高中数学北师大版必修52三角形中的几何计算学案

§2　三角形中的几何计算

三角形中的几何计算

阅读教材P54～P55“练习”以上部分完成下列问题．

(1)三角形中的几何计算主要涉及长度、角度、面积问题．

(2)在△ABC中，有以下常用结论：

①a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b；

②a＞b⇔A＞B⇔sin_A＞sin_B；

③A＋B＋C＝π，＝－；

④sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C，sin＝cos，cos＝sin.

思考：(1)若角A是三角形ABC中最大的角，则角A的范围是什么？

[提示]　≤A＜π.

(2)在△ABC中，若A＝，则角B的取值范围是什么？

[提示]　0＜B＜.

1．在△ABC中，a＝2，A＝30°，则△ABC外接圆的半径为(　　)

A．4　　　　　　 B．2

C．2 D．

B　[由正弦定理得2R＝＝＝4，故R＝2.]

2．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于(　　)

A．12  B．

C．28 D．6

D　[由余弦定理可得cos A＝，A＝60°，所以S△ABC＝bcsin A＝6.]

3．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则(　　)

A．A＝30° B．A＝60°

C．A＝30°或150° D．A＝60°或120°

D　[由S△ABC＝bcsin A＝，

得sin A＝，sin A＝，

由0°<A<180°，知A＝60°或A＝120°.]

4．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为________．

45°　[因为a2＝b2＋c2－2bccos A，又已知a2＋4S＝b2＋c2，故S＝bccos A＝bcsin A，从而sin A＝cos A，tan A＝1，A＝45°.]

【例1】　在△ABC中，已知B＝30°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6.

(1)求∠ADC的大小；

(2)求AB的长．

[解]　(1)在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得

cos∠ADC＝＝＝－，

∴∠ADC＝120°.

(2)由(1)知∠ADB＝60°，在△ABD中，

AD＝10，B＝30°，∠ADB＝60°，

由正弦定理得＝，

∴AB＝＝＝＝10.

求线段的长度与角度的方法

(1)求线段的长度往往归结为求三角形的边长，解决此类问题要恰当地选择或构造三角形，利用正、余弦定理求解；

(2)求角度时，把所求的角看作某个三角形的内角，利用正、余弦定理求解，或利用A＋B＋C＝π求解．

1．如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．

[解]　在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，

设BD＝x，则有142＝102＋x2－2×10xcos 60°，

∴x2－10x－96＝0，

∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.在△BCD中，由正弦定理知＝，

∴BC＝·sin 30°＝8.

【例2】　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

[解](1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.

在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccos，

即c2＋2c－24＝0.

解得c＝－6(舍去)，c＝4.

(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.

故△ABD面积与△ACD面积的比值为

＝1.

又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，

所以△ABD的面积为.

三角形面积公式的应用

(1)三角形面积公式的选取取决于三角形中哪个角已知或可求，或三角形中哪个角的正弦值可求．

(2)在解决三角形问题时，面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A最常用，因为公式中既有角又有边，容易和正弦定理、余弦定理联系起来应用．

2．在△ABC中，A，B，C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边，已知b2＋c2－a2＝bc．若a＝，且△ABC的面积为3，求b＋c的值．

[解]　cos A＝＝＝，

又A为三角形内角，所以A＝.

由面积公式得：

bcsin＝3，即bc＝12.

因为a＝，由余弦定理得：

b2＋c2－2bccos＝13，即b2＋c2－bc＝13，

则b2＋c2＝25，所以(b＋c)2＝49，故b＋c＝7.

[探究问题]

1．在△ABC中有哪些常用的结论？(三条即可)

[提示]　(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)sin＝cos；(3)cos(A＋B)＝－cos C．

2．在△ABC中，如何用sin A，cos A，sin B，cos B表示sin C?

[提示]　sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B．

【例3】　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.

(1)证明：sin Asin B＝sin C；

(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B．

[解]　(1)证明　根据正弦定理，可设

＝＝＝k(k＞0)，

则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，

代入＋＝中，有

＋＝，变形可得

sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．

在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C．所以sin Asin B＝sin C．

(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有

cos A＝＝.

所以sin A＝＝.

由(1)知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，

所以sin B＝cos B＋sin B．

故tan B＝＝4.

1．(变结论)在例3中，若a＝2，求△ABC的面积．

[解]由例3(2)解答可知sin B＝cos B＋sin B，

即cos B＝sin B，又sin2B＋cos2B＝1，解得sin B＝，

由正弦定理得b＝＝，

则S△ABC＝absin C＝absin Asin B＝×2×××＝.

2．(变条件)把例3的条件变为“cos 2C－cos 2A＝2sin·sin”，

(1)求角A的值；

(2)若a＝且b≥a，求2b－c的取值范围．

[解]　(1)由已知得2sin2A－2sin2C＝

2，

化简得sin A＝±，因为A为△ABC的内角，

所以sin A＝，故A＝或.

(2)因为b≥a，所以A＝.

由正弦定理得＝＝＝2，

得b＝2sin B，c＝2sin C，

故2b－c＝4sin B－2sin C

＝4sin B－2sin＝3sin B－cos B＝2sin.

因为b≥a，所以≤B＜，则≤B－＜，

所以2b－c＝2sin∈[，2)．

正、余弦定理综合应用技巧

(1)理清题目所给条件，利用正、余弦定理沟通三角形中的边与角之间的数量关系；

(2)紧紧抓住正、余弦定理，依托三角恒等变换和代数恒等变换，将复杂的三角式或代数式转化为简单问题来计算或证明．

1．正弦定理、余弦定理主要用来解决三角形问题，有些平面几何问题通过转化变为解三角形问题，便需要用正弦定理、余弦定理解决．解决时抓住两点：①合理的运用题目中的三角形资源，②尽量将所有的条件集中到某个三角形之中，会使问题更容易解决．

2．三角形面积计算的解题思路

对于此类问题，一般要用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B进行求解，可分为以下两种情况：

(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积．

(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正弦、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若△ABC的外接圆半径为R，其三边长为a，b，c，则△ABC的面积S＝.(　　)

(2)存在△ABC，使sin A＋sin B＜sin C．(　　)

(3)在△ABC中，cos C＝2sin2－1.(　　)

[答案]　(1)√　(2)×　(3)√

[提示]　(1)，(3)正确，(2)错误．因为a＋b＞c，由正弦定理可得sin A＋sin B＞sin C．

2．在△ABC中，周长为7.5 cm，且sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，下列结论：

①a∶b∶c＝4∶5∶6；②a∶b∶c＝2∶∶；

③a＝2 cm，b＝2.5 cm，c＝3 cm；④A∶B∶C＝4∶5∶6.

其中成立的个数是(　　)

A．0个　　　　 B．1个

C．2个 D．3个

C　[由正弦定理知a∶b∶c＝4∶5∶6，故①对，②错，④错；结合a＋b＋c＝7.5，知a＝2，b＝2.5，c＝3，∴③对，∴选C．]

3．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为

(　　)

A．   B．

C． D．9

C　[设a＝2，b＝3，cos C＝，则c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋9－2×2×3×＝9，即c＝3，又由cos C＝得sin C＝，则2R＝＝＝，R＝.]

4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．

[解]　在△ABC中，由余弦定理，有

cos C＝

＝＝，

则C＝30°.

在△ACD中，由正弦定理，有

＝，

∴AD＝＝＝，

即AD的长度等于.