2021学年6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质教案

正弦函数和余弦函数的图像与性质

【教学目标】

1．理解正弦函数、余弦函数的概念；

2．熟悉将单位圆上的正弦线转化为正弦函数的图像，并利用诱导公式得到图像的过程；余弦函数的情况类似；

3．会用“五点法”绘制正弦函数、余弦函数在一个周期内的图像，掌握这两个函数的图形特征；

4．理解函数的图像可由的图像经由平移后得到。

【教学重难点】

1．重点：

（1）正弦函数与余弦函数的图像；

（2）“五点法”绘制正弦函数与余弦函数在一个周期内的大致图像。

2．难点：余弦函数的图像与正弦函数的图像之间的关系

【教学过程】

（一）复习引入

1．复习

（1）函数的概念。

在某个变化过程中有两个变量、，若对于在某个实数集合内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，则就是的函数，记作，。

（2）三角函数线

设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，设它与角的终边（当在第一、四象限角时）或其反向延长线（当为第二、三象限角时）相交于。

规定：当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；

当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；

当与轴同向时为正值，当与轴反向时为负值；

根据上面规定，则，

由正弦、余弦、正切三角比的定义有：

；

；

；

这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线。

（二）讲授新课

问题驱动（1）结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由。

1．正弦函数、余弦函数的定义

（1）正弦函数：；

（2）余弦函数：

问题驱（2）如何做出正弦函数、余弦函数的函数图像？

2．正弦函数的图像。

（1）的图像。

方案1、代数描点法

步骤1：列表——查三角函数表得三角函数值；

步骤2：描点——描点；

步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点。

小结：由于表中部分值只能取近似值，再加上描点时的误差，所以画出的图像误差大。

方案2——几何描点法

步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值；

步骤2：描点——平移定点，即描点；

步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点。

方案3——五点法

步骤1：列表——列出对图像形状起关键作用的五点坐标；

步骤2：描点——定出五个关键点；

步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结五个点

小结：的五个关键点是、、、、。

（2）的图像

由，所以函数在区间

上的图像与在区间上的图像形状一样，只是位置不同。

于是我们只要将函数的图像向左、右平行移动（每次平行移动个单位长度），就可以得到正弦函数的图像。

3．余弦函数的图像

（1）的图像

方案1——几何描点法

步骤1：等分、作余弦线——将单位圆等分，作三角函数线（余弦线）得三角函数值；

步骤2：描点——竖立、平移定点，即描点；

步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点

方案2——五点法

步骤1：列表——列出对图像形状起关键作用的五点坐标；

步骤2：描点——定出五个关键点；

步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结五个点

小结：的五个关键点是、、、、。

（2）的图像

由，所以函数在区间

上的图像与在区间上的图像形状一样，只是位置不同。

于是我们只要将函数的图像向左、右平行移动(每次平行移动个单位长度)，就可以得到正弦函数的图像。

另法——图像平移法

由，可知只须将的图像向左平移即可。

注：正弦函数、余弦函数的作图

（1）代数描点法（误差大）；

（2）几何描点法（精确但步骤繁）；

（3）五点法（重点掌握）；

（4）平移法。

（三）例题举隅

例1．

（1）做出函数的大致图像；

（2）做出函数的大致图像。

解：

（1）①列表

②描点

在直角坐标系中，描出五个关键点：

、、、、；

③连线

（2）①列表

②描点

在直角坐标系中，描出五个关键点：

、、、、；

③连线

练习：

做出函数的大致图像，并分别写出使与的的取值范围。

解：当时，；

当时，。

（四）课时小结

1．数学知识：正弦函数和余弦函数的图像。

2．数学思想方法：数形结合、转化与化归。