沪教版高中一年级 第二学期6.2正切函数的图像与性质教案

正切函数的图像与性质

【教学内容】

本节内容是学生在学习了正弦、余弦函数图像及基本性质以后的知识，学生已经对三角函数性质的讨论方法已经有了一个比较清晰的认识。利用余切函数与正切函数的倒数关系，可获得余切函数的图像。再通过图像来认识余切函数的性质。重点还是正切函数图像及性质。本节进一步通过实际应用来巩固对正切函数性质的理解与掌握是学习主线。

【教学目标】

1．学生自主研究余切函数的图像与性质。

2．准确写出正切函数的周期、奇偶性、单调区间。

3．通过练习与训练体验正切函数基本性质的应用。

【教学重难点】

（1）重点：正切函数基本性质的应用。

（2）难点：体验用类比的方法、手段研究余切函数的图像与性质。

【教学过程】

（一）复习引入

1．复习

我们在前一节中学习了正切函数的图像及性质，下面我们一起回顾有关知识点（教师板演）。同时提出余切函数的图像与性质会是怎样的？

2．引入

因为，所以可借助正切函数来研究余切函数的图像及性质。

（二）学习新课

1．探究余切函数的图像及性质

余切函数的图像

观察余切函数的图像，引导学生得余切函数的性质：

（1）定义域：

（2）值域：R

（3）周期性：

（4）奇偶性：奇函数。

（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。

说明

在考虑余切函数单调性的时候，一定要讲在的每一个单调区间上是减函数，而不能讲它在定义域上是减函数，请同学们与正切函数比较、思考并说明之。

2．典型例题分析

例1．比较与的大小；

误解：∵，而是单调减函数，

∴

正解：    而在是单调减函数，∴，即

说明：比较大小一定要注意两自变量是否在同一单调区间内。

例2．求函数的单调区间，并指出单调性。

误解：由得到单调增区间。

正解：（略）

[说明]型函数要注意的正负。

例3．求函数的最小正周期：

分析：（）的最小正周期为

解：（略）

小结：1．求单调区间、最小正周期问题努力化成（）型后在进一步求解（要注意的正负）

2．余切函数有完全类似的应用。

3．问题拓展

例4．作函数的图像

解：化为 图像如图所示。

说明：数形结合知是偶函数、不是周期函数。又、可作为课后思考。

例5．设足球场宽65米，球门宽7米，当足球运动员沿边路带球突破，距底线多远处射球门，对球门所张的角最大。（保留两位小数）

解：如图， 米，由球场宽米，

可知米，米，设足球

运动员在边线上的点处射球门，

，显然越大，

越有利于射门，设点与底线的距离为米，则，

当且仅当，即时，取最大值，因为当时，为增函数，所以当9（米）时，取最大值，此时对球门的张角最大，有利于提高射门的命中率。

（三）课内巩固练习

求函数的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期。

（四）课堂小结

1．主要是（）型（要注意的正负）函数奇偶性、单调性的应用。

2．进行数学建模，把一个实际问题转化为数学问题，把握好三种语言的转化：文字语言图形语言符号语言。

（五）课外巩固练习

1．某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线OC，塔高BC=80（米），山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线且点P在直线上，与水平地面的夹角为，且。试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大（不计此人的身高）？

解：如图所示，建立平面直角坐标系，则，，。

直线的方程为，即。

设点的坐标为，则（）

由经过两点的直线的斜率公式

，

。

由直线到直线的角的公式得

（）

要使达到最大，只须达到最小。

由均值不等式。当且仅当时上式取等号。故当时最大。这时，点的纵坐标为。

由此实际问题知，，所以最大时，最大。故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角最大。

【教学反思】

本节课是在学生已经掌握了正弦函数、余弦函数、正切函数的图像及性质的前提下，进一步分析和探究余切函数图像和性质及正切函数的图像和性质的应用。因为对于三角函数的研究方法学生已经基本掌握。因此，在实际学习的过程中，学生对通过函数图像研究、观察得函数性质再证明的研究步骤和手段不会感到很陌生，所以淡化了余切函数图像和性质的理论教学。考虑到余切函数与正切函数之间的倒数的关系，所以选取的例题以正切函数为主，重点在于让学生通过解答来理解性质，应用性质，体会到知识的价值取向。

本节课在教学技术上没有做媒体课件，主要原因是所涉及到的问题主要是静态的，教师的良好的板书可吸引学生的注意力。当然，做电子黑板可能会增加一点课堂容量，但也要考虑学生的接受能力与速度。

在例题的设计上从最基本的利用单调性比较大小出发，到函数性质的简单应用，再到单调性和周期性的变式训练，由浅入深，层层递进，以积极发挥课堂教学的基础型和研究型功能，培养学生的基础性学力和发展性学力。

在课堂教学中教师遵循“以学生为主体”的思想，鼓励学生善于观察和发现；鼓励学生积极思考和探究；鼓励学生大胆猜想，努力营造一个民主和谐、平等交流的课堂氛围，采取启发、对话式教学，调动学生学习的积极性，激发学生学习的热情，使学生能有一个较开阔的思维空间，让学生积极参与教学活动，提高学生的数学思维能力。