高考数学一轮复习第三章第六节正弦定理和余弦定理课时作业理含解析北师大版

第六节 正弦定理和余弦定理

授课提示：对应学生用书第311页

[A组　基础保分练]

1．（2021·遵义联考）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2ccos A，sin A＝1，则sin C的值为（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：∵sin A＝1，即sin A＝，又a＝2ccos A，cos A＝>0，∴cos A＝．

由条件及正弦定理得sin A＝2sin Ccos A，

即＝2×sin C，∴sin C＝．

答案：B

2．（2021·阳春一中月考）已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝x，b＝2，B＝30°，若三角形有两个解，则x的取值范围是（　　）

A．（2，＋∞）  B．（2，2）

C．（2，4）  D．（2，2）

解析：因为三角形有两个解，所以xsin B<b<x，可得2<x<4，即x的取值范围是（2，4）．

答案：C

3．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为（　　）

A．锐角三角形  B．直角三角形

C．钝角三角形  D．不确定

解析：因为bcos C＋ccos B＝asin A，所以由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，所以sin（B＋C）＝sin2A，又sin（B＋C）＝sin A且sin A≠0，所以sin A＝1，所以A＝，所以△ABC为直角三角形．

答案：B

4．（2021·承德期末测试）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b＝1，c＝，cos C＝，则a＝（　　）

A．3  B．4

C．5  D．6

解析：由余弦定理可得cos C＝，即＝，整理可得（a－3）（3a＋5）＝0．结合a＞0，可得a＝3．

答案：A

5．（2021·江西上饶模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝（a＋b）2－c2，则tan C的值是（　　）

A．  B．

C．－  D．－

解析：因为S＝absin C，c2＝a2＋b2－2abcos C，

所以由2S＝（a＋b）2－c2，

可得absin C＝（a＋b）2－（a2＋b2－2ab·cos C），

整理得sin C－2cos C＝2，所以（sin C－2cos C）2＝4，

所以＝4，＝4，化简得3tan2C＋4tan C＝0，

因为C∈（0，π），

所以tan C＝－．

答案：C

6．（2021·青岛质检）如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝，则cos A＝（　　）

A．  B．

C．  D．0

解析：设BD＝x，则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，

易知cos∠ADC＝－cos∠BDC，

由余弦定理可得

＝－，解得x＝．故AD＝1，AC＝1，

cos A＝＝0．

答案：D

7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝_________．

解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin Acos B－sin C－＝0．因为sin C＝sin（A＋B）＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0，所以cos A＝－，即A＝．由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b＞c，所以＝2．

答案：2

8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin Bcos C＋csin B·cos A＝b，则B＝_________．

解析：∵asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，

∴sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B．

又∵sin B≠0，

∴sin Acos C＋sin Ccos A＝，

即sin（A＋C）＝sin B＝．

∵0＜B＜π，∴B＝或．

答案：或

9．（2020·高考全国卷Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2＋cos A＝．

（1）求A；

（2）b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形．

解析：（1）由已知得sin2A＋cos A＝，

即cos2A－cos A＋＝0．

所以＝0，cos A＝．

由于0＜A＜π，故A＝．

（2）证明：由正弦定理及已知条件可得sin B－sin C＝sin A．由（1）知B＋C＝，所以sin B－sin＝sin ．即sin B－cos B＝，sin＝．由于0＜B＜，故B＝．从而△ABC是直角三角形．

10．（2021·西安质检）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acos2＋2ccos2＝b．

（1）求证：2（a＋c）＝3b；

（2）若cos B＝，S＝，求b．

解析：（1）证明：由已知得a（1＋cos C）＋c（1＋cos A）＝b．

在△ABC中，过B作BD⊥AC，垂足为D（图略），

则acos C＋ccos A＝b．

所以a＋c＝b，即2（a＋c）＝3b．

（2）因为cos B＝，所以sin B＝．

因为S＝acsin B＝ac＝，所以ac＝8．

又b2＝a2＋c2－2accos B＝（a＋c）2－2ac（1＋cos B），

2（a＋c）＝3b，

所以b2＝－16×，所以b＝4．

[B组　能力提升练]

1．（2021·重庆六校联考）在△ABC中，cos2＝（a，b，c分别为角A，B，C的对边），则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形  B．等边三角形

C．等腰三角形  D．等腰三角形或直角三角形

解析：已知等式变形得cos B＋1＝＋1，即cos B＝　①．由余弦定理得cos B＝，代入①得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．

答案：A

2．（2021·莱阳一中月考）在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C＝（3a－c）cos B，若·＝4，则ac的值为（　　）

A．12  B．11

C．10  D．9

解析：在△ABC中，∵bcos C＝（3a－c）cos B，由正弦定理可得sin Bcos C＝（3sin A－sin C）cos B，∴3sin Acos B－sin Ccos B＝sin Bcos C，即3sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C，即3sin Acos B＝sin（B＋C）＝sin A，又sin A≠0，故cos B＝．由·＝4，可得accos B＝4，即ac＝12．

答案：A

3．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰直角三角形  B．直角三角形

C．等腰三角形  D．等边三角形

解析：∵2cos Bsin A＝sin C，∴2·＝，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形．

答案：C

4．（2021·葫芦岛质检）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，那么b＝（　　）

A．  B．1＋

C．  D．2＋

解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝（a＋c）2－2ac－2accos B，又S△ABC＝acsin B＝ac＝，故ac＝6，因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，可得b2＝4b2－12－6，整理得b2＝4＋2，得b＝1＋．

答案：B

5．（2021·北京海淀区模拟）在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝b，则角A＝_________．

解析：因为2asin B＝b，所以2sin Asin B＝sin B，因为B∈（0，π），sin B≠0，所以sin A＝，所以A＝或A＝．因为△ABC为锐角三角形，所以A＝．

答案：

6．在△ABC中，A＝2B，AB＝，BC＝4，CD平分∠ACB交AB于点D，则线段AD的长为_________．

解析：因为A＝2B，BC＝4，所以由正弦定理＝，得＝＝，所以cos B＝，则cos A＝cos 2B＝2cos2B－1＝－1．在△ABC中，ACcos A＋BCcos B＝AB，即AC·＋4·＝，解得AC＝－（舍去）或AC＝3，由三角形的角平分线，得＝，即＝，解得AD＝1．

答案：1

7．已知△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R（sin2 B－sin2 A）＝（b－c）sin C，c＝3．

（1）求A；

（2）若AD是BC边上的中线，AD＝，求△ABC的面积．

解析：（1）对于2R（sin2 B－sin2 A）＝（b－c）sin C，由正弦定理得bsin B－asin A＝bsin C－csin C，

即b2－a2＝bc－c2，

所以cos A＝＝．因为0°＜A°＜180°，所以A＝60°．

（2）以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，连接DE，易知A，D，E三点共线．

在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝2AD＝，

在△ABE中，由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos 120°，

即19＝9＋AC2－2×3×AC×，得AC＝2．

故S△ABC＝bcsin∠BAC＝．

8．（2021·汕头模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，bsin A＝a·（2－cos B）．

（1）求角B的大小；

（2）D为边AB上一点，且满足CD＝2，AC＝4，锐角三角形△ACD的面积为，求BC的长．

解析：（1）由正弦定理得sin Bsin A＝sin A（2－cos B），

因为A∈（0，π），则sin A＞0，所以sin B＝2－cos B，

所以2sin＝2，

所以sin＝1，

因为B∈（0，π），

所以B＋＝，解得B＝．

（2）由题意，可得S△ACD＝CD·CAsin∠ACD

＝×2×4sin∠ACD＝，

解得sin∠ACD＝．

又因为△ACD为锐角三角形，

所以cos∠ACD＝＝．

在△ACD中，由余弦定理得AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cos∠ACD＝42＋22－2×2×4×＝16，所以AD＝4．

在△ACD中，由正弦定理得＝，

则sin A＝·sin∠ACD＝，

在△ABC中，由正弦定理得＝，

所以BC＝＝．

[C组　创新应用练]

1．如图，四边形ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB＝BC＝1，AC＝CD，AC⊥CD，当∠ABC变化时，BD的最大值为_________．

解析：设∠ACB＝θ，则∠ABC＝π－2θ，∠DCB＝θ＋，由余弦定理可知，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，即AC＝DC＝＝2cos θ，由余弦定理知，BD2＝BC2＋DC2－2BC·DCcos∠DCB，即BD2＝4cos2 θ＋1－2×1×2cos θ·cos＝2cos 2θ＋2sin 2θ＋3＝2sin＋3．由0＜θ＜，可得＜2θ＋＜，则（BD2）max＝2＋3，此时θ＝，因此（BD）max＝＋1．

答案：＋1

2．（2021·云南师范大学附属中学月考）在△ABC中，D为AC上一点，且AD＝2，DC＝1，BD为∠ABC的平分线，则△ABC面积的最大值为_________．

解析：如图，BD为∠ABC的角平分线，且AD＝2，CD＝1．

由角平分线定理知＝＝2，

令BC＝m，AB＝2m，由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边知1＜m＜3．

在△ABC中，由余弦定理知

cos∠ABC＝＝－，

所以S△ABC＝·2m·m·sin∠ABC

＝m2

＝m2＝

＝≤＝3，

当且仅当m2－1＝9－m2，即m＝时取等号，

所以△ABC面积的最大值为3．

答案：3

3．如图，在平面四边形ABCD中，已知A＝，B＝，AB＝6．在AB边上取点E，使得BE＝1，连接EC，ED．若∠CED＝，EC＝．

（1）求sin∠BCE的值；

（2）求CD的长．

解析：（1）在△BEC中，由正弦定理，

知＝．

∵B＝，BE＝1，CE＝，

∴sin∠BCE＝＝＝．

（2）∵∠CED＝B＝，∴∠DEA＝∠BCE，

∴cos∠DEA＝＝＝＝．

∵A＝，∴△AED为直角三角形，又AE＝5，

∴ED＝＝＝2．

在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2××2×＝49．

∴CD＝7．