冀教版八年级上册17.1 等腰三角形练习题

17.1等腰三角形同步练习冀教版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，已知中，厘米，厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米秒，则当与全等时，v的值为

A. 2厘米秒
B. 3厘米秒
C. 3厘米秒或4厘米秒
D. 2厘米秒或3厘米秒
 

2. 已知等腰三角形的两边长分别是5和11，则这个等腰三角形的周长为

A. 21 B. 16 C. 27 D. 21或27

3. 如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到若点恰好落在BC边上，且，则的度数为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，中，交BC于D，AE平分交BC于E，F为BC的延长线上一点，交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：；；：：AC；，其中正确的结论有个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 如图，在中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

6. 如图，中，，把沿AC翻折，使点B落在的位置，则关于线段AC的性质中，准确的说法是

A. 是边上的中线
B. 是边上的高
C. 是的角平分线
D. 以上三种性质都有
 

7. 下列说法正确的是

A. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B. 等腰三角形的两个底角相等
C. 顶角相等的两个等腰三角形全等
D. 等腰三角形一边不可以是另一边的2倍

8. 等腰三角形的一边长9cm，另一边长4cm，则它的周长是

A. 22 cm B. 17 cm C. 22cm或17cm D. 无法确定

9. 如图，，E为CD上一点，射线EF经过点A，若，则

A.
B.
C.
D.

10. 如图，BD是的角平分线，，垂足为若，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

11. 如图，若，则下列三角形能被一条直线分成两个小等腰三角形的是   

A.  B.  C.  D.

12. 如图，直线，以直线上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线、于点B、C，连接AC、若，则

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，中，，，AD是的角平分线，，则的最大值为______．

14. 已知中，，垂足为H，若，，则______．
15. 如图，在中，，，D为BC上任意一点，过点D作，，垂足分别为E，F，且，连接AD，则______．
    
    
    
    
     

16. 在中，，，点D在BC边上，连接AD，若为直角三角形，则的度数为__________
17. 如图，，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若，则下列结论正确
    是______填序号．
    ；
    是的平分线；
    是等腰三角形；
    的周长．
     

18. 如图，在中，，AO平分，OD垂直平分AB，将沿着EF折叠，使得点C与点O重合，，则______．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，中，，．
    求证：BD平分；
    若，，求的度数．
    
    
     

20. 在等腰中，，点D，E在射线BA上，，过点E作，交射线CA于点请解答下列问题：
    
    当点E在线段AB上，CD是的角平分线时，如图，求证：；提示：延长CD，FE交于点
    当点E在线段BA的延长线上，CD是的角平分线时，如图；当点E在线段BA的延长线上，CD是的外角平分线时，如图，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
    在、的条件下，若，则______．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，已知，，．
    
    尺规作图：在AC边上求作一点P，使保留作图痕迹，不写作法
    在中延长BP到Q，使，连接QC，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，中，，D在BC的延长线上，连接AD，E为AD中点．
    尺规作图：作的平分线，与线段AC交于点F，连接EF；
    根据中所作的图形，证明：．

23. 已知：如图，在中，，D是BC的中点，，，E，F分别是垂足，求证：．
    
    
     

24. 如图，在中，．
    已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：．
    以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接若，求的度数．

25. 如图，已知等腰中，，，于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，．
    求的度数；
    求证：点P在OC的垂直平分线上．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】分析
已知厘米，则，根据全等三角形的性质得出，或，进而算出时间t，再算出v即可．
本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，注意：全等三角形的对应边相等．
详解
解：设经过t秒后，与全等，
厘米，点D为AB的中点，
厘米，，
要使和全等，
当，厘米时，
则，
解得：，
厘米秒，
当，时，
，
，
，
，
厘米秒．
故选C．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，11，，三边关系不成立，
当等腰三角形的腰为11时，三边为5，11，11，三边关系成立，周长为．
故选：C．
根据腰为5或11，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据已知边那个为腰，分类讨论．
 

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】
解：，
，
，
将绕点A按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
故选C．

4.【答案】D
 

【解析】解：如图，AE交GF于M，

，，
，
，
；故正确；

平分交BC于E，
，
，
，
，
，
，
故正确；

平分交BC于E，
点E到AB和AC的距离相等，
：：CA；故正确，

，，
，
，
，
；故正确；
故选：D．
如图，根据三角形的内角和即可得到；根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得，变形可得结论；根据三角形的面积公式即可得到：：CA；根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到．
本题考查了角平分线的定义和性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．根据等腰三角形的性质，分别以的各顶点作为等腰三角形的顶点；分别作各边的垂直平分线即可得到答案．
【解答】
解：如图：

               
故选：D．
以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，就是等腰三角形；
以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点E，就是等腰三角形；
以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点F，就是等腰三角形；
以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点K，就是等腰三角形；
作AB的垂直平分线交AC于G，则是等腰三角形；
作BC的垂直平分线交AB于I，则和是等腰三角形．
作AC的垂直平分线交AB于M，则和是等腰三角形．
故选D．  

6.【答案】D
 

【解析】解：是沿直线AC翻折而成，
≌，
，，
是等腰三角形，AD是边的中线，
是边上的中线、边上的高、的角平分线．
故选：D．
根据图形翻折不变性的性质可知≌，是等腰三角形，故BC，再由等腰三角形三线合一的性质即可求解．
本题考查的是图形的翻折变换及等腰三角形的性质，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：A、等腰三角形的底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合，故选项错误；
B、等腰三角形的两个底角相等，故选项正确；
C、腰不一定相等，所以不一定是全等三角形，故选项错误；
D、腰可以是底的两倍，故选项错误．
故选：B．
根据等腰三角形的性质和判定以及全等三角形的判定方法即可一一判断．
本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，
，
不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；
当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，
此时符合三角形的三边关系定理，
此时等腰三角形的周长是，
故选：A．
分为两种情况：当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，看看是否符合三角形三边关系定理，再求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，熟知等腰三角形的性质及三角形三边的关系是解题的关键，注意要进行分类讨论．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：，
，
．
，
．
故选：D．
先根据得出，再由三角形外角的性质得出的度数，利用平行线的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据角平分线的定义和垂直的定义得到，，推出，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】
解：是的角平分线，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选C．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
考查了等腰三角形的判定方法以及三角形的内角和定理；进行尝试操作是解答本题的关键根据等腰三角形的判定对个选项逐一分析，只有不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
【解答】
解：中作的角平分线即可；
过A点作BC的垂线即可；
中以A为顶点AB为一边在三角形内部作一个72度的角即可；
只有选项不能被一条直线分成两个小等腰三角形．
故选B．  

12.【答案】B
 

【解析】分析
由可求得，由三角形的内角和定理可求得的度数，然后由平行线的性质可求得的度数．

详解
根据题意得：，
，
由三角形的内角和是可知．

直线，

，

故选B．

点睛

本题主要考查的是等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，求得的度数是解题的关键．

13.【答案】10
 

【解析】解：如图：延长AB，CD交点于E，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，；
，
，即；
，
，
当时，面积最大，
即最大面积．
故答案为10．

延长AB，CD交点于E，可证≌，得出，，则，当时，最大面积为20，即最大面积为10．
本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到是解题的关键．
 

14.【答案】或
 

【解析】解：当为锐角时，过点A作，交BC于点D，如图1所示．
，
，．
，，
，
，
．
当为钝角时，如图2所示．
，
，
．
故答案为：或．
当为锐角时，过点A作，交BC于点D，根据等腰三角形的性质可得出、，结合、可得出，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求出的度数，再根据三角形内角为即可求出的度数；当为钝角时，由可得出，利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质即可求出的度数．综上即可得出结论．
本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，分为锐角及为钝角两种情况考虑是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：过B作于H，

，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：
如图，作于根据，，，列等式，由此即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】或
 

【解析】

【分析】
本题考查等腰三角形的性质有关知识，根据题意可以求得和的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得的度数．
【解答】
解：在中，，，
，
点D在BC边上，为直角三角形，
当时，则，
，
当时，则
，
故答案为或．  

17.【答案】
 

【解析】解：中，，，
，
故正确；
是AB的垂直平分线，
，
，
，
，
是的平分线；
故正确；
，，
，
，
，
是等腰三角形；
故正确；
，
的周长，
故正确；
故答案为：．
由中，，，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，即可求得的度数；又由线段垂直平分线的性质，易证得是等腰三角形，继而可求得与的度数，证得BD是的平分线，然后由，，证得，易证得是等腰三角形，个等量代换即可证得的周长．
本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】解：连接OB、OC，

垂直平分AB，
，
，
平分，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
由折叠知，，
，
，
，
，
，
由折叠知，，，
，
．
故答案为：．
连接OB、OC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，再由角平分线条件与等腰三角形的条件证明≌，得，得，根据折叠性质得，进而求得，再由三角形内角和定理，求得，进而由等腰三角形的性质求得，再由折叠性质求得结果．
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，，，
，
，
，
，
平分；
设，则，
，，BD平分，
，，
，
，
，
，
，
，
解得，，
，
即的度数是．
 

【解析】要证明BD平分，只要证明即可，根据题目中的条件和三角形外角和内角的关系，可以证明，从而可以证明结论成立；
根据中的结论和题意，利用三角形内角和可以求得的度数．
本题考查等腰三角形的性质、三角形的外角和内角的关系、三角形的内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】18或6
 

【解析】解：如图，延长CD，FE交于点M．
，，
，
，
，
，，
又，
，
，
又，
≌，
，
，
即；

当点E在线段BA的延长线上，CD是的角平分线时，，
如图，延长CD，EF交于点M．
由同理可证≌，
，
由证明过程同理可得出，，
；

当点E在线段BA的延长线上，CD是的外角平分线时，．
如图，延长CD交EF于点M，
由上述证明过程易得≌，，，
又，
，
，
，
，
；


或6，
当时，图中，由得：，，
；
图中，由得：，，
；
图中，DE小于AE，故不存在．
故答案为18或6．
延长CD，FE交于点利用AAS证明≌，得到，并利用角平分线加平行的模型证明，，从而得证；
延长CD，EF交于点类似于的方法可证明当点E在线段BA的延长线上，CD是的角平分线时，，当点E在线段BA的延长线上，CD是的外角平分线时，；
先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案．
本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．
 

21.【答案】解：如图，点P即为所求，

证明：如图：

，
 ， 
，
 ，
 ，
，
，
 ．
 

【解析】本题考查的是基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形斜边的中线有关知识．
根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使即可；
根据题意作出图形，利用得出，然后再利用三角形外角的性质得出，再利用直角三角形斜边的中线得出，最后利用三角形内角和定理得出，然后解答即可．
 

22.【答案】解：如图，BF即为的平分线；

证明：由中所作的图形可知：
BF平分，
，
，
为AD中点．
，
是的中位线，
，
即．
 

【解析】作的平分线，与线段AC交于点F，连接EF即可；
根据等腰三角形的三线合一可得点F是AC的中点，再根据三角形的中位线定理即可证明．
本题考查了作图基本作图、平行线的判定、等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用三角形中位线定理．
 

23.【答案】证明：，
，
，，
，
是BC的中点，
，
≌，
，
，
，
即．
 

【解析】根据AAS可证明≌，即可得出，再由等式的基本性质得出．
本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．
 

24.【答案】解：线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，
，
，
，
；

根据题意可知，
，
，，
，
，
，
．
 

【解析】根据线段垂直平分线的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的外角性质即可证得；
根据题意可知，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和公式即可解答．
本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质以及三角形的外角性质，难度适中．
 

25.【答案】解：如图1，连接OB，
，，
，，
，
，
，
，，
；
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
点P在OC的垂直平分线上．
 

【解析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
利用等边对等角，即可证得：，，则，据此即可求解；
证明且，即可证得是等边三角形，进而解答即可．