【中考冲刺】初三数学培优专题 08 二次函数（含答案）（难）

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二次函数
阅读与思考
二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主要知识与方法有：
1. 二次函数解析式的系数符号，确定图象的大致位置.
2. 二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与有关，与（，）决定抛物线对称轴与顶点的位置.
3. 二次函数的解析式通常有下列三种形式：
①一般式：；
②顶点式：；
③交点式：，其中，为方程的两个实根.
用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.

例题与求解
【例1】 二次函数的图象如图所示，现有以下结论：①；②；③；④；⑤. 其中正确的结论有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（天津市中考试题）
解题思路：由抛物线的位置确定，，的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.

【例2】 若二次函数(≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（－1，0），则的值的变化范围是（ ）
A. 0＜S＜1 B. 0＜S＜2 C. 1＜S＜2 D. －1＜S＜1
（陕西省竞赛试题）
解题思路：设法将S表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S的值的变化范围.


【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.
在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会失误.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米. 此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由. （河北省中考试题）
解题思路：对于（2），判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为米时，该运动员与跳台的垂直距离.

【例4】 如图，在直角坐标xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，），且在轴上截得的线段AB的长为6.
（1）求二次函数的解析式；
（2）在轴上求作一点P（不写作法），使PA＋PC最小，并求P点坐标；
（3）在轴的上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q，A，B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由. （泰州市中考试题）
解题思路：对于（1）、（2），运用对称方法求出A，B，P点坐标；对于（3），由于未指明对应关系，需分类讨论.





【例5】 如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF＝2，BF＝1. 试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积. （辽宁省中考试题）
解题思路：设DN＝PM＝，矩形PNDM的面积为，建立与的函数关系式. 解题的关键是：最值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.



【例6】 将抛物线沿轴翻折，得抛物线，如图所示.
（1）请直接写出抛物线的表达式.
（2）现将抛物线向左平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线向右也平移移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与轴的交点从左到右依次为D，E.
①当B，D是线段AE的三等分点时，求的值；
②在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由. （江西省中考试题）
解题思路：把相应点的坐标用的代数式表示，由图形性质建立的方程. 因值不确定，故解题的关键是分类讨论.



能力训练
A级
1. 已知抛物线的顶点在坐标轴上，则的值为__________.
2. 已知抛物线与轴交于点A，与轴正半轴交于B，C两点，且BC＝2，＝3，则＝____________. （四川省中考试题）


3. 已知二次函数的图象如图所示.
（1）这个二次函数的解析式是＝_________；
（2）当＝________时，；
（3）根据图象回答，当_______时，. （常州市中考试题）
4. 已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_______________. （安徽省中考试题）
5. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致是（ ）

A B C D
6. 由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数的图象过点（1，0）……求证：这个二次函数的图象关于直线对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是（ ）
A. 过点（3，0） B. 顶点是（2，－2）
C. 在轴上截得的线段长度是2 D. 与轴的交点是（0，3）
（盐城市中考试题）
7. 如图，抛物线与两坐标轴的交点分别是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系式不能总成立的是（ ） （大连市中考试题）
A. B. C. D.

第7题图 第8题图
8. 如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0. 1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（ ）
A. 9. 2米 B. 9. 1米 C. 9米 D. 5. 1米
（吉林省中考试题）


9. 如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O，A两个观测点测得空中固定目标C的仰角分别为α和β，OA＝1千米，tanα＝, tanβ＝,位于O点正上方千米D点处的直升机向目标C发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中E点）.
（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；
（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.
（河北省中考试题）


10. 如图，已知△ABC为正三角形，D，E分别是边AC、BC上的点（不在顶点），∠BDE＝60°.
（1）求证：△DEC∽△BDA；
（2）若正三角形ABC的边长为6，并设DC＝，BE＝，试求出与的函数关系式，并求BE最短时，△BDE的面积.


11. 如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA且OB＝2OA，点A的坐标是（－1，2）.
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A，O，B的抛物线的解析式；
（3）连结AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使. (陕西省中考试题)





12. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（3，0），B（0，－3）两点，点P是直线AB上一动点，过点P作轴的垂线交抛物线于点M. 设点P的横坐标为t；（1）分别求直线AB和这条抛物线的解析式；
（2）若点P在第四象限，连结BM，AM，当线段PM最长时，求△ABM的面积；
（3）是否存在这样的点P，使得以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由. （南宁市中考试题）


B级
1. 已知二次函数的图象顶点与坐标原点的距离为5，则＝________.
2. 如图，四边形ABCD是矩形，A，B两点在的正半轴上，C，D两点在抛物线上. 设OA的长为(0＜＜3). 矩形ABCD的周长为，则与的函数解析式为__________________.
（昆明市中考试题）

第2题图 第3题图 第4题图
3. 如图，在⊙O的内接△ABC中，AB＋AC＝12，AD⊥BC，垂足为D（点D在边BC上），且AD＝3，当AB的长等于________时, ⊙O 的面积最大，最大面积为___________.
4. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点A（－2，4），B（8，2），则能使成立的的取值范围时______________. (杭州市中考试题)
5. 已知函数的图象如下图所示，则函数的图象只可能是（ ）

（重庆市中考试题）

A B C D
6. 已知二次函数的图象如图所示，则下列6个代数式：，，，，，中，其值为正的式子个数为 ( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 4个以上
（全国初中数学联赛试题）

7. 已知抛物线（≠0）的对称轴是，且经过点P(3,0)则的值为（ ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
8. 已知二次函数（）的对称轴是，且当时，二次函数的值分别时，那么的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知抛物线与轴交于两点A，B，与轴交于C点，若△ABC是等腰三角形，求抛物线的解析式. （“新世纪杯”初中数学竞赛试题）
10. 如图，已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，－1），点P是抛物线上的一个动点.
（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的位置关系；
（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为Q，连结NP，NQ，求证：∠PNM＝∠QNM.
（全国初中数学竞赛试题）

11. 已知函数的图象与轴相交于相异两点A，B，另一抛物线过点A，B，顶点为P，且△APB是等腰直角三角形，求，，的值. （天津市竞赛试题）











12. 如图1，点P是直线上的点，过点P的另一条直线交抛物线于A，B两点.
（1）若直线的解析式为，求A，B两点的坐标；
（2）如图2，①若点P的坐标为（－2，t），当PA＝AB时，请直接写出点A的坐标；②试证明：对于直线上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PA＝AB成立；
（3）如图3，设直线交轴于点C，若△AOB的外心在边AB上，且∠BPC＝∠OCP，求点P的坐标.
（武汉市中考试题）

图1 图2 图3














二次函数
例1　C．
提示：③④⑤成立．
对于④，当＝－l时，＝＜0，∴＜．又∵＝1，则＝代入上式，得＜；
对于⑤，当＝1时，＝，∴＞，则＞（≠1）．
例2　B．
提示：S＝，＞0，＝，＜0．
例3　（1）O（0，0），B（2，—10），＝．
（2）＝＝时，＝，此时运动员距水面的高为10－＝＜5，故此次试跳会出现失误．
例4　（1）＝；
（2）P（0，）；
（3）由点点A（l，0），C（4，），B（7，0）得∠BAC＝∠ABC＝30°，∠ACB＝120°．
①若以AB为腰，∠BAQ为顶角，使△ABQ∽△CBA，则Q（－2，）；
②若以BA为腰，∠ABQ′为顶角，由对称性得另一点Q′（10，）；
③若以AB为底，AQ、BQ为腰．则Q点在抛物线的对称轴上，舍去．
例5　由＝，得＝，∴NP＝，∴＝＝（2≤≤4）．∵随的增大而增大，∴当＝4时，有最大值为＝12．
例6　（l）＝．
（2）①令＝0，得＝－1，＝1，则抛物线与轴的两个交点坐标为（－1，0），（1，0）．∴A（，0），B（，0）．同理可得D（，0），E（，0）．当AD＝AE时，如图1，＝，∴＝．当AB＝AE时，如图2，＝，∴＝2．∴当＝或2时，B、D是线段AE的三等分点．
图1
图2











②存在．连结AN、NE、EM、MA，依题意可得M（，），N（，），即M、N关于原点O对称，∴OM＝ON．∵A（，0），E（，0）．∴A、E关于原点O对称，∴OA＝OE．∴四边形ANEM为平行四边形．要使平行四边形ANEM为矩形，必须满足OM＝OA，即＝，∴＝1．∴当＝1时，以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形．
A级
1．－2，4或－8．
2．－4
3．（l）；（2〉3或－1；（3）＜0或＞2．
4．＝或＝．
提示：另一交点为（－1，0）或（1，0）．
5．D．
6．B．
7．D．
8．B．



9．（1）＝