高中数学北师大版必修5第二章 解三角形2三角形中的几何计算教学设计及反思

第八课时 §2.3.3解三角形应用举例（三）

一、教学目标

1、知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题。

2、过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的2道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分体现学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。

3、情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。

二、教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。

教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

Ⅰ.课题导入

[创设情境]

提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。

Ⅱ.探析新课

[范例讲解]

例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1,距离精确到0.01n mile)

学生看图思考并讲述解题思路

教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角ABC，即可用余弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角CAB。

解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，

AC= =

  ≈113.15

根据正弦定理, = 

 sinCAB = = ≈0.3255,所以 CAB =19.0,75- CAB =56.0

答:此船应该沿北偏东56.1的方向航行,需要航行113.15n mile

例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。

师：请大家根据题意画出方位图。

生：上台板演方位图（上图）

教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法，让学生动手练习，请三位同学用三种不同方法板演，然后教师补充讲评。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10，ADC =180-4，

 = 。 因为   sin4=2sin2cos2 cos2=,得   2=30

 =15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m

解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h在 RtACE中,(10+ x) + h=30

 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15

在 RtACE中,tan2==2=30,=15

 答：所求角为15，建筑物高度为15m

例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。

解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,

ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos

化简得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC = 10x =15,AB =14x =21,

又因为sinBAC ===BAC =38,或BAC =141（钝角不合题意，舍去），38+=83

答：巡逻艇应该沿北偏东83方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解

Ⅲ.课堂练习：课本本节练习题。

Ⅳ.课时小结：解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

Ⅴ.课后作业：1、课本习题2-3    A组第9、10、11题

2、我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？

五、教后反思：