2022届新高考数学人教版一轮课件：第二章 第三节　函数的奇偶性与周期性

这是一份2022届新高考数学人教版一轮课件：第二章 第三节　函数的奇偶性与周期性，共56页。PPT课件主要包含了存在一个最小，最小正数，ABC等内容，欢迎下载使用。

知识点一　函数的奇偶性
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
　• 温馨提醒 •二级结论1．函数奇偶性的几个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．(4)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性．
2．有关对称性的结论(1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称．若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．(2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称．
必明易错1．判断函数的奇偶性时，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．3．判定分段函数的奇偶性时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
3．(易错题)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋4x－3，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________________.
知识点二　函数的周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期．
f(x＋T)＝f(x)
2．对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个周期．　
2．(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是(　　)A．f(x)·g(x)是偶函数B．|f(x)|·g(x)是奇函数C．f(x)·|g(x)|是奇函数D．|f(x)·g(x)|是偶函数
解析：对于A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，函数是奇函数，故A错误；对于B，|f(－x)|·g(－x)＝|f(x)|·g(x)，函数是偶函数，故B错误；对于C，f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，函数是奇函数，故C正确；对于D，|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)·g(x)|，函数是偶函数，故D正确．
解析：法一：(定义法)取x＞0，则－x＜0，∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．取x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)．又f(0)＝0，∴f(x)为奇函数．
1.判断函数奇偶性的两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以将问题转化为f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.
题型二　函数的周期性　　自主探究1．(多选题)(2021·山东模拟)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则(　　 )A．f(x)为奇函数B．f(x)为周期函数C．f(x＋3)为奇函数D．f(x＋4)为偶函数
解析：因为f(x＋1)，f(x＋2)均为奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x＋2)＝－f(x＋2)．在f(－x＋1)＝－f(x＋1)中，以x＋1代换x，得f(－x)＝－f(x＋2)，又f(－x＋2)＝－f(x＋2)，所以f(－x)＝f(－x＋2)，以－x代换x，得f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，选项B正确；由f(－x＋2)＝－f(x＋2)，得f(－x＋2)＝－f(x)，以－x代换x，得f(x＋2)＝－f(－x)，得f(x)＝－f(－x)，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，选项A正确；f(x＋3)＝f(x＋1)，f(x＋1)为奇函数，故f(x＋3)为奇函数，选项C正确；f(x＋4)＝f(x＋2)＝f(x)，若f(x＋4)为偶函数，则f(x)也为偶函数，与f(x)为奇函数矛盾，故选项D不正确．
2．设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝2x－x2，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.答案：1 010
函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
题型三　函数性质的综合应用　　多维探究函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.
1.利用偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反、奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，实现不等式的等价转化．2.注意偶函数的性质f(x)＝f(|x|)的应用.
考法(二)　周期性与奇偶性的综合问题[例2]　(2021·龙岩模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，则实数a的取值范围是(　　)A．(－1,3)　　　　B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
[解析]　由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3.
此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
考法(三)　单调性、奇偶性与周期性的综合问题[例3]　已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________．
[解析]　据已知抽象函数关系式f(x＋4)＝f(x)＋f(2)可得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，又函数为偶函数，故有f(2)＝f(－2)＋f(2)＝2f(2)⇒f(2)＝0，即①正确，因此f(x)＝f(x＋4)，即函数是以4为周期的周期函数，又函数为偶函数，其图象必关于y轴即直线x＝0对称，又其周期为4，故x＝－4也为函数图象的一条对称轴，即②正确；又已知函数在区间[0,2]上单调递减，故将其图象沿x轴向右平移2个周期长度单位，其单调性不变，即在
区间[8,10]上也单调递减，故③错误；如图所示，若方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上有两根，则此两根必关于直线x＝－4对称，即x1＋x2＝－8，故④正确，综上所述，命题①②④正确．[答案]　①②④
　对于与函数性质结合的题目，函数的周期性有时需要通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．因此在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
[题组突破]1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)A．[－1,1]∪[3，＋∞)B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞)D．[－1,0]∪[1,3]
解析：因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则(　　)A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
3．(多选题)(2021·山东日照联考)已知定义在R上的函数f(x)满足条件f(x＋2)＝－f(x)，且函数f(x－1)为奇函数，则(　　)A．函数f(x)是周期函数B．函数f(x)的图象关于点(－1,0)对称C．函数f(x)为R上的偶函数D．函数f(x)为R上的单调函数
解析：因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)是周期函数，A正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以函数f(x－1)的图象关于原点中心对称，所以f(x)的图象关于点(－1,0)对称，B正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，又f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝f(－x－1)，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为R上的偶函数，C正确；因为函数f(x－1)为奇函数，所以f(－1)＝0，又函数f(x)为R上的偶函数，所以f(1)＝0，所以函数f(x)不单调，D不正确．
(一)逻辑推理、数学运算——奇偶函数的二级结论及应用结论一：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c.结论二：若函数f(x)是奇函数，则函数g(x)＝f(x－a)＋h的图象关于点(a，h)对称．结论三：若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．
此类问题求解的关键是从所给函数式中分离(或变形)出奇函数，进而得出图象的对称中心，然后利用图象的对称性实现问题的求解．
[例2]　(2021·永州模拟)已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.[答案]　0
　由上述例题可知，这类问题的求解关键在于观察函数的结构，构造出一个奇函数．有些问题是直观型的，直接应用即可，但有些问题是复杂型的，需要变形才能成功.