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北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 离散型随机变量的均值学案设计
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这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.1 离散型随机变量的均值学案设计，共12页。
[笔记教材]
知识点一 离散型随机变量的均值
(1)离散型随机变量的均值的概念
设离散型随机变量X的分布列如表：
则称EX＝__________________为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
[说明]均值EX刻画的是X取值的“________”，反映了离散型随机变量X取值的________，是随机变量X的一个重要特征．
(2)两点分布的均值与均值的性质
①两点分布的均值：若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝1×p＋0×(1－p)＝________.
②均值的性质
若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则由X与Y之间分布列的关系可知EY＝________.
证明：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，a≠0，X，Y是随机变量．因为P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n，于是EY＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pn)＝aEX＋b，即E(aX＋b)＝aEX＋b.
答案：(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 中心位置 平均水平
(2)①p ②aEX＋b
知识点二 离散型随机变量的方差
(1)离散型随机变量方差的概念
若离散型随机变量X的分布列如表：
则(xi－EX)2描述了xi(i ＝1,2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而 DX＝E(X－EX)2＝________为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记作σX.
[说明]随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于________．方差(标准差)越小则随机变量偏离于均值的平均程度________；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值________．
(2)两点分布的方差与方差的性质
①两点分布的方差：若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，则DX＝________.
②方差的性质
若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则由X与Y之间分布列和均值之间的关系可知DY＝________.
证明：DY＝(ax1＋b－aEX－b)2p1 ＋(ax2＋b－aEXb)2p2＋…＋(axn＋b－aEX－b)2pn＝a2(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＋…＋(xn－EX)2pn＝a2DX.
答案：(1) eq \(eq \(∑,\s\up6(n)),\s\d4(i＝1))(xi－EX)2pi 均值的平均程度 越小 越分散 (2)①p(1－p) ②a2DX
[重点理解]
1．对离散型随机变量的均值概念的深层理解
(1)离散型随机变量X的均值(数学期望)EX是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量的平均取值水平．即若随机试验进行了n次，根据X的分布列，在n次试验中，有p1n次出现了x1，有p2n次出现了x2，……，有pnn次出现了xn，则n次试验中，X的平均值为eq \f(p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn,n)＝EX，即EX＝p1x2＋p2x2＋…＋pnxn.
(2)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．
2．对离散型随机变量的方差的深层理解
(1)离散型随机变量X的方差DX是个数值，是随机变量的一个重要特征数，(x1－EX)2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而DX是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
(2)标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
(3)均值与方差的关系
在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化．()
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．()
(3)均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．(√)
(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．()
(5)若a是常数，则Da＝0.(√)
(6)离散型随机变量X的方差与样本数据的方差概念相同．()
(7)DX的单位是随机变量X单位的平方．(√)
2．已知离散型随机变量X的分布列为
则X的数学期望EX＝( )
A.eq \f(3,2)B．2
C.eq \f(5,2)D．3
答案：A
3．如果X是离散型随机变量，且EX＝5，则随机变量Y＝3X＋2的均值为________．
答案：17
4．已知随机变量X的分布列为
则DX＝________.
答案：0.61
5．设一随机试验的结果只有A和eq \x\t(A)，且P(A)＝p，令随机变量X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，A发生，,0，A不发生，))则X的方差DX＝________.
答案：p(1－p)
研习1 离散型随机变量的均值
[典例1] 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数X的分布列与期望．
[解] (1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则eq \x\t(A)表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得：
P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(A\\al(2,3),A\\al(2,6))＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5).
(2)X的所有可能值为0,1,2,3,4，且
P(X＝0)＝eq \f(10,A\\al(2,6))＝eq \f(1,3)，P(X＝1)＝eq \f(8,A\\al(2,6))＝eq \f(4,15)，
P(X＝2)＝eq \f(6,A\\al(2,6))＝eq \f(1,5)，P(X＝3)＝eq \f(4,A\\al(2,6))＝eq \f(2,15)，
P(X＝4)＝eq \f(2,A\\al(2,6))＝eq \f(1,15).
从而知X的分布列为
所以EX＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(4,15)＋2×eq \f(1,5)＋3×eq \f(2,15)＋4×eq \f(1,15)＝eq \f(4,3).
[巧归纳] 1.求离散型随机变量X的均值的步骤：
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求EX.
2．注意运用随机变量均值的性质．
[练习1](1)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为( )
A.eq \f(1,3)B．eq \f(1,4)
C.eq \f(1,6)D．eq \f(1,8)
(2)根据统计，一年中，一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者交保险费100元，若在一年之内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>100)，问a如何确定，可使保险公司获益？
(1)答案：A
解析：因为η＝12ξ＋7，则Eη＝12Eξ＋7，即Eη＝12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×\f(1,12)))＋7＝34.所以2m＋3n＝eq \f(5,3)①，又eq \f(1,4)＋m＋n＋eq \f(1,12)＝1，所以m＋n＝eq \f(2,3)②.由①②可解得m＝eq \f(1,3).
(2)解：设保险公司获益ξ元，则可得ξ的分布列
所以Eξ＝100×0.99＋(－a＋100)×0.01＝100－0.01a>0.所以100即当100研习2 离散型随机变量的方差
[典例2] 某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者．记所选3人中女生人数为X，求X的分布列及方差．
[解] X的可能取值为0,1,2.由题意P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，所以X的分布列为
EX＝0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(1,5)＝1，DX＝(0－1)2×eq \f(1,5)＋(1－1)2×eq \f(3,5)＋(2－1)2×eq \f(1,5)＝eq \f(2,5).
[巧归纳] 1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写X的分布列；(4)求EX，DX.
2．在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX.
[练习2]编号为1,2,3的三位同学随意入坐编号为1,2,3的三个座位，每位同学一个座位，设与座位编号相同的学生的个数为X，求DX.
解：X的可能取值为0,1,3.P(X＝0)＝eq \f(2,3！)＝eq \f(1,3)，P(X＝1)＝eq \f(3,3！)＝eq \f(1,2)，P(X＝3)＝eq \f(1,3！)＝eq \f(1,6).
所以X的分布列为
EX＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,2)＋3×eq \f(1,6)＝1，
DX＝(0－1)2×eq \f(1,3)＋(1－1)2×eq \f(1,2)＋(3－1)2×eq \f(1,6)＝1.
研习3 均值、方差的实际应用
[典例3] 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
[解] (1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
(2)[解] 由(1)得：
Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于Eξ>Eη，Dξ[巧归纳] 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤：
(1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
(2)在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
(3)下结论，依据方差的几何意义做出结论．
[练习3]有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
根据工资的待遇情况，你愿选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，计算可得
EX1＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400；
EX2＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400；
DX1＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；
DX2＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.
因为EX1＝EX2，DX1＜DX2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选乙单位．
1．随机抛掷一枚骰子，所得点数X的均值为( )
A.eq \f(1,6)B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2)D．eq \f(7,2)
答案：D
解析：X的分布列如下：
所以EX＝1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,6)＋3×eq \f(1,6)＋4×eq \f(1,6)＋5×eq \f(1,6)＋6×eq \f(1,6)＝eq \f(7,2).
2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值EX甲＝EX乙，方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
答案：B
解析：∵DX甲>DX乙，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
3．(2022辽宁大连检测)将3个球(形状相同，编号不同)随机地投入编号为1,2,3,4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码(ξ＝3表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球)，则Eξ，E(2ξ＋1)分别等于( )
A.eq \f(25,16)，eq \f(25,8)B．eq \f(25,16)，eq \f(33,8)
C.eq \f(3,2)，3D．eq \f(3,2)，4
答案：B
解析：由题意可知，随机变量的可能取值有1,2,3,4，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)×32＋C\\al(2,3)×3＋C\\al(3,3),43)＝eq \f(37,64)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,3)×22＋C\\al(2,3)×2＋C\\al(3,3),43)＝eq \f(19,64)，
P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(1,3)＋C\\al(2,3)＋C\\al(3,3),43)＝eq \f(7,64)，P(ξ＝4)＝eq \f(1,43)＝eq \f(1,64)，
所以Eξ＝1×eq \f(37,64)＋2×eq \f(19,64)＋3×eq \f(7,64)＋4×eq \f(1,64)＝eq \f(25,16)，
因此E(2ξ＋1)＝2Eξ＋1＝2×eq \f(25,16)＋1＝eq \f(33,8).故选B.
4．马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布列如下表：
请小牛同学计算X的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案EX＝________.
答案：2
解析：设P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，则2a＋b＝1.于是，EX＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.
5．如果X是离散型随机变量，Y＝3X＋2，那么DY＝________DX.
答案：9
解析：DY＝D(3X＋2)＝32DX＝9DX.
[误区警示]
求随机变量分布列出现错误导致均值和方差求错
[示例] 学校新进了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为P1，P2，P3，求试验中产生故障的投影仪数量的数学期望．
[错解] 设ξ表示产生故障的投影仪数量，Ai(i＝1,2,3)表示第i台投影仪出现故障，则ξ的可能取值为1,2,3.
又P(ξ＝1)＝P(A1)P(eq \x\t(A)2)P(eq \x\t(A)3)＝P1(1－P2)(1－P3)＝P1＋P1P2P3－P1P2－P1P3，
P(ξ＝2)＝P(A1)P(A2)P(eq \x\t(A)3)＝P1P2(1－P3)＝P1P2－P1P2P3，
P(ξ＝3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝P1P2P3，
所以E(ξ)＝P(ξ ＝1)×1＋P(ξ＝2)×2＋P(ξ＝3)×3＝P1＋P1P2P3－P1P2－P1P3＋2P1P2－2P1P2P3＋3P1P2P3＝P1＋2P1P2P3＋P1P2－P1P3.
[错因分析] 导致上述错解的原因是求随机变量的取值对应的概率时出现错误，由于3台投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后结果产生影响，所以解题的过程中应分类讨论．
[正解] 设ξ表示产生故障的投影仪数量，Ai(i＝1,2,3)表示第i台投影仪出现故障，则ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P(eq \x\t(A)1，eq \x\t(A)2，eq \x\t(A)3)＝(1－P1)(1－P2)(1－Pξ)，
P(ξ＝1)＝P(A1eq \x\t(A)2eq \x\t(A)3)＋P(eq \x\t(A)1A2eq \x\t(A)3)＋P(eq \x\t(A)1eq \x\t(A)2A3)＝P1(1－P2)(1－P3)＋P2(1－P1)·(1－P3 )＋P3(1－P2)(1－P1)＝P1＋P2＋P3－2P1P2－2P2P3－2P3P1＋3P1P2P3，
P(ξ＝2)＝P(A1A2eq \x\t(A)3)＋P(A1eq \x\t(A)2A3)＋P(eq \x\t(A)1A2A3)＝P1P2(1－P3)＋P1P3(1－P2)＋P2P3(1－P1)＝P1P2＋P1P3＋P2P3－3P1P2P3，
P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)·P(A3)＝P1P2P3，
所以E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝P1＋P2＋P3.
[题后总结] 计算随机变量的均值和方差是在计算随机变量的分布列的基础上进行的，所以应先正确求出随机变量的分布列．而分布列的求解关键在于概率的计算，一定要正确理解题意，准确求出随机变量的取值对应的概率．
新课程标准
新学法解读
1.理解离散型随机变量的均值．
2．会用均值公式解决有关问题．
3．理解离散型随机变量的方差与均值的关系．
4．会求离散型随机变量的方差，并会简单应用.
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．掌握两点分布的均值．
2．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．
3．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
4．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
5．掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
1
2
3
P
eq \f(3,5)
eq \f(3,10)
eq \f(1,10)
X
－1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
eq \f(4,15)
eq \f(1,5)
eq \f(2,15)
eq \f(1,15)
ξ
1
2
3
4
P
eq \f(1,4)
m
n
eq \f(1,12)
ξ
100
－a＋100
P
0.99
0.01
X
0
1
2
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
X
0
1
3
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,2)
eq \f(1,6)
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
甲单位不同职位月工资X1/元
1 200
1 400
1 600
1 800
获得相应职位的概率P1
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
1 000
1 400
1 800
2 200
获得相应职位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1
X
1
2
3
4
5
6
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
X
1
2
3
P
？
！
？
[笔记教材]
知识点一 离散型随机变量的均值
(1)离散型随机变量的均值的概念
设离散型随机变量X的分布列如表：
则称EX＝__________________为随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．
[说明]均值EX刻画的是X取值的“________”，反映了离散型随机变量X取值的________，是随机变量X的一个重要特征．
(2)两点分布的均值与均值的性质
①两点分布的均值：若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝1×p＋0×(1－p)＝________.
②均值的性质
若X与Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则由X与Y之间分布列的关系可知EY＝________.
证明：若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，a≠0，X，Y是随机变量．因为P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n，于是EY＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pn)＝aEX＋b，即E(aX＋b)＝aEX＋b.
答案：(1)x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 中心位置 平均水平
(2)①p ②aEX＋b
知识点二 离散型随机变量的方差
(1)离散型随机变量方差的概念
若离散型随机变量X的分布列如表：
则(xi－EX)2描述了xi(i ＝1,2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而 DX＝E(X－EX)2＝________为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．我们称DX为随机变量X的方差，其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差，记作σX.
[说明]随机变量的方差DX和标准差σX都反映了随机变量的取值偏离于________．方差(标准差)越小则随机变量偏离于均值的平均程度________；反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值________．
(2)两点分布的方差与方差的性质
①两点分布的方差：若离散型随机变量X服从参数为p的两点分布，则DX＝________.
②方差的性质
若X与Y都是离散型随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则由X与Y之间分布列和均值之间的关系可知DY＝________.
证明：DY＝(ax1＋b－aEX－b)2p1 ＋(ax2＋b－aEXb)2p2＋…＋(axn＋b－aEX－b)2pn＝a2(x1－EX)2p1＋(x2－EX)2p2＋…＋(xn－EX)2pn＝a2DX.
答案：(1) eq \(eq \(∑,\s\up6(n)),\s\d4(i＝1))(xi－EX)2pi 均值的平均程度 越小 越分散 (2)①p(1－p) ②a2DX
[重点理解]
1．对离散型随机变量的均值概念的深层理解
(1)离散型随机变量X的均值(数学期望)EX是个数值，是随机变量的一个重要特征数，反映的是离散型随机变量的平均取值水平．即若随机试验进行了n次，根据X的分布列，在n次试验中，有p1n次出现了x1，有p2n次出现了x2，……，有pnn次出现了xn，则n次试验中，X的平均值为eq \f(p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn,n)＝EX，即EX＝p1x2＋p2x2＋…＋pnxn.
(2)随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．
2．对离散型随机变量的方差的深层理解
(1)离散型随机变量X的方差DX是个数值，是随机变量的一个重要特征数，(x1－EX)2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值EX的偏离程度，而DX是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
(2)标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
(3)均值与方差的关系
在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差．
[自我排查]
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“”)
(1)随机变量X的数学期望EX是个变量，其随X的变化而变化．()
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．()
(3)均值是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数．(√)
(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．()
(5)若a是常数，则Da＝0.(√)
(6)离散型随机变量X的方差与样本数据的方差概念相同．()
(7)DX的单位是随机变量X单位的平方．(√)
2．已知离散型随机变量X的分布列为
则X的数学期望EX＝( )
A.eq \f(3,2)B．2
C.eq \f(5,2)D．3
答案：A
3．如果X是离散型随机变量，且EX＝5，则随机变量Y＝3X＋2的均值为________．
答案：17
4．已知随机变量X的分布列为
则DX＝________.
答案：0.61
5．设一随机试验的结果只有A和eq \x\t(A)，且P(A)＝p，令随机变量X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，A发生，,0，A不发生，))则X的方差DX＝________.
答案：p(1－p)
研习1 离散型随机变量的均值
[典例1] 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：
(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；
(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数X的分布列与期望．
[解] (1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则eq \x\t(A)表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式得：
P(A)＝1－P(eq \x\t(A))＝1－eq \f(A\\al(2,3),A\\al(2,6))＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5).
(2)X的所有可能值为0,1,2,3,4，且
P(X＝0)＝eq \f(10,A\\al(2,6))＝eq \f(1,3)，P(X＝1)＝eq \f(8,A\\al(2,6))＝eq \f(4,15)，
P(X＝2)＝eq \f(6,A\\al(2,6))＝eq \f(1,5)，P(X＝3)＝eq \f(4,A\\al(2,6))＝eq \f(2,15)，
P(X＝4)＝eq \f(2,A\\al(2,6))＝eq \f(1,15).
从而知X的分布列为
所以EX＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(4,15)＋2×eq \f(1,5)＋3×eq \f(2,15)＋4×eq \f(1,15)＝eq \f(4,3).
[巧归纳] 1.求离散型随机变量X的均值的步骤：
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求EX.
2．注意运用随机变量均值的性质．
[练习1](1)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且Eη＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为( )
A.eq \f(1,3)B．eq \f(1,4)
C.eq \f(1,6)D．eq \f(1,8)
(2)根据统计，一年中，一个家庭万元以上财产被窃的概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险，参加者交保险费100元，若在一年之内，万元以上财产被窃，保险公司赔偿a元(a>100)，问a如何确定，可使保险公司获益？
(1)答案：A
解析：因为η＝12ξ＋7，则Eη＝12Eξ＋7，即Eη＝12eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×\f(1,12)))＋7＝34.所以2m＋3n＝eq \f(5,3)①，又eq \f(1,4)＋m＋n＋eq \f(1,12)＝1，所以m＋n＝eq \f(2,3)②.由①②可解得m＝eq \f(1,3).
(2)解：设保险公司获益ξ元，则可得ξ的分布列
所以Eξ＝100×0.99＋(－a＋100)×0.01＝100－0.01a>0.所以100
[典例2] 某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者．记所选3人中女生人数为X，求X的分布列及方差．
[解] X的可能取值为0,1,2.由题意P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,4),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,2),C\\al(3,6))＝eq \f(3,5)，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,4)C\\al(2,2),C\\al(3,6))＝eq \f(1,5)，所以X的分布列为
EX＝0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(1,5)＝1，DX＝(0－1)2×eq \f(1,5)＋(1－1)2×eq \f(3,5)＋(2－1)2×eq \f(1,5)＝eq \f(2,5).
[巧归纳] 1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写X的分布列；(4)求EX，DX.
2．在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX.
[练习2]编号为1,2,3的三位同学随意入坐编号为1,2,3的三个座位，每位同学一个座位，设与座位编号相同的学生的个数为X，求DX.
解：X的可能取值为0,1,3.P(X＝0)＝eq \f(2,3！)＝eq \f(1,3)，P(X＝1)＝eq \f(3,3！)＝eq \f(1,2)，P(X＝3)＝eq \f(1,3！)＝eq \f(1,6).
所以X的分布列为
EX＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,2)＋3×eq \f(1,6)＝1，
DX＝(0－1)2×eq \f(1,3)＋(1－1)2×eq \f(1,2)＋(3－1)2×eq \f(1,6)＝1.
研习3 均值、方差的实际应用
[典例3] 甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．
[解] (1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
(2)[解] 由(1)得：
Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于Eξ>Eη，Dξ
(1)比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
(2)在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
(3)下结论，依据方差的几何意义做出结论．
[练习3]有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
根据工资的待遇情况，你愿选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，计算可得
EX1＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400；
EX2＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400；
DX1＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；
DX2＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.
因为EX1＝EX2，DX1＜DX2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选乙单位．
1．随机抛掷一枚骰子，所得点数X的均值为( )
A.eq \f(1,6)B．eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2)D．eq \f(7,2)
答案：D
解析：X的分布列如下：
所以EX＝1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,6)＋3×eq \f(1,6)＋4×eq \f(1,6)＋5×eq \f(1,6)＋6×eq \f(1,6)＝eq \f(7,2).
2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值EX甲＝EX乙，方差分别为DX甲＝11，DX乙＝3.4.由此可以估计( )
A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐
B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同
D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
答案：B
解析：∵DX甲>DX乙，∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
3．(2022辽宁大连检测)将3个球(形状相同，编号不同)随机地投入编号为1,2,3,4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码(ξ＝3表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球)，则Eξ，E(2ξ＋1)分别等于( )
A.eq \f(25,16)，eq \f(25,8)B．eq \f(25,16)，eq \f(33,8)
C.eq \f(3,2)，3D．eq \f(3,2)，4
答案：B
解析：由题意可知，随机变量的可能取值有1,2,3,4，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)×32＋C\\al(2,3)×3＋C\\al(3,3),43)＝eq \f(37,64)，P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(1,3)×22＋C\\al(2,3)×2＋C\\al(3,3),43)＝eq \f(19,64)，
P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(1,3)＋C\\al(2,3)＋C\\al(3,3),43)＝eq \f(7,64)，P(ξ＝4)＝eq \f(1,43)＝eq \f(1,64)，
所以Eξ＝1×eq \f(37,64)＋2×eq \f(19,64)＋3×eq \f(7,64)＋4×eq \f(1,64)＝eq \f(25,16)，
因此E(2ξ＋1)＝2Eξ＋1＝2×eq \f(25,16)＋1＝eq \f(33,8).故选B.
4．马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布列如下表：
请小牛同学计算X的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案EX＝________.
答案：2
解析：设P(X＝1)＝P(X＝3)＝a，P(X＝2)＝b，则2a＋b＝1.于是，EX＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.
5．如果X是离散型随机变量，Y＝3X＋2，那么DY＝________DX.
答案：9
解析：DY＝D(3X＋2)＝32DX＝9DX.
[误区警示]
求随机变量分布列出现错误导致均值和方差求错
[示例] 学校新进了3台投影仪用于多媒体教学，为保证设备正常工作，事先进行独立试验，已知各设备产生故障的概率分别为P1，P2，P3，求试验中产生故障的投影仪数量的数学期望．
[错解] 设ξ表示产生故障的投影仪数量，Ai(i＝1,2,3)表示第i台投影仪出现故障，则ξ的可能取值为1,2,3.
又P(ξ＝1)＝P(A1)P(eq \x\t(A)2)P(eq \x\t(A)3)＝P1(1－P2)(1－P3)＝P1＋P1P2P3－P1P2－P1P3，
P(ξ＝2)＝P(A1)P(A2)P(eq \x\t(A)3)＝P1P2(1－P3)＝P1P2－P1P2P3，
P(ξ＝3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝P1P2P3，
所以E(ξ)＝P(ξ ＝1)×1＋P(ξ＝2)×2＋P(ξ＝3)×3＝P1＋P1P2P3－P1P2－P1P3＋2P1P2－2P1P2P3＋3P1P2P3＝P1＋2P1P2P3＋P1P2－P1P3.
[错因分析] 导致上述错解的原因是求随机变量的取值对应的概率时出现错误，由于3台投影仪中，无论哪台发生故障都会对最后结果产生影响，所以解题的过程中应分类讨论．
[正解] 设ξ表示产生故障的投影仪数量，Ai(i＝1,2,3)表示第i台投影仪出现故障，则ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P(eq \x\t(A)1，eq \x\t(A)2，eq \x\t(A)3)＝(1－P1)(1－P2)(1－Pξ)，
P(ξ＝1)＝P(A1eq \x\t(A)2eq \x\t(A)3)＋P(eq \x\t(A)1A2eq \x\t(A)3)＋P(eq \x\t(A)1eq \x\t(A)2A3)＝P1(1－P2)(1－P3)＋P2(1－P1)·(1－P3 )＋P3(1－P2)(1－P1)＝P1＋P2＋P3－2P1P2－2P2P3－2P3P1＋3P1P2P3，
P(ξ＝2)＝P(A1A2eq \x\t(A)3)＋P(A1eq \x\t(A)2A3)＋P(eq \x\t(A)1A2A3)＝P1P2(1－P3)＋P1P3(1－P2)＋P2P3(1－P1)＝P1P2＋P1P3＋P2P3－3P1P2P3，
P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)·P(A3)＝P1P2P3，
所以E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝P1＋P2＋P3.
[题后总结] 计算随机变量的均值和方差是在计算随机变量的分布列的基础上进行的，所以应先正确求出随机变量的分布列．而分布列的求解关键在于概率的计算，一定要正确理解题意，准确求出随机变量的取值对应的概率．
新课程标准
新学法解读
1.理解离散型随机变量的均值．
2．会用均值公式解决有关问题．
3．理解离散型随机变量的方差与均值的关系．
4．会求离散型随机变量的方差，并会简单应用.
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．掌握两点分布的均值．
2．会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．
3．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
4．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
5．掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
1
2
3
P
eq \f(3,5)
eq \f(3,10)
eq \f(1,10)
X
－1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
X
0
1
2
3
4
P
eq \f(1,3)
eq \f(4,15)
eq \f(1,5)
eq \f(2,15)
eq \f(1,15)
ξ
1
2
3
4
P
eq \f(1,4)
m
n
eq \f(1,12)
ξ
100
－a＋100
P
0.99
0.01
X
0
1
2
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
X
0
1
3
P
eq \f(1,3)
eq \f(1,2)
eq \f(1,6)
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
甲单位不同职位月工资X1/元
1 200
1 400
1 600
1 800
获得相应职位的概率P1
0.4
0.3
0.2
0.1
乙单位不同职位月工资X2/元
1 000
1 400
1 800
2 200
获得相应职位的概率P2
0.4
0.3
0.2
0.1
X
1
2
3
4
5
6
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
eq \f(1,6)
X
1
2
3
P
？
！
？
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