高中数学人教A版必修第一册模块复习课04 指数函数与对数函数（章节强化训练）含解析

[对应学生用书P126]

[对应学生用书P126]

一、指数与对数运算

1．指数与对数的运算应遵循的原则

(1)指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算. 另外，若出现分式，则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的．

(2)对数式的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行．

2．底数相同的对数式化简的两种基本方法

(1)“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．

(2)“拆”：将积(商)的对数拆成对数的和(差)．

[训练1]　设3x＝4y＝36，则＋的值为(　　)

A．6　 B．3　

C．2　 D．1

D　[因为3x＝36,4y＝36，所以x＝log336，y＝log436，从而有＝log363，＝log364，所以＋＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝1.]

[训练2]　计算：＝________.

解　原式＝＝＝.

答案　

[训练3]　计算(0.027)－－－2＋－(－1)0.[来源:学&科&网]

解　原式＝(0.33) －－72＋－1＝－49＋－1＝－45.

二、指数、对数函数的图象问题

函数图象的画法

[训练4]　若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数正确的是(　　)

B　[由函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象可知，a＝3，所以，y＝a－x＝3－x，y＝(－x)3＝－x3及y＝log3(－x)，这三个函数均为减函数，只有y＝x3是增函数．]

[训练5]　对a>0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________．

解析　y＝ax的图象恒过点(0,1)，y＝ax＋1－2是由y＝ax向左平移1个单位，向下平移2个单位得到，故过点(－1，－1)．

答案　(－1，－1)

[训练6]　方程log2(x＋2)＝的实数解有(　　)

A．0个　 B．1个　

C．2个　 D．3个

B　[令y1＝log2(x＋2)，y2＝，分别画出两个函数图象，如图所示：

函数y1＝log2(x＋2)的图象是由函数y1＝log2x的图象向左平移2个单位长度得到. 函数y2＝的图象是由幂函数y＝x的图象关于y轴对称得到. 由图象可知，显然y1与y2有一个交点．]

三、比较大小问题

比较函数值的大小的一般步骤

(1)根据函数值的特征选择适当的函数．

(2)根据所选函数的单调性，确定两个函数值的大小．

(3)当两个函数值不能直接比较时，常选择两个对应函数，再进行比较．

(4)必要时，可先将函数值与特殊值0和1进行比较，最后确定它们的大小关系．

[训练7]　已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，则(　　)

A．x<y<z　 B．z<x<y

C．z<y<x　 D．y<z<x

D　[依题意，x＝ln π>ln e＝1，y＝log52<log5＝，

1＝e0>z＝e－>4－＝，于是有y<z<x.]

[训练8]　比较下列各组数的大小：

(1)40.9,80.48，－1.5；

(2)log20.4，log30.4，log40.4.

解　(1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5，

因为y＝2x在R上是增函数，所以40.9>－1.5>80.48.

(2)因为对数函数y＝log0.4x在(0，＋∞)上是减函数，

所以log0.44<log0.43<log0.42<log0.41＝0.

又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数，

所以<<，

即log20.4<log30.4<log40.4.

四、指数函数、对数函数的性质问题

1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．

2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题，本章中，常设u＝logax或u＝ax，转化为一元二次方程、二次函数等问题要注意换元后的取值范围．

[训练9]　设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是(　　)

A．奇函数，且在(0,1)上是增函数

B．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C．偶函数，且在(0,1)上是增函数

D．偶函数，且在(0,1)上是减函数

A　[由题意可得，函数f(x)的定义域为(－1,1)，且f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．又f(x)＝ln＝ln，易知y＝－1在(0,1)上为增函数，故f(x)在(0,1)上为增函数．]

[训练10]　已知a>0，a≠1且loga3>loga2，若函数f(x)＝logax在区间[a,3a]上的最大值与最小值之差为1.

(1)求a的值；

(2)若1≤x≤3，求函数y＝(logax)2－loga＋2的值域．

解　(1)因为loga3>loga2，所以f(x)＝logax在[a,3a]上为增函数．

又f(x)在[a,3a]上的最大值与最小值之差为1，

所以loga(3a)－logaa＝1，即loga3＝1，所以a＝3.

(2)由(1)知，函数y＝(log3x)2－log3＋2＝(log3x)2－log3x＋2＝2＋.

令t＝log3x，因为1≤x≤3，

所以0≤log3x≤1，即0≤t≤1.

所以y＝2＋∈，

所以所求函数的值域为.

五、函数的零点与方程的解

函数的零点及判断个数的方法

(1)函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

(2)确定函数零点的个数有两个基本方法：一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断，二是判断区间(a，b)上是否有零点，可应用f(a)·f(b)与0的关系判断．

提醒：函数的零点是一个实数而非一个点，函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．

[训练11]　设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于(　　)

A．1　 B．2　

C．3　 D．4

A　[在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象，如图所示．

可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．]

[训练12]　函数y＝|x|－m有两个零点，则m的取值范围是________.

解析　在同一直角坐标系内，画出y1＝|x|和y2＝m的图象，如图所示，

由于函数有两个零点，故0<m<1.

答案　0<m<1

六、函数模型的建立

建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤

(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主、被动关系，并用x，y分别表示．

(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域．

(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．

[训练13]　某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．

(1)设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)．试求f(x)和g(x)；

(2)问：小张选择哪家比较合算？为什么？

解　(1)f(x)＝5x,15≤x≤40，

g(x)＝

(2)由f(x)＝g(x)得，，或

即x＝18或x＝10(舍)．

当15≤x<18时，f(x)－g(x)＝5x－90<0，

所以f(x)<g(x)，即选甲家；

当x＝18时，f(x)＝g(x)，既可以选甲家，也可以选乙家；

当18<x≤30时，f(x)－g(x)＝5x－90>0，

所以f(x)>g(x)，即选乙家；

当30<x≤40时，f(x)－g(x)＝5x－(2x＋30)

＝3x－30>0，

所以f(x)>g(x)，即选乙家．

综上所述，当15≤x<18时，选甲家；当x＝18时，可以选甲家，也可以选乙家；当18<x≤40时，选乙家．

[对应学生用书P201]

1．化简[(－)2]－，得(　　)

A．－　 B．　　

C．　　 D．－

C　[[(－)2] －＝3－＝＝.]

2．函数f(x)＝loga(4x－3)的图象过定点(　　)

A．(1,0)　 B．(1,1)　

C．　 D．

A　[令4x－3＝1，得x＝1.

又f(1)＝loga(4×1－3)＝loga1＝0，

故f(x)＝loga(4x－3)的图象过定点(1,0)．]

3．已知某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

[来源:Z.xx.k.Com]

D　[设原有荒漠化土地面积为a，由题意，得ay＝a(1＋10.4%)x.故其图象应如D项中图所示．]

4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(　　)

A．y＝ 　 B．y＝x＋

C．y＝2x＋　 D．y＝x＋ex

D　[令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而选项A，B，C中的函数依次是偶函数、奇函数、偶函数．]

5．已知函数f(x)＝x－log2x，若实数x0是函数f(x)的零点，且0<x1<x0，则f(x1)的值(　　)

A．恒为正　 B．等于0

C．恒为负　 D．不大于0

A　[因为函数f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数，

且f(x0)＝0，所以当x∈(0，x0)时，均有f(x)>0.

又因为0<x1<x0，所以f(x1)>0.]

6．函数y＝ln＋的定义域为________．

解析　列出函数有意义的限制条件，解不等式组．

要使函数有意义，需即

即解得0<x≤1，所以定义域为(0,1]．

答案　(0,1]

7．若函数f(x)＝ax－1的图象经过点(4,2)，则函数g(x)＝loga的图象是________．

解析　将点(4,2)代入f(x)＝ax－1，得2＝a4－1，解得a＝2>1. 又函数y＝在(－1，＋∞)上单调递减，所以g(x)单调递减且图象过点(0,0)，所以④正确．

答案　④

8．在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为________．

解析　设f(x)＝x3－2x－1，因为一根在区间(1,2)上，根据二分法的规则，取区间中点，因为f(1)＝－2<0，f＝－4<0，f(2)＝3>0，所以下一步可以断定该根所在区间是.

答案　

9．设a>0，f(x)＝＋在R上满足f(x)＝f(－x)．

(1)求a的值；

(2)求证f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(1)解　依题意，对一切x∈R，有f(x)＝f(－x)，

即＋＝＋aex.

所以＝0对一切x∈R成立，

由此可得a－＝0，即a2＝1.

又因为a>0，所以a＝1.

(2)证明　由(1)知，f(x)＝ex＋.在(0，＋∞)上任取x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝ex1＋－

＝(e x1－e x2)＋－＝(e x2－e x1).

由x2>x1>0，得x1＋x2>0，e x2－e x1>0,1－e x1＋x2<0.

所以f(x1)－f(x2)<0，

即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

10．已知函数f(x)＝4x－2·2x＋1－6，其中x∈[0,3]．[来源:学科网]

(1)求函数f(x)的最大值和最小值；

(2)若实数a满足f(x)－a≥0恒成立，求a的取值范围．

解　(1)f(x)＝(2x)2－4·2x－6(0≤x≤3)．

令t＝2x，因为0≤x≤3，所以1≤t≤8.

令h(t)＝t2－4t－6＝(t－2)2－10(1≤t≤8)．

当t∈[1,2]时，h(t)是减函数；

当t∈(2,8]时，h(t)是增函数．

所以f(x)min＝h(2)＝－10，f(x)max＝h(8)＝26.

(2)因为f(x)－a≥0恒成立，即a≤f(x)恒成立，

所以a≤f(x)min恒成立．

由(1)知f(x)min＝－10，所以a≤－10.

故a的取值范围为(－∞，－10]．

11．小张周末自驾游，早上8点从家出发，驾车3 h到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系为s(t)＝－5t(t－13)．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回．

(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；

(2)在距离小张家60 km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．

解　(1)依题意得当0≤t≤3时，

s(t)＝－5t(t－13)，

所以s(3)＝－5×3×(3－13)＝150，

即小张家距离景区停车场150 km，

小张的车在景区停的时间为16－8－3＝5(h)，

所以当3<t≤8时，s(t)＝150，

小张从景区回家所花时间为＝2.5(h)，

所以当8<t≤10.5时，s(t)＝150＋60(t－8)＝60t－330.

故s(t)＝

(2)当0≤t≤3时，

令－5t(t－13)＝60，得t2－13t＋12＝0，

解得t＝1或t＝12(舍去)．

当t＝1时，时间为9点；

当8<t≤10.5时，令60t－330＝2×150－60＝240，

解得t＝，当t＝时，时间为17点30分．