专题19 代数压轴题-2019学年-2020学年浙江省七年级上学期期末数学试题分类汇编

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专题19 代数压轴题
1．（2020秋•西湖区期末）如图，数轴上有A，B两点，表示的有理数分别为a，b，已知AB＝12，且OA＝5OB．
（1）求a，b的值．
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动，2OP﹣OQ＝3．
（3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，以每秒3个单位长度的速度也向数轴正方向匀速运动，当点M追上点Q后立即返回，遇到点P后点M就停止运动．求点M停止时，点M在数轴上所对应的数．

【解答】解：（1）∵AB＝12，AO＝5OB，
∴AO＝10，OB＝2，
∴A点所表示的数为﹣10，B点所表示的数为2，
∴a＝﹣8，b＝4．
故答案为：﹣5；4；
（2）当0＜t＜3时，如图1，

AP＝2t，OP＝10﹣6t，OQ＝2+t，
∵2OP﹣OQ＝4，
∴2（10﹣2t）﹣（5+t）＝3，
解得t＝3，
当点P与点Q重合时，如图7，

2t＝12+t，
解得t＝12，
当5＜t＜12时，如图2，

OP＝2t﹣10，OQ＝2+t，
则5（2t﹣10）﹣（2+t）＝8，
解得t＝8，
综上所述，当t为3或8时；
（3）设点M运动的时间为t秒，
点M追上点Q，
3（t﹣）＝2+t，
解得t＝6，
∴OP＝6（t﹣5）＝2，
此时OM＝4（t﹣）＝8；
点P与点M相遇时，
8t+3t＝6，
解得t＝6.2，
此时OM＝8﹣3×1.2＝2.4．
故点M停止时，点M在数轴上所对应的数是4.5．
2．（2020秋•青田县期末）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2cm到达A点，然后向右移动9cm到达C点．
（1）用1个单位长度表示1cm，请你在数轴上表示出A、B、C三点的位置；

（2）把点C到点A的距离记为CA，则CA＝　6　cm．
（3）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A、C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒，试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由．
【解答】解：（1）如图：

（2）CA＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6cm；
（3）不变，理由如下：
当移动时间为t秒时，
点A、B、C分别表示的数为﹣8+t、4+4t，
则CA＝（6+4t）﹣（﹣2+t）＝3+3t，AB＝（﹣2+t）﹣（﹣2﹣2t）＝3+2t，
∵CA﹣AB＝（6+3t）﹣（7+3t）＝3
∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而改变．
故答案为：（2）4
3．（2020秋•东阳市期末）整体思考是一种重要的解决数学问题的策略．例如：
已知当x＝1时，代数式ax3+bx﹣1的值为2021，则当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+1的值是多少？
解：∵当x＝1时，代数式ax3+bx﹣1的值为2021，
∴a+b﹣1＝2021．
∴a+b＝2022．
当x＝﹣1时，
ax3+bx+1＝a×（﹣1）3+b×（﹣1）+1＝﹣（a+b）+1＝﹣2022+1＝﹣2021．
请认真阅读上面例题的解答过程，完成下面问题．
（1）若x2+3x＝2，则2x2+6x﹣1＝　3　．
（2）已知m2﹣n2＝4，mn﹣n2＝1，求m2﹣2mn+n2的值．
（3）A，B两地相距60千米，甲、乙两人同时从A，相向而行．甲每小时行a千米，乙每小时行b千米
【解答】解：（1）∵x2+3x＝6，
∴原式＝2（x2+8x）﹣1＝4﹣5＝3；
故答案为：3；
（2）∵m6﹣n2＝4，mn﹣n6＝1，
∴m2﹣5mn+n2＝（m2﹣n7）﹣2（mn﹣n2）＝4﹣2＝2；
（3）设甲、乙两人出发x小时相距20千米，
根据题意得：2（a+b）＝60，即a+b＝30，
①x（a+b）＝60﹣20，
解得：x＝；
②x（a+b）＝60+20，
解得：x＝，
答：甲、乙两人出发或．
4．（2020秋•衢州期末）【阅读理解】甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，甲骑自行车，沿同一条路线相向匀速行驶，出发后经过0.4小时相遇，相遇后经0.1小时乙到达A地．问甲、乙两人的速度分别是多少？
分析可以用示意图来分析本题中的数量关系．

从图中可得如下的相等关系，
甲行驶0.4小时的路程＝乙行驶0.1小时路程，
甲行驶0.4小时的路程+14.4＝乙行驶0.4小时的路程．
根据这两个相等关系，可得到甲、乙速度的关系，设元列出方程．
【问题解决】请你列方程解答【阅读理解】中的问题．
【能力提升】对于上题，若乙出发0.2小时后行驶速度减少10千米/小时，问甲出发后经多少小时两人相距2千米？
【解答】解：【问题解决】设甲的速度是x千米/小时，则乙的速度是4x千米/小时
0.2x+14.4＝0.7×4x，
解得x＝12，
则4x＝6×12＝48．
故甲的速度是12千米/小时，乙的速度是48千米/小时；
【能力提升】设甲出发后经t小时相距2千米，
（1）甲、乙两人相遇前两人相距2千米
12t+48×6.2+38（t﹣0.5）+2＝24，
解得t＝0.6；
（2）甲、乙两人相遇后相距2千米
12t+48×0.4+38（t﹣0.2）﹣3＝24，
解得t＝0.48．
故甲出发后经0.7或0.48小时两人相距2千米．
5．（2019秋•上城区期末）在数轴上点A表示整数a，且＜a＜，点B表示a的相反数．
（1）画数轴，并在数轴上标出点A与点B；
（2）点P，Q在线段AB上，且点P在点Q的左侧，Q两点沿数轴相向匀速运动，出发后经4秒两点相遇．已知在相遇时点Q比点P多行驶了3个单位，Q运动的速度分别是每秒多少个单位；
（3）在（2）的条件下，若点P从整数点出发（t是整数），将数轴折叠，使A点与B点重合，求P点的起始位置表示的数．
【解答】解：（1）数轴上点A表示整数a，且＜a＜，
∵＜＜，
∴a＝＝8，
∵点B表示a的相反数，
∴b＝﹣8，
如图7所示，

（2）如图2所示，

∵相遇时点Q比点P多行驶了3个单位，
∴得关系式：SQ＝SP+7，
∵出发后经4秒两点相遇，
相遇后经1秒点Q到达点P的起始位置，
∴Q的速度是P的速度的4倍，
∴设P的速度为x单位/秒，则Q的速度为4x单位/秒，
∴SP＝4x，SQ＝3×4x＝16x，
将SP＝4x，SQ＝2×4x＝16x，代入关系式SQ＝SP+3，得，
16x＝3x+3
解得x＝．
则Q的速度为4×＝1单位/秒．
答：点P，Q运动的速度分别是每秒．
（3）由（2）可知：
∵点P，Q运动的速度分别是每秒，
∴PQ＝（7+）×7＝5
由题意，折叠A，所以折点为AB的中点，即，
又∵P，Q运动t秒后，且折点为原点，
∴P，Q表示的数互为相反数，
设P从y点出发，则Q从（y+5）出发，
则P：y+t，Q：y+5﹣t，
∵P，Q互为相反数，
∴y+t+y+5﹣t＝5
解得y＝，
∵y，t均为整数，
∴ 或．
综上所述：P从﹣7或2出发满足条件．
6．（2019秋•萧山区期末）如图，在数轴上A点表示的数是﹣8，B点表示的数是2．动线段CD＝4（点D在点C的右侧），以每秒2个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．
（1）①已知点C表示的数是﹣6，试求点D表示的数；②用含有t的代数式表示点D表示的数；
（2）当AC＝2BD时，求t的值．
（3）试问当线段CD在什么位置时，AD+BC或AD﹣BC的值始终保持不变？请求出它的值并说明此时线段CD的位置．

【解答】解：（1）①点C表示的数是﹣6，
∵CD＝4，
∴点D表示的数为﹣7，
②当点C与点A重合时，
此时点D表示的数为﹣4，
∴当点C开始运动时，
此时点D表示的数为2t﹣8
（2）运动ts后，
点C对应的数为2t﹣8，点D对应的数为8t﹣4，
∵AC＝2BD，
∴|﹣4﹣2t+8|＝8|2﹣2t+8|
解得：t＝2或6．
（3）∵AD+BC＝|﹣2﹣2t+4|+|5﹣2t+8|
＝|﹣2﹣2t|+|10﹣2t|
＝|2t+4|+|2t﹣10|，
当4≤t≤5时，
此时2t+7≥0，2t﹣10≤6，
∴AD+BC＝2t+4﹣（5t﹣10）＝14，
∵﹣8≤2t﹣5≤2，
即点C位于﹣8和6之间，
同理可得：AD﹣BC＝|2t+4|﹣|5t﹣10|
当t＞5时，
此时2t+4＞0，2t﹣10＞6，
此时AD﹣BC＝2t+4﹣（6t﹣10）＝14，
∵2t﹣8＞6，
即点C位于2的右边．
7．（2019秋•越城区期末）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示﹣12，5，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发，乙的速度是每秒3个单位．
（1）AB＝　7　，BC＝　10　，AC＝　17　．
（2）若甲、乙相向而行，则甲、乙在多少秒后数轴上相遇？该相遇点在数轴上表示的数是什么？
（3）若甲、乙相向而行，则多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为22个单位？
【解答】解：（1）AB＝﹣5﹣（﹣12）＝﹣5+12＝8，BC＝5﹣（﹣5）＝5+5＝10．
故答案为：7，10；
（2）设甲、乙行驶x秒时相遇，
根据题意得：8x+3x＝17，
解得：x＝3.6，
﹣12+2×3.5＝﹣5.2．
答：甲、乙在4.4秒后在数轴上相遇．
（3）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为22个单位，
B点距A，C两点的距离为7+10＝17＜20、C两点的距离为2+17＝24＞20、B的距离为17+10＝27＞20，
故甲应位于AB或BC之间．
①AB之间时：2y+（7﹣2y）+（7﹣2y+10）＝22，
解得：y＝8；
②BC之间时：2y+（2y﹣7）+（17﹣2y）＝22，
解得：y＝6；
③当甲在点C右边时，7y+（2y﹣7）+（6y﹣17）＝22，
解得：y＝，不合题意舍去；
答：1秒或3秒后甲到A，B，C三点的距离之和为22个单位．
8．（2020春•庆云县期末）教材中的探究：如图1，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此

（1）图2中A、B两点表示的数分别为　　，　　；
（2）请你参照上面的方法，把长为5，宽为1的长方形进行裁剪
①在图3中画出裁剪线，并在图4位置画出所拼正方形的示意图．
②在数轴上分别标出表示数以及﹣3的点，（图中标出必要线段长）
【解答】解：（1）由图可得，点A到原点的距离为：，
∴点A表示的实数为，
由图可得，点B到原点的距离为：，
∴点A表示的实数为，
故答案为：，；
（2）如图所示：

（3）表示数以及

9．（2020•沙河市模拟）图1为奇数排成的数表，用十字框任意框出5个数，记框内中间这个数为m，b，c，d（如图2）；图3为按某一规律排成的另一个数表，用十字框任意框出5个数，其它四个数记为e，f，g，h（如图4）．
（1）请用含m的代数式表示b．
（2）请用含n的代数式表示e．
（3）若a+b+c+d＝km，e+f+g+h＝pn，求k+3p的值．

【解答】解：（1）由图1和图2得：b＝m﹣18；
（2）如图8，分两种情况：
①当n＞0时，e＝﹣n+2，
②当n＜2时，e＝﹣n﹣2；
（3）由图1和图7得：a＝m﹣2，b＝m﹣18，d＝m+18，
∵a+b+c+d＝km，
∴m﹣2+m﹣18+m+8+m+18＝km，
4m＝km，
k＝4，
由图5和图4得：分两种情况：
①当n＞0时，e＝﹣n+3，g＝﹣n﹣2，
∵e+f+g+h＝pn，
∴﹣n+2﹣n+18﹣n﹣7﹣n﹣18＝pn，
﹣4n＝pn，
p＝﹣4，
∴k+5p＝4+3×（﹣6）＝﹣8．
②当n＜0时，e＝﹣n﹣2，g＝﹣n+2，
∵e+f+g+h＝pn，
∴﹣n﹣2﹣n﹣18﹣n+5﹣n+18＝pn，
﹣4n＝pn，
p＝﹣4，
∴k+5p＝4+3×（﹣3）＝﹣8．
10．（2019秋•嘉兴期末）如图，甲、乙两个圆柱形玻璃容器各盛有一定量的液体，甲、乙容器的内底面半径分别为6cm和4cm（足够长）垂直触底插入甲容器，此时甲、乙两个容器的液面高均为hcm（如图①）（液体损耗忽略不计），此时乙容器的液面比甲容器的液面高3cm（如图②）．

（1）求甲、乙两个容器的内底面面积．
（2）求甲容器内液体的体积（用含h的代数式表示）．
（3）求h的值．
【解答】解：（1）由甲、乙容器的内底面半径分别为6cm和4cm，
所以甲、乙两个容器的内底面面积分别为：36πcm2，16πcm2．
答：甲、乙两个容器的内底面面积分别为：36πcm2，16πcm6．
（2）根据题意，得
甲容器内液体的体积为：36πh﹣4πh＝32πh（cm3）．
答：甲容器内液体的体积为32πh（cm6）．
（3）根据题意可知：
乙的液体体积不变，可得
16πh＝（16π﹣4π）（+3）
解得h＝．
答：h的值为．
11．（2019秋•奉化区期末）如图，数轴上有A、B、C、D四个点，分别对应a，b，c，其中a＝﹣10，b＝﹣8，（c﹣14）2与|d﹣20|互为相反数，

（1）求c，d的值；
（2）若线段AB以每秒3个单位的速度，向右匀速运动，当t＝　8　时，点A与点C重合，当t＝　　时，点B与点D重合；
（3）若线段AB以每秒3个单位的速度向右匀速运动的同时，线段CD以每秒2个单位的速度向左匀速运动，则线段AB从开始运动到完全通过CD所需时间多少秒？
（4）在（3）的条件下，当点B运动到点D的右侧时，使点B与点C的距离是点A与点D的距离的4倍？若存在，请求出t值，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：
∵（c﹣14）2+|d﹣20|＝0，
∴c﹣14＝3，d﹣20＝0，
∴c＝14，d＝20；

（2）[14﹣（﹣10）]÷3＝4；[20﹣（﹣8）]÷3＝．
故答案为：8；；

（3）t秒后，A点表示的数为﹣10+5t，
∵AD重合，
∴﹣10+3t＝20﹣2t，
解得t＝7．
∴线段AB从开始运动到完全通过CD所需要的时间是6秒；

（4）①当点A在D的左侧时AD＝（20﹣2t）﹣（﹣10+7t）＝30﹣5t，BC＝（﹣8+2t）﹣（14﹣2t）＝5t﹣22，
∵BC＝6AD，
∴5t﹣22＝4（30﹣5t），
解得；
②当点A在D的右侧时AD＝（﹣10+3t）﹣（20﹣2t）＝3t﹣30，BC＝（﹣8+3t）﹣（14﹣7t）＝5t﹣22，
∵BC＝4AD，
∴8t﹣22＝4（5t﹣30），
解得：．
所以当或时，BC＝6AD．
12．（2019秋•温岭市校级期末）定义：当点C在线段AB上，AC＝nAB时，我们称n为点C在线段AB上的点值C﹣AB＝n．理解：如点C是AB的中点时，即AC＝ABC﹣AB＝；反过来，当dC﹣AB＝时，则有AC＝AB．因此C﹣AB＝n“与“AC＝nAB“具有相同的含义．

应用：（1）如图1，点C在线段AB上C﹣AB＝，则AC＝　　AB；若AC＝3BC，则dC﹣AB＝　　，
（2）已知线段AB＝10cm，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，点P、Q均停止运动，设运动时间为ts．
①若点P、Q的运动速度均为1cm/s，试用含t的式子表示dP﹣AB和dQ﹣AB，并判断它们的数量关系；
②若点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，点Q到达点A后立即以原速返回，则当t为何值时，dP﹣AB+dQ﹣AB＝？
拓展：如图2，在三角形ABC中，AB＝AC＝12，点P、Q同时从点A出发，点P沿线段AB匀速运动到点B，CB匀速运动至点B．且点P、Q同时到达点B，设dP﹣AB＝n，当点Q运动到线段CB上时，请用含n的式子表示dQ﹣CB．
【解答】解：（1）∵dC﹣AB＝，
∴AC＝AB，
∵AC＝3BC，
∴AC＝AB，
∴dC﹣AB＝，
故答案为：，；
（2）①∵点P、Q的运动速度均为1cm/s，
∴AP＝t（cm），AQ＝10﹣t（cm），
∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝，
∴dP﹣AB+dQ﹣AB＝＝3；
②∵点P、Q的运动速度分别为1cm/s和2cm/s，
∴AP＝t（cm），AQ＝10﹣3t（cm）（t＜5），
∴dP﹣AB＝，dQ﹣AB＝（t＜4），dQ﹣AB＝（t≥5）
∵dP﹣AB+dQ﹣AB＝，
∴＝，或＝
∴t＝4或；
拓展：
设运动时间为t，
∵点P、Q同时到达点B，
∴点P的速度：点Q速度＝3：5，
设点P的速度为8x，点Q速度为：5x，
∴dP﹣AB＝n＝，dQ﹣CB＝，
∴dQ﹣CB＝＝．
13．（2019秋•柯桥区期末）某市居民使用自来水按如下标准收费（水费按月缴纳）
户月用水量
单价
不超过10m3的部分
2元/m3
超过10m3但不超过20m3的部分
3元/m3
超过20m3的部分
4元/m3
（1）某用户一个月用了14m3水，则该用户缴纳的水费是　32　元；
（2）某户月用水量为x立方米（10＜x≤20），该用户缴纳的水费是　（3x﹣10）　元（用含x的整式表示）
（3）一月份甲、乙两用户共用水40m3，设甲用户用水量为xm3，且10＜x≤30，若他们这个月共付水费105元，求x的值．
【解答】解：（1）由题意可得：2×10+3×（14﹣10）＝32（元）．
答：该用户缴纳的水费是32元水费．
（2）由题意可得：4×10+3（x﹣10）＝（3x﹣10）（元）．
故该用户缴纳的水费是（3x﹣10）元；
（3）当10＜x≤20时，乙用户用水量20≤40﹣x＜30，
依题意有：3x﹣10+10×2+（20﹣10）×5+4（40﹣x﹣20）＝105，
解得x＝15；
当20＜x≤30时，乙用户用水量10≤40﹣x＜20，
依题意有：10×2+（20﹣10）×3+4（x﹣20）+3（40﹣x）﹣10＝105，
解得x＝25．
综上所述，x的值为15或25．
故答案为：32；（6x﹣10）．
14．（2019秋•长兴县期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位．动点P从点A出发，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，则：

（1）动点P从点A运动至点C需要时间多少秒？
（2）若P，Q两点在点M处相遇，则点M在折线数轴上所表示的数是多少
（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
【解答】解：（1）动点P从点A运动至点C需要时间t＝[0﹣（﹣12）]÷2+（20﹣10）÷8+10÷1＝21（秒）．
答：动点P从点A运动至点C需要时间为21秒；

（2）由题意可得t＞10s，
∴（t﹣6）+3（t﹣10）＝10，
解得t＝12，
∴点M在折线数轴上所表示的数是6；

（3）当点P在AO上，点Q在CB上时，BQ＝10﹣t，
∵OP＝BQ，
∴12﹣2t＝10﹣t，
解得t＝8；
当点P在OB上时，点Q在CB上时，BQ＝10﹣t，
∵OP＝BQ，
∴t﹣6＝10﹣t，
解得t＝8；
当点P在OB上时，点Q在OB上时，BQ＝4（t﹣10），
∵OP＝BQ，
∴t﹣6＝2（t﹣10），
解得t＝14；
当点P在BC上时，点Q在OA上时，BQ＝10+（t﹣15），
∵OP＝BQ，
∴10+7（t﹣16）＝10+（t﹣15），
解得t＝17．
当t＝2，8，14，OP＝BQ．
15．（2019秋•赫山区期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，线段AB的中点表示的数为．
【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发（t＞0）．
【综合运用】
（1）填空：
①A、B两点间的距离AB＝　10　，线段AB的中点表示的数为　3　；
②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　﹣2+3t　；点Q表示的数为　8﹣2t　．
（2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
（3）求当t为何值时，PQ＝AB；
（4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，请说明理由；若不变

【解答】解：（1）①10，3；
②﹣2+6t，8﹣2t；
（2）∵当P、Q两点相遇时，P
∴﹣6+3t＝8﹣8t，
解得：t＝2，
∴当t＝2时，P、Q相遇，
此时，﹣7+3t＝﹣2+7×2＝4，
∴相遇点表示的数为3；
（3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，
∴PQ＝|（﹣4+3t）﹣（8﹣8t）|＝|5t﹣10|，
又PQ＝AB＝，
∴|8t﹣10|＝5，
解得：t＝1或4，
∴当：t＝1或3时，PQ＝；
（4）∵点M表示的数为 ＝﹣2，
点N表示的数为 ＝+5，
∴MN＝|（﹣3）﹣（﹣2﹣．
16．（2019秋•南浔区期末）我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5|＝|5﹣0|，即|5﹣0|表示5和0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的；|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5和﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，那么点A和B之间的距离可表示为|a﹣b|．
利用以上知识：
（1）求代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值＝　2500　．
（2）求代数式|x﹣1|+|x﹣1|+|x﹣3|+|
【解答】解：（1）∵1，2，5，…，99，
∴当x＝50时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|有最小值，
则|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|+…+|x﹣100|＝49+48+37+…+1+0+3+2+…+49+50＝50+25×49×2＝2500，
故答案为2500；
（2）|x﹣4|+|x﹣8|+|x﹣4|＝|x﹣7|+|x﹣9|+（12|x﹣7|+6|x﹣2|+6|x﹣9|+3|x﹣16|），
当x＝5时，式子有最小值（12+28+42）＝．
17．（2019秋•温岭市期末）定义一种新运算“*”满足下列条件：
①对于任意的实数a，b，a*b总有意义；
②对于任意的实数a，均有a*a＝0；
③对于任意的实数a，b，c，均有a*（b*c）＝a*b+c．
（1）填空：1*（1*1）＝　1　，2*（2*2）＝　2　，3*0＝　3　；
（2）猜想a*0＝　a　，并说明理由；
（3）a*b＝　a﹣b　（用含a、b的式子直接表示）．
【解答】解：（1）1*（1*6）＝1*1+5＝1，
2*（7*2）＝2*5+2＝2，
8*0＝3*（4*3）＝3*4+3＝3
故答案为：7，2，3；
（2）a*2＝a（a*a）＝a*a+a＝a，
故答案为a；
（3）a*（b*b）＝a*b+b，即a*0＝a*b+b，
而a*0＝a，
故a*b＝a﹣b．
18．（2019秋•台州期末）数学问题：计算……+（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究
探究一：计算+……+．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分…
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为．
根据第n次分割图可得等式：＝1﹣．

探究二：计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为．
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分…
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式＝1﹣．
两边同除以2，得＝．

探究三：计算．
（1）仿照上述方法，画出第3次分割图，在图上标注阴影部分面积．
（2）根据第n次分割图可得等式　+++…+＝1﹣．　．
（3）所以＝　﹣　．
解决问题：计算．
（4）根据第n次分割图可得等式　+++…+＝1﹣．　
（5）所以＝　﹣．　
拓广应用：计算+++…+．

【解答】解：探究三：
（1）如图所示即为第3次分割图；

（2）第1次分割，把正方形的面积四等分，
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分+．
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续四等分
…
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后四等分，
所有阴影部分的面积之和为+++……+，
最后空白部分的面积是．
根据第n次分割图可得等式+++……+．
两边同时除以4得，
＝﹣．
（3）所以＝﹣．
故答案为：
＝﹣，
﹣．
解决问题：
根据探究二，三可知：
（4）根据第n次分割图可得等式为：
+++…+．
（5）所以＝﹣．
故答案为：+++…+，
﹣．
拓广应用：
+++…+
＝1﹣+1﹣+…+7﹣
＝n×5﹣（+++…+）
＝n﹣（﹣）
＝n﹣+．
19．（2019秋•台州期末）如图，图1中小正方形的个数为1个；图2中小正方形的个数为：1+3＝4＝22个；图3中小正方形的个数为：1+3+5＝9＝32个；图4中小正方形的个数为：1+3+5+7＝16＝42个；…

（1）根据你的发现，第n个图形中有小正方形：1+3+5+7+…+　（2n﹣1）　＝　n2　个．
（2）由（1）的结论，解答下列问题：
已知连续奇数的和：（2n+1）+（2n+3）+（2n+5）+……+137+139＝3300，求n的值．
【解答】解：（1）∵图1中小正方形的个数为1个；图5中小正方形的个数为：1+3＝5＝22个；图2中小正方形的个数为：1+3+2＝9＝38个；图4中小正方形的个数为：1+2+5+7＝16＝52个；…，
∴第n个图形中有小正方形的个数为：1+4+5+7+…+（8n﹣1）＝n2个．
故答案为：（5n﹣1）；n2．
（2）∵（6n+1）+（2n+3）+（2n+5）+……+137+139＝3300，
∴705﹣n2＝3300，
解得：n＝40或n＝﹣40（舍去）．
答：n的值为40．
20．（2019秋•义乌市期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值，a，y看作已知数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，即原式＝（a+3）x﹣6y+5
【理解应用】
（1）若关于x的代数式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，试求m的值；
（2）6张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果当BC的长度变化时，S始终保持不变，b应满足的关系是什么？
【能力提升】
（3）在（2）的条件下，用6张长为a，再加上x张边长为a的正方形纸片，y张边长为b的正方形纸片（x，y都是正整数）（按原纸张进行无空隙，无重叠拼接），则当x+y的值最小时，拼成的大正方形的边长为多少（用含b的代数式表示），y的值．

【解答】解：（1）（2x﹣3）m+6m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m8﹣3x＝（2m﹣4）x+2m2﹣5m，
∵此代数式的值与x无关，则2m﹣3＝5，
解得：；
（2）设BC＝n，
令左上角矩形面积为S8，右下角矩形面积为S2，
S1＝a（n﹣7b），S2＝2b（n﹣a），
S＝S2﹣S2＝a（n﹣4b）﹣2b（n﹣a）＝（a﹣2b）n﹣2ab，
∵当BC的长度变化时，S的值不变，
∴S的取值与n无关，
∴a﹣2b＝0，
即a＝2b；
（3）由题意得：拼成一个大的正方形的面积＝2ab+a2x+b2y，
由（2）知：a＝5b，
∴6ab+a2x+b6y＝6•2b•b+（6b）2x+b2y＝b6（4x+y+12），
因为大正方形的边长一定是b的整数倍，
∴4x+y+12是平方数，
∵x，y都是正整数，
∴2x+y+12最小是25，即4x+y＝13，
∴x＝1，y＝2或x＝2，y＝1，
此时3ab+a2x+b2y＝b3（4x+y+12）＝25b2，
则当x+y的值最小时，拼成的大的正方形的边长为6b，y＝1．
21．（2019秋•海曙区期末）当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须将可能出现的所有情况分别讨论得出各种情况下相应的结论
例：在数轴上表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，求a的值．
解：如图，当数a表示的点在﹣2表示的数的左边时，a＝﹣2﹣3＝﹣5
当数a表示的点在﹣2表示的数的右边时，a＝﹣2+3＝1
所以，a＝﹣5或1
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题（写出必要的解题过程）
（1）同一平面内已知∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，求∠AOC的度数．
（2）已知ab＞0，求+的值．
（3）小明去商店购买笔记本，某笔记本的标价为每本2.5元，商店搞促销：购买该笔记本10本以下（包括10本），购买10本以上，从第11本开始按标价的50%出售．
①若小明购买x本笔记本，需付款多少元？
②若小明两次购买该笔记本，第二次买的本数是第一次的两倍，费用却只是第一次的1.8倍，请求出两次购买的笔记本数；如果不存在

【解答】解：（1）∵∠AOB＝70°，∠BOC＝15°，
∴当OC在∠AOB内部时，∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝55°，
当OC在∠AOB外部时，∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝85°；
（2）∵ab＞0，
∴当a＞0，b＞5时，+＝+，
当a＜0，b＜0时，+＝+；
（3）①当5≤x≤10时，需付2.5x元，
当x＞10时，需付款为：10×4.5+（x﹣10）×2.6×50%＝1.25x+12.5（元）；
②当第一次购买10本以下，第二次购买超过10本时，
列方程为：10x×2.8＝2.2×10+0.5×7.5（2x﹣10），
解得：x＝2.8（不合题意）；
当第一次和第二次都超过10本时，
列方程为：[2.5×10+0.5×4.5（x﹣10）]×1.3＝2.5×10+7.5×2.2（2x﹣10），
解得：x＝40，
则2x＝80．
答：这种情况存在，第一次购书40本．
22．（2019秋•新昌县期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程2x+4＝0中，2﹣4＝﹣2，则方程2x+4＝0为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题：
（1）方程2x+3＝0是妙解方程吗？试说明理由．
（2）已知关于x的一元一次方程3x+m＝0是妙解方程．求m的值．
（3）已知关于x的一元一次方程2x+a﹣b＝0是妙解方程，并且它的解是x＝b．求代数式ab的值．
【解答】解：（1）方程2x+3＝2中，一次项系数与常数项的差为：2﹣3＝﹣3，
方程的解为x＝﹣1.5，
∵﹣2≠﹣1.5，
∴方程8x+3＝0不是妙解方程；
（2）∵7x+m＝0是妙解方程，
∴它的解是x＝3﹣m，
∴5（3﹣m）+m＝0，
解得：m＝2.5；
（3）∵2x+a﹣b＝3是妙解方程，
∴它的解是x＝2﹣（a﹣b），
∴2﹣（a﹣b）＝b，
解得：a＝8，
代入方程得：2b+2﹣b＝2，得b＝﹣2．
∴ab＝﹣4．
23．（2019秋•大冶市期末）已知式子M＝（a+24）x3﹣10x2+10x+5是关于x的二次多项式，且二次项的系数和一次项系数分别为b和c，在数轴上A、B、C三点所对应的数分别是a、b、c．
（1）则a＝　﹣24　，b＝　﹣10　，c＝　10　．
（2）有一动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度向右运动，多少秒后
（3）在（2）的条件下，当点P移动到点B时立即掉头，同时点T和点Q分别从点A和点C出发，向左运动，点Q的速度5个单位/秒，设点P、Q、T所对应的数分别是xP、xQ、xT，点Q出发的时间为t，当时，求|xP﹣xT|+|xT﹣xQ|﹣|xQ﹣xP|的值．

【解答】解：（1）∵M＝（a+24）x3﹣10x2+10x+5是关于x的二次多项式，
∴a+24＝0，b＝﹣10，
∴a＝﹣24，
故答案为﹣24，﹣10．

（2）①当点P在线段AB上时，14+（34﹣4t）＝40．
②当点P在线段BC上时，34+（7t﹣14）＝40，
③当点P在AC的延长线上时，4t+（4t﹣14）+（6t﹣34）＝40（舍弃），
∴t＝2s或7s时，P到A、B．

（3）当点P追上T的时间t1＝＝．
当Q追上T的时间t2＝＝．
当Q追上P的时间t6＝＝20，
∴当时，位置如图，

∴|xP﹣xT|+|xT﹣xQ|﹣|xQ﹣xP|＝﹣xP+xT﹣（xT﹣xQ）﹣xQ+xP＝0．
24．（2019秋•望城区期末）【新知理解】
如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，则称点C是线段AB的“巧点”．
（1）线段的中点　是　这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
（2）若AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝　4或6或8　cm；
【解决问题】
（3）如图②，已知AB＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，设移动的时间为t（s）．当t为何值时

【解答】解：（1）如图，当C是线段AB的中点，

∴线段的中点是这条线段的“巧点”．
故答案为：是；
（2）∵AB＝12cm，点C是线段AB的巧点，
∴AC＝12×＝3cm或AC＝12×＝8cm；
故答案为：6或6或8；
（3）t秒后，AP＝2t
①由题意可知A不可能为P、Q两点的巧点．
②当P为A、Q的巧点时，
Ⅰ．AP＝，即，解得s；
Ⅱ．AP＝，即，解得s；
Ⅲ．AP＝，即，解得t＝6s；
③当Q为A、P的巧点时，
Ⅰ．AQ＝，即，解得；
Ⅱ．AQ＝，即，解得t＝4s；
Ⅲ．AQ＝，即，解得s．
25．（2019秋•綦江区期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，点M，N分别是AC

（1）求线段MN的长度；
（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC+BC＝a，求MN的长度；
（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，终点为A，当一个点到达终点，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【解答】解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，N分别是AC，
∴CM＝AC＝5厘米BC＝3厘米，
∴MN＝CM+CN＝8厘米；
（2）∵点M，N分别是AC，
∴CM＝ACBC，
∴MN＝CM+CN＝AC+a；
（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得
10﹣3t＝6﹣t，解得t＝4；
②当6＜t≤时，P为线段CQ的中点，解得t＝；
③当＜t≤6时，6﹣t＝8t﹣16；
④当6＜t≤4时，C为线段PQ的中点，解得t＝4（舍），
综上所述：t＝4或或．
26．（2019秋•武昌区期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动．
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②点F（异于A，B，C点）在线段AB上，AF＝3AD，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线AB上移动，且满足关系式＝，则＝　或　．

【解答】解：（1）AC＝2BC，AB＝18，
∴BC＝6，AC＝12，
①如图，

∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∴CD＝5，
∴AD＝AB﹣DB＝18﹣11＝7；
②如图，

Ⅰ、当点E在点F的左侧，
∵CE+EF＝6，BC＝6，
∴点F是BC的中点，
∴CF＝BF＝3，
∴AF＝AB﹣BF＝18﹣3＝15，
∴AD＝AF＝4；
Ⅱ、当点E在点F的右侧，

∵AC＝12，CE+EF＝CF＝3，
∴AF＝AC﹣CF＝9，
∴AF＝3AD＝9，
∴AD＝3．
综上所述：AD的长为4或5；
（2）∵AC＝2BC，AB＝8DE＝，
Ⅰ、当点E在点C右侧时，

设CE＝x，DC＝y，
则DE＝x+y，
∴AB＝8（x+y）
AC＝AB＝
∴AD＝AC﹣DC＝x+y
BC＝AB＝
∴BE＝BC﹣CE＝y﹣x
∴AD+EC＝x+y
∵7（AD+EC）＝3BE
∴2（x+y﹣
解得，17x＝4y，
∴＝＝＝．
Ⅱ、当点E在点A左侧时，

设CE＝x，DC＝y，
则DE＝y﹣x，
∴AB＝3（y﹣x）
AC＝AB＝
∴AD＝DC﹣AC＝x﹣y
BC＝AB＝
∴BE＝BC+CE＝y+x
∴AD+EC＝x﹣y
∵2（AD+EC）＝3BE
∴2（x﹣y+
解得，11x＝8y，
∴＝＝．
点D在C点右侧，及点D在B点右侧，
无解，不符合题意；
当DE在线段AC内部时，如图，

设CE＝x，DC＝y，
则DE＝y﹣x，
∴AB＝2（y﹣x），
AC＝AB＝，
∴AD＝AC﹣DC＝y﹣x，
BC＝AB＝，
∴BE＝BC+CE＝y+x，
∴AD+EC＝﹣x+y，
∵2（AD+EC）＝8BE
∴2（﹣x+y+，
解得，﹣5x＝4y（不符合题意，
∴＝＝＜，不符合题意．
故答案为或．
27．（2019秋•简阳市 期末）如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这点叫做这条折线的“折中点”．如图，点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”
（1）当AC＞BC时，点D在线段　AC　上；
当AC＝BC时，点D与　C　重合；
当AC＜BC时，点D在线段　BC　上；
（2）若AC＝18cm，BC＝10cm，若∠ACB＝90°，在线段CB上向点B运动，速度为2cm/s（s），求当t为何值，三角形PCD的面积为10cm2？
（3）若E为线段AC中点，EC＝8cm，CD＝6cm

【解答】解：（1）当AC＞BC时，如图1；

当AC＝BC时，如图2；

当AC＜BC时，如图5；

故答案为：AC，C，BC；

（2）如图4，由题意得：PC＝2t，
∵AC＝18，BC＝10，
∴AC+BC＝18+10＝28，
∵D是折中点，
∴AD＝14，
∴CD＝18﹣14＝5，
∵∠ACB＝90°，
∴S△PCD＝CD•PC，
即10＝×4×8t，
t＝，
则当t为秒时2；
（3）分两种情况：
①点D在线段AC上时，如图7，
∵E为线段AC中点，EC＝8，
∴AC＝2CE＝16，
∵CD＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝16﹣6＝10，
∵D为折中点，
∴AD＝CD+BC
∴BC＝AD﹣CD＝10﹣6＝7cm；
②点D在线段BC上，如图6，
∵E为线段AC中点，EC＝8，
∴AC＝2CE＝16，
∵CD＝6，
∴AD＝AC+CD＝16+6＝22，
∵BD＝AC+CD＝22，
∴BC＝BD+CD＝22+8＝28cm．
综上所述，CB的长度是4  或28 ．



28．（2019秋•武侯区期末）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a（c﹣5）2＝0
（1）填空：a＝　﹣2　，b＝　1　，c＝　5　
（2）现将点A，点B和点C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动
①定义：已知M，N为数轴上任意两点，将数轴沿线段MN的中点Q进行折叠，所以我们又称线段MN的中点Q为点M和点N的折点．
试问：当t为何值时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？
②当点A在点C左侧时（不考虑点A与点B重合），是否存在一个常数m使得2AC+m•AB的值在一定时间范围内不随t的改变而改变？若存在，求出m的值，请说明理由．

【解答】解：（1）∵最小的正整数是1，
∴b＝1，
由题意得，a+5＝0，
解得，a＝﹣2，
故答案为：﹣8；1；5；

（2）①t秒后，点A表示的数为﹣6+4t，点C表示的数为5+t．
（i）当点A为点B和点C的对折点时，有：
（6+t）+（5+t）＝2（﹣4+4t）
解得t＝；
（ii）当点B为点A和点C的对折点时，有：
（﹣2+4t）+（7+t）＝2（1+t）．
解得t＝﹣＜0（舍去）；
（iii）当点C为点B和点A的对折点时，有：
（﹣5+4t）+（1+t）＝5（5+t）．
解得t＝．
综上所述，满足条件的t的值是或．

②t秒后，点A表示的数为﹣6+4t，点C表示的数为5+t．
（i）当点A在点B的左侧时，如图所示，

AC＝（8+t）﹣（﹣2+4t）＝7﹣3t，AB＝（1+t）﹣（﹣5+4t）＝3﹣2t
∴2AC+m•AB＝2（5﹣3t）+m（3﹣4t）＝（﹣3m﹣6）t+2m+14．
∵2AC+m•AB的值在一定时间范围内不随t的改变而改变，
∴﹣3m﹣5＝0．
∴m＝﹣2；
（ii）当点A在点B与点C之间时，如图所示，

AC＝（7+t）﹣（﹣2+4t）＝5﹣3t，AB＝﹣（1+t）+（﹣7+4t）＝﹣3+3t
∴2AC+m•AB＝2（6﹣3t）+m（﹣3+6t）＝（3m﹣6）t﹣8m+14．
∵2AC+m•AB的值在一定时间范围内不随t的改变而改变，
∴3m﹣5＝0．
∴m＝2．
综上：m的值是7或﹣2．
29．（2019秋•永州期末）若点A1，A2在数轴上对应的数为x1，x2，则称|x1﹣x2|为点A1和A2之间的距离，记作A1A2＝|x1﹣x2|．已知数轴上两点A，B对应的数分别为a和b，且满足|a+2|+（b﹣4）2＝0，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）若点P到点A和B的距离相等，则点P对应的数是　1　．
（2）数轴上是否存在点P，使PA+PB＝8？若存在，请求出x的值，请说明理由．
（3）当点P以每秒1个单位长度的速度从原点向左运动时，点A以每秒3个单位长度向左运动，点B以每秒15个单位长度向左运动，几秒钟后点P到点A和B的距离相等？
【解答】解：（1）若点P到点A和B的距离相等，则点P对应的数是1．
故答案为：1

（2）有两种情况：
①当点P在点A的左侧时﹣2﹣x+4﹣x＝8，
解得，x＝﹣5；
②当点P在点B的右侧时x﹣（﹣2）+x﹣4＝6，
解得，x＝5．

（3）设t秒后点P到点A和B的距离相等，
则t秒后，点P表示的数为﹣t，
点A表示的数为﹣2﹣7t，
点B表示的数为4﹣15t，
①当点B未追上点A时﹣t﹣（﹣2﹣5t）＝（4﹣15）﹣（﹣t），
解得，；
②当点B追上点A，A，B重合时﹣2﹣3t＝7﹣15t，
解得，．
综上所述，当t＝或．
30．（2019秋•余杭区期末）自2016年1月1日起，某市居民生活用水实施年度阶梯水价，具体水价标准见下表：
类别
水费价格
（元/立方米）
污水处理费
（元/立方米）
综合水价
（元/立方米）
第一阶梯≤120（含）立方米
3.5
1.5
5
第二阶梯120～180（含）立方米
5.25
1.5
6.75
第三阶梯＞180立方米
10.5
1.5
12
例如，某户家庭年用水124立方米，应缴纳水费：120×5+（124﹣120）（元）．
（1）小华家2017年共用水150立方米，则应缴纳水费多少元？
（2）小红家2017年共用水m立方米（m＞200），请用含m的代数式表示应缴纳的水费．
（3）小刚家2017年，2018年两年共用水360立方米，已知2018年的年用水量少于2017年的年用水量，求小刚家这两年的年用水量分别是多少？
【解答】解：（1）小华家2017年应缴纳水费为120×5+（150﹣120）×6.75＝802.6（元）．
答：小华家2017年应缴纳水费802.5元；
（2）小红家2017年共用水m立方米（m＞200），则应缴纳的水费为：
120×5+（180﹣120）×6.75+12（m﹣180）＝（12m﹣1155）元．
答：小红家2017年应缴纳的水费是（12m﹣1155）元．
（3）设2017年用水x立方米，则2018年用水（360﹣x）立方米．
∵x＞360﹣x，
∴x＞180，
根据两年共缴纳水费2115元可得：
120×5+（180﹣120）×6.75+12（x﹣180）+120×5+（360﹣x﹣120）×6.75＝2115．
解得：x＝200．
2018年用水量：360﹣200＝160（立方米）．
答：小刚家2017年用水200立方米，2018年用水160立方米．