2021年江西省吉安市七校联盟八级上学期数学期中试卷

这是一份2021年江西省吉安市七校联盟八级上学期数学期中试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 八级上学期数学期中试卷
一、单选题
1.在△ABC中，∠A ， ∠B ， ∠C所对的边分别为a ， b ， c ， 且∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则下列说法中，错误的是（    ）
A. ∠C＝90°                             B. a＝b                             C. c2＝2a2                             D. a2＝b2﹣c2
2.9的算术平方根是（   ）

A. ±3                                        B. 3                                        C. ±                                        D. 
3.点P（m+1，m﹣2）在x轴上，则点P的坐标为（   ）

A. （0，﹣3）                        B. （0，3）                        C. （3，0）                        D. （﹣3，0）
4.下列计算正确的是（   ）
A.                B.                C.                D. 
5.已知点 、点 在一次函数 的图像上，且 ，则m的取值范围是（    ）
A.                                  B.                                  C.                                  D. 
6.直线y＝2kx的图象如图所示，则y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象大致是（   ）

A.                 B.                 C.                 D. 
二、填空题
7.点P是第二象限的点且到x轴的距离为3、到y轴的距离为4,则点P的坐标是________.
8.若a ， b是2020的两个平方根，则2（a＋b）﹣ab＝       ．
9.请你写出一个一次函数，满足条件：①经过第一、三、四象限；②与y轴的交点坐标为（0，﹣2），则此一次函数的解析式可以是       ．
10.如图，△ABC的边BC在数轴上，点B对应的数字是1，点C对应的数字是2，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，AB为半径的圆弧交数轴于点D，则点D所表示的数为       ．

11.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为7 cm，则正方形A ， B ， C ， D的面积之和为      cm2 ．

12.已知直线y＝2x﹣2与x轴交于A ， 与y轴交于B ， 若点C是坐标轴上的一点，且AC＝AB ， 则点C的坐标为       ．
三、解答题
13.  
（1）（ ＋ ）2﹣（3 ＋2 ）（3 ﹣2 ）；
（2）已知点A（a ， ﹣3）与点B（5，b）关于x轴对称，求a＋b的值．
14.计算： ＋（ ＋1）2020×（1﹣ ）2021
15.如图，在3×3的网格中，小正方形的边长为1，连接三个格点得到△ABC ．

（1）求△ABC的周长．
（2）BC边上的高是多少？
16.水龙头关闭不紧会造成滴水，小明用可以显示水量的容器做图①所示的试验，并根据试验数据绘制出图②所示的容器内盛水量W（L）与滴水时间t（h）的函数关系图象，请结合图象解答下列问题：
 
图 ①                   图②
（1）容器内原有水多少？
（2）求W与t之间的函数关系式，并计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升？
17.图1.2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段 的两个端点均在小正方形的顶点上；

（1）在图1中画出以 为底边的等腰直角 ，点 在小正方形顶点上；
（2）在图2中画出以 为腰的等腰 ，点 在小正方形的顶点上，且 的面积为8.
18.如图，在平面直角坐标系中，将矩形ABCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）．

（1）求CE的长；
（2）写出点E的坐标．
19.如图，过点A（2，0）的两条直线 ， 分别交y轴于B，C，其中点B在原点上方，点C在原点下方，已知AB= .

（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为4，求 的解析式.
20.阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜ ＜2，于是可用 ﹣1来表示 的小数部分．请解答下列问题：
（1）的整数部分是________，小数部分是________；
（2）如果5＋ 的小数部分为a ， 5﹣ 的整数部分为b ， 求a＋ b的值．
21.已知点P（x0 ， y0）和直线y＝kx＋b ， 则点P到直线y＝kx＋b的距离可用公式d＝ 计算．例如求点P（﹣2，1）到直线y＝x＋1的距离．
解：由直线y＝x＋1可知k＝1，b＝1，d＝ ＝ ＝ ＝ ．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点P（2，1）到直线y＝2x＋1的距离；
（2）求点P（1，1）到直线y＝4x﹣3的距离，并说明点P与该直线的位置关系；
（3）已知直线y＝﹣x﹣1与直线y＝﹣x＋3平行，求这两条直线间的距离．
22.如图，在平面直角坐标系中，点C（﹣4，0），点A ， B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足 ＋|OA﹣1|＝0

（1）写点A、B的坐标及直线AB的解析式；
（2）在x轴上是否存在点D ， 使以点B、C、D为顶点的三角形的面积S△BCD＝ S△ABC？若存在，请写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
23.如图

（1）问题探究
①如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝13，AB＝5，若P是BC边上一动点，连接AP ， 求AP的最小值．
②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝a ， 求边AB的长度（用含a的代数式表示）．
（2）问题解决
如图3，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，D是边BC的中点，若P是AB边上一动点，E是AC边上一动点，请直接写出PD＋PE的最小值．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、由∠A：∠B：∠C＝1：1：2及∠A+∠B+∠C＝180°可以得到：
∠A=∠B=45°，∠C=90°，不符合题意；
B、由上可得∠A=∠B，所以a=b，不符合题意；
C、由上知△ABC是直角三角形，所以a2+b2=c2 ， 又因为a=b，所以c2＝2a2 ， 不符合题意；
D、由上知a2+b2=c2 ， 符合题意；
故答案为：D．

【分析】先根据三角形的内角和及∠A：∠B：∠C＝1：1：2，求出三角形三个角的度数，再逐项判断即可。
2.【答案】 B
【解析】【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根，即可得到结果。
【解答】∵（±3)2=9，
∴9的算术平方根是3，
故选B.
【点评】解答本题的关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根。

3.【答案】 C
【解析】【解答】∵点P（m+1，m﹣2）在x轴上，
∴m﹣2=0，解得m=2，
当m=2时，点P的坐标为（3，0），
故答案为：C．
【分析】根据点在x轴上可得其纵坐标为0，即可求得m的值，则点P的坐标可求解。
4.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、2 与3 不能合并，所以A选项错误；
B、原式= =2，所以B选项正确；
C、原式=25 =25 ，所以C选项错误；
D、原式= = ，所以D选项错误．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断．
5.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵点P（-1，y1）、点Q（3，y2）在一次函数y=（2m-1）x+2的图象上，
∴当-1＜3时，由题意可知y1＞y2 ，
∴y随x的增大而减小，
∴2m-1＜0，解得m＜ ，
故答案为：A．
【分析】求出当-1＜3时，y1＞y2 ， 再求出y随x的增大而减小，最后求取值范围即可。
6.【答案】 A
【解析】【解答】由题意知2k＜0，即k＜0，
则k-2＜0，1-k＞0，
∴y=（k-2）x+1-k的图象经过第一，二，四象限，
故答案为：A．

【分析】根据正比例函数的图象可知：2k＜0，即k＜0，再判断出k-2＜0，1-k＞0，利用一次函数图象与其系数的关系逐项判断即可。
二、填空题
7.【答案】 (−4，3)
【解析】【解答】解：由点且到x轴的距离为3、到y轴的距离为4，得
|y|=3，|x|=4.
由P是第二象限的点，得
x=−4，y=3.
即点P的坐标是(−4，3)，
故答案为：(−4，3).
【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案.
8.【答案】 2020
【解析】【解答】∵a ， b是2020的两个平方根，
∴a+b=0， ，
则2（a+b）-ab=2×0-（-2020）=2020．
故答案为：2020．

【分析】根据a ， b是2020的两个平方根，可知道：a+b=0， ，再将其整体代入计算即可。
9.【答案】 y＝x﹣2（答案不唯一）
【解析】【解答】解：根据图象经过第一、三、四象限可知，一次函数比例系数为正，与y轴交点在负半轴；
可设比例系数为1，再把（0，﹣2）代入，求得解析式为y＝x﹣2，
故答案为：y＝x﹣2（答案不唯一）．

【分析】根据题干条件，利用待定系数法求解即可。
10.【答案】
【解析】【解答】解：∵点B对应的数字是1，点C对应的数字是2，
∴ ，
∵∠ACB＝90°，AC＝2，
∴ ，
∴ ，
∴点D所表示的数为 ，
故答案为： ．

【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再根据AB=BD=， 求出BD的长，最后利用1-， 即可得到答案。
11.【答案】 49
【解析】【解答】解：如图，

∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，
∴正方形A的面积=a2 ， 正方形B的面积=b2 ，
正方形C的面积=c2 ， 正方形D的面积=d2 ，
又∵a2+b2=x2 ， c2+d2=y2 ，
∴正方形A、B、C、D的面积和=(a2+b2)+(c2+d2)=x2+y2=72=49cm2 ．
故答案为：49．

【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积。
12.【答案】 或 或（0,2）
【解析】【解答】解：令x=0，得到y=-2，
∴B（0，-2），
令y=0，得到x=1，
∴A（1，0），
∴OA=1，OB=2，
∴AB= ，
以A为圆心，AB长为半径作圆，交坐标轴即为C点，

∵AC=AB= ，
∴C（1+ ，0），（1- ，0）或（0，2），
故答案为(1+ ，0)，(1− ，0)或(0，2)．

【分析】利用待定系数法求出A、B两点坐标，利用勾股定理求出AB，根据AC=AB，确定点C坐标即可。
三、解答题
13.【答案】 （1）解：原式＝
＝2＋3＋2 ﹣18＋12
＝ ；

（2）解：∵A（a，﹣3）与点B（5，b）关于x轴的对称，
∴a＝5    b＝3，
∴a＋b＝8.
【解析】【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可；
（2）根据关于x轴对称的点坐标的特征：横坐标不变，纵坐标变为相反数求出a、b的值，再代入计算即可。
 
 
14.【答案】 解：原式＝3﹣2 ＋
＝3﹣2 ＋
＝3﹣2 ＋1﹣
＝ ．
【解析】【分析】先利用二次根式的性质、幂的乘方化简，再计算即可。
15.【答案】 （1）解：由勾股定理得， ，
，
，
所以△ABC的周长为 ；

（2）解：设BC边上的高是h，
S△ABC＝ ＝4.
∴ ，
∴h＝ ．
∴BC边上的高是 ．
【解析】【分析】（1）结合网格，利用勾股定理求出AB、AC和BC的长，再根据三角形的周长公式计算即可；
（2）利用割补法求出 S△ABC ，再利用等面积法求BC边上的高即可。
 
16.【答案】 （1）解：由图象可知，容器内原有水0.3 L.
（2）解：由图象可知W与t之间的函数图象经过点（0，0.3），
故设函数关系式为W＝kt＋0.3.
又因为函数图象经过点（1.5，0.9），
代入函数关系式，得1.5k＋0.3＝0.9，解得k＝0.4.
故W与t之间的函数关系式为W＝0.4t＋0.3.
当t＝24时，W＝0.4×24＋0.3＝9.9（L），9.9－0.3＝9.6（L），
即在这种滴水状态下一天的滴水量为9.6 L.
【解析】【分析】（1）由图知，直线与y轴相交于点（0，0.3），于是可得容器内原有水 0.3L；
（2）由图知直线经过点（0，0.3）和点（1.5,0.9），于是用待定系数法可求解析式；把t=24代入解析式即可求得在这种滴水状态下一天的滴水量 。
 
17.【答案】 （1）解：作 的垂直平分线，作以 为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点 ；


（2）解：以 为圆心， 为半径作圆，格点即为点 ；

【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据等腰三角形的性质和△ACD的面积为8作图即可。
18.【答案】 （1）解：∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8）， ∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝8，
∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处，
∴AD＝AF＝10，DE＝EF，
在Rt△AOF中，OF＝ ＝6， ∴FC＝10﹣6＝4，
设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，
在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2 ， 即（8﹣x）2＝x2+42 ， 解得x＝3，
即EC的长为3．

（2）∵EC的长为3，
∴点E的坐标为（10，3）．
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质得到AF＝AD ， 所以在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF＝6，然后设EC＝x ， 则EF＝DE＝8﹣x ， CF＝10﹣6＝4，根据勾股定理列方程求出EC；（2）由（1）可得点E的坐标．
19.【答案】 （1）解：在Rt△AOB中，
∵ ，
∴ ，
∴OB=3，
∴点B的坐标是（0，3） .

（2）解：∵ = BC•OA，
∴ BC×2=4，
∴BC=4，
∴C（0，-1）.
设 的解析式为 ，
把A（2，0），C（0，-1）代入得： ，
∴ ，
∴ 的解析式为是 .
【解析】【分析】（1）由点A（2，0）可得OA=2， 在Rt△AOB中，利用勾股定理求出OB的长，即得点B的坐标.
（2） 利用△ABC的面积= BC•OA=4， 求出BC的长，从而可得OC=1，即得点C（0，-1），利用待定系数法求出直线AC的解析式即可.
20.【答案】 （1）5；﹣5
（2）解：∵2＜ ＜3，
∴7＜5＋ ＜8，
∴5＋ 的小数部分a＝5＋ ﹣7＝ ﹣2，
∵2＜ ＜3，
∴﹣3＜﹣ ＜﹣2，
∴2＜5﹣ ＜3，
∴5﹣ 的整数部分为b＝2，
∴a＋ b＝ ﹣2＋2 ＝3 ﹣2.
【解析】【解答】（1）∵ ＜ ＜ ，
 
∴5＜ ＜6，
∴ 的整数部分为5，小数部分为 ﹣5，
故答案为：5， ﹣5；
【分析】（1）根据 ＜ ＜ ，可得5＜ ＜6，所以 的整数部分为5，小数部分为 ﹣5；
（2）利用（1）的方法，先估算的大小，再估算 5﹣ 的大小，即可得到a、b的值，再将a、b代入计算即可。
 
21.【答案】 （1）解：∵点P（2，1），
∴点P到直线y＝2x＋1的距离为： ．

（2）解：∵点P（1，1）
∴点P到直线y＝4x﹣3的距离为： ．
点P到直线y＝4x﹣3的距离为0，点P在直线y＝4x﹣3上．

（3）解：在直线y=﹣x-1任意取一点P，当x=0时，y=-1．
∴P（0，-1）．
∴点P到直线y=﹣x+3的距离为： ．
∴两平行线之间的距离为 ．
【解析】【分析】（1）直接将P点的坐标代入公式d＝  就可以求出结论；
（2）根据条件得P的坐标和点到直线的距离公式可以直接求出结论；
（3）在直线y=-x+1任意取一点P，求出P点的坐标，然后代入点到直线的距离公式d＝  就可以求出结论。
 
 
22.【答案】 （1）解：∵ ＋|OA﹣1|＝0
∴OB2﹣4＝0，OA﹣1＝0，
∴OB＝2（负值舍去），OA＝1，
∴A的坐标为（1，0），B的坐标为（0，2），
设AB的解析式为y＝kx＋2，将点A的坐标代入得0＝k＋2，
∴k＝﹣2
∴y＝﹣2x＋2；

（2）解：存在，
设D的坐标为（x，0），
∵A的坐标为（1，0），B的坐标为（0，2），点C（﹣4，0），
∴AC＝5，
∴S△ABC＝ ＝5，
∵S△BCD＝ S△ABC ，
∴S△BCD＝ ＝ ，即 |x﹣（﹣4）|×2＝ ，
∴|x＋4|＝ ，
∴x＝﹣ 或x＝﹣ ，
∴D的坐标为（﹣ ，0）或（﹣ ，0）．
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质得到OA、OB的长，即可得到点A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）先求出得三角形ABC的面积，然后根据S△BCD＝  S△ABC得到关于x的方程，解方程求得x的值，即可求得D的坐标。
 
 
23.【答案】 （1）解：①如图1，过A作AE⊥CB于E，

在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，
∴AC＝ ＝12，
∵ ＝ ×AB×AC＝ ×BC×AE，
∴AE＝
＝ ，
根据垂线段最短可知当AP与AE重合时，AP的值最小，最小值为 ；
②如图2，

∵∠ABC＝90°，AB＝AC，
∴ ，
∵AC＝a，
∴ ，
∴AB＝ a或AB＝﹣ a（舍去），
∴AB＝ a；

（2）解：作 关于 的对称点 过 作 于 交AB于 ，如图3，

则
则 最短，
为 中点， 为等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝2 ，∠BAC＝∠BCA＝45°， 为等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝ ，
 
同理可得： 为等腰直角三角形，
 
 
 
 PD＋PE的最小值为3．
【解析】【分析】（1）①过点A作AE垂直CB于E，依据三角形面积相等可求出， 再根据垂线段最短可知当AP与AE重合时AP的值最小，故可得结论；②根据勾股定理求解即可；
（2）作AH垂直AC，PE'垂直AH，DF'垂直AH交AB于T，可得PD+PE得最小值为DF'的长，由勾股定理求出DT和TF'的长即可得到结论。