊥α，∴b⊥l．

又∵b⊥a，b∥b′，∴b′⊥a，b′⊥l．

又∵a，l同在β内，∴a∥l．

又∵a⊄α，l⊂α，∴a∥α．

〔跟踪练习3〕 

如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于E，F，G．

求证：AE⊥SB．

[解析]　因为SA⊥平面ABCD，

所以SA⊥BC．

因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC．

因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB．

因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE．

因为SC⊥平面AGFE，所以SC⊥AE．

又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC．

而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB．

X 　转化思想在线线、线面垂直中的应用

典例4 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．

(1)已知AB＝BC，AE＝EC．求证：AC⊥FB；

(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC．

[解析]　(1)连接ED，因为AB＝BC，AE＝EC，D为AC的中点，

所以AC⊥DE，AC⊥DB，DE∩DB＝D，又EF∥DB，所以E，F，B，D四点共面，所以AC⊥平面EFBD，所以AC⊥FB．

(2)取FC中点I，连接GI，HI，则有GI∥EF，HI∥BC，又EF∥DB，所以GI∥BD，又GI∩HI＝I，BD∩BC＝B，所以，平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GN∥平面ABC．

〔跟踪练习4〕 

如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．

求证：(1)DF∥平面ABC；(2)AF⊥BD．

[解析]　(1)取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝AE．

∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，∴CD∥AE．

又∵CD＝AE，∴FG∥CD，FG＝CD．

∵FG⊥平面ABC，∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG

又CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，

∴DF∥平面ABC．

(2)由(1)知CG⊥GF，又CG⊥AB，

∴CG⊥平面ABE，∴CG⊥AF，DF∥CG，∴AF⊥DF，

在Rt△ABE中，AE＝AD，F为AE中点，

AF⊥BE，∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD．

K

1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　B　)

A．相交　　 B．平行　　

C．异面　　 D．不确定

[解析]　∵AB ⊂α，AC⊂α，

l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC＝A，∴l⊥α．

又∵BC⊂α，m⊥BC，m⊥AC，

BC∩BC＝C，∴m⊥α，∴l∥m．

2．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝__6__.

[解析]　因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6．

3．如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB．

求证：a∥l.

[证明]　∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l，同理PB⊥l．

∵PA∩PB＝P，∴l⊥平面PAB．

∵PA⊥α，a⊂α

∴PA⊥a．

∵a⊥AB，PA∩AB＝A，

∴a⊥平面PAB．

∴a∥l．