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    必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时同步训练题

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    这是一份必修 第二册6.4 平面向量的应用第2课时同步训练题,共9页。试卷主要包含了下列结论错误的是等内容,欢迎下载使用。

    8.6.3 平面与平面垂直

    2课时 平面与平面垂直的性质定理

    课后·训练提升

    基础巩固

    1.设平面α平面β,在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,(  )

    A.直线a必垂直于平面β

    B.直线b必垂直于平面α

    C.直线a不一定垂直于平面β

    D.a的平面与过b的平面垂直

    答案C

    2.已知二面角α-l-β是直二面角,m为直线,γ为平面,则下列命题为真命题的是(  )

    A.mα,mβ B.mα,mβ

    C.mα,mβ D.γα,γβ

    解析对于A,mα,mβ相交或mβmβ,A错误;

    对于B,mα,mβmβ,B错误;

    对于C,mα,mβ相交或mβmβ,C错误;

    对于D,γα,γβ,D正确.

    答案D

    3.下列结论错误的是(  )

    A.如果平面α平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β

    B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

    C.如果平面α平面γ,平面β平面γ,αβ=l,那么l平面γ

    D.如果平面α平面β,α内任意一点作一条直线与交线垂直,那么此直线必垂直于β

    答案D

    4.如图,平面PAD平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PAAD,下列结论不正确的是(  )

    A.PDBD B.PDCD

    C.PBBC D.PABD

    解析因为PAAD,平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PA平面PAD,所以PA平面ABCD,所以PABD.D正确.同理CD平面PAD,所以PDCD.B正确.因为PA平面ABCD,所以PABC,BCAB,PAAB=A,所以BC平面PAB,所以PBBC.C正确.PDBD,PABD,PAPD=P,BD平面PAD,BDAD,显然不成立,A不正确.

    答案A

    5.在三棱锥P-ABC,PA=PB=,平面PAB平面ABC,PAPB,ABBC,BAC=30°,PC=(  )

    A. B.2 C. D.2

    解析因为PA=PB=,PAPB,所以AB=2.

    因为ABBC,BAC=30°,

    所以BC=ABtan 30°=2.

    因为平面PAB平面ABC,ABBC,平面PAB平面ABC=AB,BC平面ABC,所以BC平面PAB,所以BCPB,所以PC=.

    答案C

    6. 如图,平面α平面β,αβ的交线上取线段AB=4,AC,BD分别在平面αβ,ACAB,BDAB,AC=3,BD=12,CD=(  )

    A.8 B.10 C.13 D.16

    解析如图,连接BC.

    BDAB,αβ,αβ=AB,BDβ,BDα.

    BCα,BDBC,

    RtBAC,BC==5.

    RtCBD,CD==13.

    答案C

    7.如图,在三棱锥P-ABC,平面PAC平面ABC,PCA=90°,ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是边AB上的一动点,PM的最小值为     . 

    解析如图,连接CM,由题意可知PC平面ABC,PCCM,所以PM=.

    要求PM的最小值,只需求出CM的最小值即可.

    ABC,CMAB,CM取得最小值,此时CM=4×=2,所以PM的最小值为2.

    答案2

    8.如图,在三棱锥P-ABC,ABC=90°,PAC=90°,平面PAC平面ABC.求证:平面PAB平面PBC.

    证明平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PAAC,PA平面PAC,

    PA平面ABC.

    BC平面ABC,PABC.

    ABBC,ABPA=A,

    BC平面PAB.BC平面PBC,

    平面PAB平面PBC.

    9.如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,ABC=BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC底面ABCD,PABD是否相互垂直,请证明你的结论.

    PABD互相垂直.证明如下:

    如图,BC的中点O,连接PO,AO.

    PB=PC,POBC.

    又侧面PBC底面ABCD,侧面PBC底面ABCD=BC,PO底面ABCD,POBD.

    AB=BC=2CD,BO=CD.

    ABO=BCD=90°,ABOBCD,

    BAO=CBD.

    CBD+ABD=90°,

    BAO+ABD=90°,AOBD.

    POAO=O,BD平面PAO,

    BDPA,PABD相互垂直.

    能力提升

    1.已知平面α平面β,且平面α与平面β相交于直线l,直线aα,直线bβ,a,bl不重合,则下列结论错误的是(  )

    A.ab,al,bl

    B.ab,al,bl

    C.若直线a,b都不平行于直线l,则直线a必不平行于直线b

    D.若直线a,b都不垂直于直线l,则直线a必不垂直于直线b

    解析对于A,因为平面α平面β,且平面α与平面β相交于直线l,aα,所以aβ,ab,bβ.所以aβ,又平面α与平面β相交于直线l,aα,所以al,同理bl,A正确.

    对于B,al,而平面α平面β,平面α平面β=l,aα,a平面β,bβ,ab一定成立,bl不一定垂直,B错误.

    对于C,假设ab,A可知al,bl,与已知矛盾,故假设不成立,C正确.

    对于D,假设ab,因为直线a,b都不垂直于直线l,所以在平面α,存在直线cl,ca相交,根据面面垂直的性质定理,可知cβ,bβ,所以cb,ab,ac相交,所以bα,lα,所以bl,这与已知矛盾,故假设不成立,D正确.

    答案B

    2.m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,(  )

    A.αβ,αβ=n,mn,mα

    B.αβ,mβ,mα

    C.αβ,mβ,nα,mn

    D.mn,nβ,βα,mα

    答案C

    3.已知三棱锥P-ABC的高为PH,若三个侧面两两垂直,HABC(  )

    A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心

    解析如图,由题意易知AP平面PBC.

    因为BC平面PBC,所以APBC.

    因为PH平面ABC,BC平面ABC,所以PHBC.

    APPH=P,所以BC平面APH.

    AH平面APH,所以AHBC.

    同理可得CHAB.HABC的垂心.

    答案C

    4.如图,P是菱形ABCD所在平面外的一点,DAB=60°,AB的长为a.PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为θ,θ=     ,PBAD的位置关系是     . 

    答案45° 垂直

    5.在三棱柱ABC-A'B'C',侧面A'ACC'是垂直于底面的菱形,BCA'C',A'BAC'所成角的大小为     . 

    解析因为BCA'C',A'C'AC,所以BCAC.

    因为平面A'ACC'平面ABC,平面A'ACC'平面ABC=AC,

    所以BC平面A'ACC',

    所以BCAC'.

    因为四边形A'ACC'为菱形,

    所以AC'A'C.

    因为BCA'C=C,

    所以AC'平面A'CB,所以AC'A'B.

    所以A'BAC'所成的角等于90°.

    答案90°

    6.如图,在四边形ABCD,AD=2,CD=2,ABC是边长为4的正三角形,ABC沿AC折起到PAC的位置,使得平面PAC平面ACD,如图所示,O,M,N分别为AC,PA,AD的中点.

    (1)求证:平面PAD平面PON;

    (2)求三棱锥M-ANO的体积.

    (1)证明因为PAC为正三角形,OAC的中点,所以POAC.

    又平面PAC平面ACD,平面PAC平面ACD=AC,所以PO平面ACD.

    AD平面ACD,所以POAD.

    因为AD=2,CD=2,AC=4,所以AD2+CD2=AC2,所以ADCD.

    O,N分别为AC,AD的中点,所以ONCD,所以ADON.

    ONPO=O,所以AD平面PON.

    AD平面PAD,所以平面PAD平面PON.

    (2)因为PAC是边长为4的等边三角形,

    所以PO=2.

    PO平面ACD,MPA的中点,所以M到平面ACD的距离d=PO=.

    因为ONACD的中位线,所以SAON=SACD=×2×2=.

    所以VM-ANO=SAON·d=.

    7.如图,在四棱锥P-ABCD,平面PAB平面ABCD,PAAB,ABCD,DAB=90°,PA=AD,DC=2AB.

    求证:(1)PABC;

    (2)平面PBC平面PDC.

    证明(1)因为平面PAB平面ABCD,

    平面PAB平面ABCD=AB,PAAB,

    PA平面PAB,所以PA平面ABCD.

    BC平面ABCD,所以PABC.

    (2)PC的中点E,PD的中点F,

    连接BE,AF,EF(图略),EFCD,EF=CD.

    ABCD,AB=CD,所以EFAB.

    所以四边形ABEF为平行四边形,所以BEAF.

    因为PA=AD,FPD的中点,所以AFPD.

    (1)PA平面ABCD,所以PACD.

    DAB=90°,ABCD,所以CDAD.

    PAAD=A,所以CD平面PAD,

    所以CDAF.

    PDCD=D,所以AF平面PDC,

    所以BE平面PDC.

    BE平面PBC,所以平面PBC平面PDC.

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