数学选择性必修第一册3.1 椭圆第2课时当堂检测题

课后素养落实(十五)　椭圆的标准方程及性质的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，0)∪(1，＋∞)   B．(1，3)∪(3，＋∞)

C．(－∞，－3)∪(－3，0)   D．(1，3)

B　[由

消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0．

若直线与椭圆有两个公共点，

则

解得

由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3．

综上可知，m>1且m≠3，故选B．]

2．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　)

A．  B．  C．  D．

B　[易求得直线AB的方程为y＝(x＋)．

由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．

由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝．]

3．在椭圆＋＝1内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)

A．9x－16y＋7＝0  B．16x＋9y－25＝0

C．9x＋16y－25＝0  D．16x－9y－7＝0

C　[设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，

因此＋＝0，即＝－，所求直线的斜率是－，

弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C．]

4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)

A．  B．  C．  D．

C　[如图所示，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有

|F1F2|＝|PF2|，∠PF1F2＝∠F2PF1＝30°

所以∠PF2A＝60°，∠F2PA＝30°，所以|PF2|＝2|AF2|＝2＝3a－2c．

又因为|F1F2|＝2c，所以，2c＝3a－2c，所以e＝＝．]

5．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)

A．＋＝1   B．＋＝1

C．＋＝1  D．＋＝1

D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，

两式相减得＋＝0，即＋＝0⇔＋××＝0，即a2＝2b2，

c2＝9，a2＝b2＋c2，解得：a2＝18，b2＝9，方程是＋＝1，故选D．]

二、填空题

6．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．

　[由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程得

解得A(0，－2)，B，

∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝．]

7．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点，过F1作斜率为1的直线，交C于A、B两点，则|AF2|＋|BF2|＝________．

　[由＋＝1知，焦点F1(－1，0)，所以直线l：y＝x＋1，代入＋＝1得3x2＋4(x＋1)2＝12，即7x2＋8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，故|AB|＝|x1－x2|＝·＝．

由定义有，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，

所以|AF2|＋|BF2|＝4×2－＝．]

8．椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA1斜率的取值范围是[1，2]，那么直线PA2斜率的取值范围是________．

　[由椭圆C：＋y2＝1的方程可得a2＝2，b2＝1，∴A1(－，0)，A2(，0)，设P(x，y)，∴kPA1·kPA2＝·＝＝＝－，

∵kPA1∈[1，2]，则kPA2∈．]

三、解答题

9．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．

(1)求实数b的取值范围；

(2)当b＝1时，求|AB|．

[解]　(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，

消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0．①

因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，

解得－＜b＜．

所以b的取值范围为(－，)．

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0．

解得x1＝0，x2＝－．

所以y1＝1，y2＝－．

所以|AB|＝＝．

10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N．

(1)求椭圆C的方程；

(2)当△AMN的面积为时，求实数k的值．

[解]　(1)由题意得

解得c＝，b＝，

所以椭圆C的方程为＋＝1．

(2)由

得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，

x1＋x2＝，x1x2＝，

所以|MN|＝|x1－x2|

＝

＝，

又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离

d＝，

所以△AMN的面积为S＝|MN|·d

＝，

由＝，

化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1．

11．(多选题)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，右焦点为F(c，0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)(　　)

A．必在圆x2＋y2＝1外

B．必在圆x2＋y2＝上

C．必在圆x2＋y2＝2内

D．必在圆x2＋y2＝上

ABC　[e＝⇒＝⇒c＝，e2＝＝⇒＝⇒＝⇒b＝a．

∴ax2＋bx－c＝0⇒ax2＋ax－＝0⇒x2＋x－＝0，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，

∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝．

∵1＜＜2，

∴点P在圆x2＋y2＝1外，在x2＋y2＝上，在x2＋y2＝2内，故应选ABC．]

12．已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为(　　)

A．  B．  C．  D．

A　[设直线与椭圆在第一象限内的交点为A(x，y)，则y＝x，

由|AB|＝2c，可知|OA|＝＝c，即＝c，

解得x＝c，

所以A，把点A代入椭圆方程得到＋＝1，整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，因0＜e＜1，所以可得e＝．]

13．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，则椭圆方程为________，若直线l交椭圆于M，N两点，且△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为________．

＋＝1　6x－5y－28＝0　[由题意得b＝4，又e2＝

＝＝1－＝，解得a2＝20．

∴椭圆的方程为＋＝1．

∴椭圆右焦点F的坐标为(2，0)，

设线段MN的中点为Q(x0，y0)，

由三角形重心的性质知＝2，从而(2，－4)＝2(x0－2，y0)，

解得x0＝3，y0＝－2，所以点Q的坐标为(3，－2)．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，

则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4，

且＋＝1，＋＝1，

以上两式相减得＋＝0，

∴kMN＝＝－·＝－×＝，

故直线的方程为y＋2＝(x－3)，即6x－5y－28＝0．]

14．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．

　[∵⊥，∴点M在以F1F2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c＜b，∴c2＜b2＝a2－c2，即2c2＜a2，∴＜，即＜．又e＞0，∴0＜e＜．]

15．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标．

[解]　(1)依题意知A(a，0)，B(0，－b)，

∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，

∴＝，－＝－，即a＝，b＝1，

∴椭圆的方程为＋y2＝1．

(2)由(1)知B(0，－1)，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，

设直线BN的方程为y＝kx－1(k＜0)，

则直线BM的方程为y＝－x－1，

由消去y得(1＋3k2)x2－6kx＝0，

解得：xN＝，yN＝kxN－1，

∴|BN|＝＝

＝|xN|＝·，

在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k，即M(－k，0)，

∴|BM|＝，

在Rt△MBN中，∵∠BMN＝60°，∴|BN|＝|BM|，

即·＝·，

整理得3k2－2|k|＋1＝0，

解得|k|＝，∵k＜0，∴k＝－，∴点M的坐标为．