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必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时同步训练题
展开8.6.3 平面与平面垂直
第2课时 平面与平面垂直的性质定理
课后·训练提升
基础巩固
1.设平面α⊥平面β,在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则( )
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面垂直
答案C
2.已知二面角α-l-β是直二面角,m为直线,γ为平面,则下列命题为真命题的是( )
A.若m⊂α,则m⊥β B.若m⊥α,则m∥β
C.若m∥α,则m⊥β D.若γ∥α,则γ⊥β
解析对于A,若m⊂α,则m与β相交或m⊂β或m∥β,故A错误;
对于B,若m⊥α,则m∥β或m⊂β,故B错误;
对于C,若m∥α,则m与β相交或m⊂β或m∥β,故C错误;
对于D,若γ∥α,则γ⊥β,故D正确.
答案D
3.下列结论错误的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,过α内任意一点作一条直线与交线垂直,那么此直线必垂直于β
答案D
4.如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA⊥AD,下列结论不正确的是( )
A.PD⊥BD B.PD⊥CD
C.PB⊥BC D.PA⊥BD
解析因为PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PA⊂平面PAD,所以PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.故D正确.同理CD⊥平面PAD,所以PD⊥CD.故B正确.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,所以PB⊥BC.故C正确.若PD⊥BD,又PA⊥BD,PA∩PD=P,则BD⊥平面PAD,则BD⊥AD,显然不成立,故A不正确.
答案A
5.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=,平面PAB⊥平面ABC,PA⊥PB,AB⊥BC,∠BAC=30°,则PC=( )
A. B.2 C. D.2
解析因为PA=PB=,PA⊥PB,所以AB=2.
因为AB⊥BC,∠BAC=30°,
所以BC=ABtan 30°=2.
因为平面PAB⊥平面ABC,AB⊥BC,平面PAB∩平面ABC=AB,BC⊂平面ABC,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以PC=.
答案C
6. 如图,平面α⊥平面β,在α与β的交线上取线段AB=4,AC,BD分别在平面α和β内,AC⊥AB,BD⊥AB,AC=3,BD=12,则CD=( )
A.8 B.10 C.13 D.16
解析如图,连接BC.
∵BD⊥AB,α⊥β,α∩β=AB,BD⊂β,∴BD⊥α.
∵BC⊂α,∴BD⊥BC,
在Rt△BAC中,BC==5.
在Rt△CBD中,CD==13.
答案C
7.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是边AB上的一动点,则PM的最小值为 .
解析如图,连接CM,由题意可知PC⊥平面ABC,则PC⊥CM,所以PM=.
要求PM的最小值,只需求出CM的最小值即可.
在△ABC中,当CM⊥AB时,CM取得最小值,此时CM=4×=2,所以PM的最小值为2.
答案2
8.如图,在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,∠PAC=90°,平面PAC⊥平面ABC.求证:平面PAB⊥平面PBC.
证明∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PA⊥AC,PA⊂平面PAC,
∴PA⊥平面ABC.
又BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.
又AB⊥BC,AB∩PA=A,
∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC,
∴平面PAB⊥平面PBC.
9.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC⊥底面ABCD,则PA与BD是否相互垂直,请证明你的结论.
解PA与BD互相垂直.证明如下:
如图,取BC的中点O,连接PO,AO.
∵PB=PC,∴PO⊥BC.
又侧面PBC⊥底面ABCD,侧面PBC∩底面ABCD=BC,∴PO⊥底面ABCD,∴PO⊥BD.
∵AB=BC=2CD,∴BO=CD.
又∠ABO=∠BCD=90°,∴△ABO≌△BCD,
∴∠BAO=∠CBD.
又∠CBD+∠ABD=90°,
∴∠BAO+∠ABD=90°,∴AO⊥BD.
又PO∩AO=O,∴BD⊥平面PAO,
∴BD⊥PA,∴PA与BD相互垂直.
能力提升
1.已知平面α⊥平面β,且平面α与平面β相交于直线l,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l不重合,则下列结论错误的是( )
A.若a∥b,则a∥l,b∥l
B.若a⊥b,则a⊥l,且b⊥l
C.若直线a,b都不平行于直线l,则直线a必不平行于直线b
D.若直线a,b都不垂直于直线l,则直线a必不垂直于直线b
解析对于A,因为平面α⊥平面β,且平面α与平面β相交于直线l,a⊂α,所以a⊄β,又a∥b,b⊂β.所以a∥β,又平面α与平面β相交于直线l,a⊂α,所以a∥l,同理b∥l,故A正确.
对于B,若a⊥l,而平面α⊥平面β,平面α∩平面β=l,a⊂α,则a⊥平面β,又b⊂β,则a⊥b一定成立,但b与l不一定垂直,故B错误.
对于C,假设a∥b,由A可知a∥l,b∥l,与已知矛盾,故假设不成立,故C正确.
对于D,假设a⊥b,因为直线a,b都不垂直于直线l,所以在平面α内,存在直线c⊥l,且c与a相交,根据面面垂直的性质定理,可知c⊥β,而b⊂β,所以c⊥b,而a⊥b,a与c相交,所以b⊥α,又l⊂α,所以b⊥l,这与已知矛盾,故假设不成立,故D正确.
答案B
2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则( )
A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥α
B.若α⊥β,m⊥β,则m∥α
C.若α⊥β,m⊥β,n⊥α,则m⊥n
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
答案C
3.已知三棱锥P-ABC的高为PH,若三个侧面两两垂直,则H为△ABC的( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
解析如图,由题意易知AP⊥平面PBC.
因为BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC.
因为PH⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PH⊥BC.
又AP∩PH=P,所以BC⊥平面APH.
又AH⊂平面APH,所以AH⊥BC.
同理可得CH⊥AB.故H为△ABC的垂心.
答案C
4.如图,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB=60°,AB的长为a.△PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为θ,则θ= ,PB与AD的位置关系是 .
答案45° 垂直
5.在三棱柱ABC-A'B'C'中,侧面A'ACC'是垂直于底面的菱形,BC⊥A'C',则A'B与AC'所成角的大小为 .
解析因为BC⊥A'C',A'C'∥AC,所以BC⊥AC.
因为平面A'ACC'⊥平面ABC,平面A'ACC'∩平面ABC=AC,
所以BC⊥平面A'ACC',
所以BC⊥AC'.
因为四边形A'ACC'为菱形,
所以AC'⊥A'C.
因为BC∩A'C=C,
所以AC'⊥平面A'CB,所以AC'⊥A'B.
所以A'B与AC'所成的角等于90°.
答案90°
6.如图①,在四边形ABCD中,AD=2,CD=2,△ABC是边长为4的正三角形,把△ABC沿AC折起到△PAC的位置,使得平面PAC⊥平面ACD,如图②所示,O,M,N分别为AC,PA,AD的中点.
①
②
(1)求证:平面PAD⊥平面PON;
(2)求三棱锥M-ANO的体积.
(1)证明因为△PAC为正三角形,O为AC的中点,所以PO⊥AC.
又平面PAC⊥平面ACD,平面PAC∩平面ACD=AC,所以PO⊥平面ACD.
又AD⊂平面ACD,所以PO⊥AD.
因为AD=2,CD=2,AC=4,所以AD2+CD2=AC2,所以AD⊥CD.
又O,N分别为AC,AD的中点,所以ON∥CD,所以AD⊥ON.
又ON∩PO=O,所以AD⊥平面PON.
又AD⊂平面PAD,所以平面PAD⊥平面PON.
(2)解因为△PAC是边长为4的等边三角形,
所以PO=2.
又PO⊥平面ACD,M为PA的中点,所以M到平面ACD的距离d=PO=.
因为ON为△ACD的中位线,所以S△AON=S△ACD=×2×2=.
所以VM-ANO=S△AON·d=.
7.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,AB∥CD,∠DAB=90°,PA=AD,DC=2AB.
求证:(1)PA⊥BC;
(2)平面PBC⊥平面PDC.
证明(1)因为平面PAB⊥平面ABCD,
平面PAB∩平面ABCD=AB,PA⊥AB,
PA⊂平面PAB,所以PA⊥平面ABCD.
又BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC.
(2)取PC的中点E,PD的中点F,
连接BE,AF,EF(图略),则EF∥CD,EF=CD.
又AB∥CD,AB=CD,所以EFAB.
所以四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.
因为PA=AD,F为PD的中点,所以AF⊥PD.
由(1)知PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD.
又∠DAB=90°,AB∥CD,所以CD⊥AD.
又PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,
所以CD⊥AF.
又PD∩CD=D,所以AF⊥平面PDC,
所以BE⊥平面PDC.
又BE⊂平面PBC,所以平面PBC⊥平面PDC.
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