高考数学一轮复习单元质检四三角函数解三角形B含解析新人教A版理

单元质检四　三角函数、解三角形(B)

(时间:45分钟　满分:100分)

一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)

1.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin 2x的图象上所有的点(　　)

A.向左平行移动个单位长度

B.向右平行移动个单位长度

C.向左平行移动个单位长度

D.向右平行移动个单位长度

答案:D

解析:由题意,为得到函数y=sin=sin,只需把函数y=sin2x的图象上所有点向右平行移动个单位长度,故选D.

2.已知tan θ+=4,则cos2=(　　)

A. B.

C. D.

答案:B

解析:由tanθ+=4,得=4,即=4,

∴sinθcosθ=,

∴cos2=.

3.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=(　　)

A. B. C. D.

答案:D

解析:由题意可知,g(x)=sin(2x-2φ).

由|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).

不妨令2x1=+2kπ(k∈Z),2x2-2φ=-+2mπ(m∈Z),

则x1-x2=-φ+(k-m)π(k∈Z,m∈Z).

因为|x1-x2|min=,0<φ<,

所以当k-m=0,即k=m时,有-φ=,解得φ=.

故选D.

4.已知函数y=sin与y=cos的图象关于直线x=a对称,则a的值可能是(　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:因为函数y=sin的图象关于直线x=a对称的图象对应的函数为y=sin,

即y=cos

=cos,

又因为函数y=sin与y=cos的图象关于直线x=a对称,

所以y=cos=cos,

所以a可以为,故选A.

5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=2(b-cosC),则△ABC周长的取值范围是(　　)

A.(1,3] B.[2,4] C.(2,3] D.[3,5]

答案:C

解析:在△ABC中,由余弦定理可得2cosC=.

∵a=1,2cosC+c=2b,∴+c=2b,

∴(b+c)2-1=3bc.

∵bc≤,∴(b+c)2-1≤3×,

即b+c≤2,当且仅当b=c时,取等号.

故a+b+c≤3.

∵b+c>a=1,∴a+b+c>2.

故△ABC的周长的取值范围是(2,3].

6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin A·cosC+cosAsinC,则下列等式成立的是(　　)

A.a=2b B.b=2a

C.A=2B D.B=2A

答案:A

解析:∵sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,

∴sinB+2sinBcosC=(sinAcosC+cosAsinC)+sinAcosC,

∴sinB+2sinBcosC=sinB+sinAcosC,

∴2sinBcosC=sinAcosC,

又△ABC为锐角三角形,

∴2sinB=sinA,

由正弦定理,得a=2b.故选A.

二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)

7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cos C=,a=1,则b=　　　　　. 

答案:

解析:因为cosA=,cosC=,且A,C为△ABC的内角,

所以sinA=,sinC=,

sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)

=sinAcosC+cosAsinC=.

又因为,所以b=.

8.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是　　　　　,cos∠BDC=　　　　　. 

答案:

解析:如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AE⊥BC,BF⊥CD.

在Rt△ABE中,cos∠ABE=,

∴cos∠DBC=-,

sin∠DBC=.

∴S△BCD=×BD×BC×sin∠DBC=.

∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-,且∠DBF为锐角,

∴sin∠DBF=.

在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=.

综上可得,△BCD的面积是,cos∠BDC=.

三、解答题(本大题共3小题,共44分)

9.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos 2A-3cos(B+C)=1.

(1)求角A的大小;

(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sin BsinC的值.

解:(1)由cos2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cosA-2=0,

即(2cosA-1)(cosA+2)=0,解得cosA=(cosA=-2舍去).

因为0<A<π,所以A=.

(2)由S=bcsinA=bc=5,可得bc=20.

由b=5,解得c=4.

由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21,

故a=.

由正弦定理,得sinBsinC=sinA·sinA=sin2A=.

10.(15分)已知函数f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx的图象关于直线x=对称,其中ω∈.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,锐角B满足f,b=,求△ABC面积的最大值.

解:(1)因为f(x)=sin2ωx-cos2ωx=2sin的图象关于直线x=对称,

所以2ω×=kπ+(k∈Z),

所以ω=+1(k∈Z).

因为ω∈,所以-+1<(k∈Z),

所以-1<k<1(k∈Z),所以k=0,ω=1,

所以f(x)=2sin.

(2)因为f=2sinB=,所以sinB=.

因为B为锐角,所以0<B<,所以cosB=.

因为cosB=,所以,

所以ac=a2+c2-2≥2ac-2,

所以ac≤3,

当且仅当a=c=时,ac取到最大值3,

所以△ABC面积的最大值为×3×.

11.(15分)在△ABC中,AC=BC=2,AB=2.

(1)求BM的长;

(2)设D是平面ABC内一动点,且满足∠BDM=,求BD+MD的取值范围.

解:(1)在△ABC中,AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC,代入数据得cosC=-.

∵,∴CM=MA=AC=1.

在△CBM中,由余弦定理,知BM2=CM2+CB2-2CM·CB·cosC,代入数据得BM=.

(2)设∠DBM=θ,则∠DMB=-θ,θ∈.

在△BDM中,由余弦定理知,.

∴BD=sin,MD=sinθ,

∴BD+MD=sinsinθ=cosθ-sinθ+sinθ)=cosθ.

又θ∈,∴cosθ∈,

∴BD+MD的取值范围为.