高中数学模块综合测评训练含解析北师大版选修1_1

这是一份高中数学模块综合测评训练含解析北师大版选修1_1，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

模块综合测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知命题p:∀x∈R,x≥1,则命题?p为(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.∀x∈R,x≤1
B.∃x∈R,x<1
C.∀x∈R,x≤-1
D.∃x∈R,x<-1
解析:全称命题的否定是特称命题.
答案:B
2.已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),若(a+b)⊥c,则x等于(　　)
A.4 B.-4
C.12 D.-6
解析:∵a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),c=(1,-x,2),a+b=(-2,1,x+3),且(a+b)⊥c,
∴(a+b)·c=0,即-2-x+2(x+3)=0,解得x=-4.故选B.
答案:B
3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为(　　)
A.18 B.-18 C.8 D.-8
解析:由y=ax2得x2=1ay,
∴1a=-8,∴a=-18.
答案:B
4.(2017天津高考)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:∵x=-3满足2-x≥0,但不满足|x-1|≤1,
∴“2-x≥0”不是“|x-1|≤1”的充分条件.
若|x-1|≤1,则-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,可得2-x≥0,
即“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要条件,
故“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.故选B.
答案:B
5.下列选项中,p是q的必要不充分条件的是(　　)
A.p:a+c>b+d,q:a>b且c>d
B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0且a≠1)的图像不过第二象限
C.p:x=1,q:x2=x
D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上为增函数
解析:由于a>b,c>d⇒a+c>b+d,而a+c>b+d却不一定推出a>b,且c>d.故A中p是q的必要不充分条件.B中,当a>1,b>1时,函数f(x)=ax-b不过第二象限,当f(x)=ax-b不过第二象限时,有a>1,b≥1.故B中p是q的充分不必要条件.C中,因为x=1时有x2=x,但x2=x时不一定有x=1,故C中p是q的充分不必要条件.D中p是q的充要条件.
答案:A
6.(2017全国Ⅱ高考)若a>1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是(　　)
A.(2,+∞) B.(2,2) C.(1,2) D.(1,2)
解析:由题意得e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2.
因为a>1,所以1<1+1a2<2.
所以1 答案:C
7.若当x=2时,函数f(x)=ax3-bx+4有极值-43,则函数的解析式为(　　)
A.f(x)=3x3-4x+4
B.f(x)=13x2+4
C.f(x)=3x3+4x+4
D.f(x)=13x3-4x+4
解析:∵f(x)=ax3-bx+4,∴f'(x)=3ax2-b.
由题意得,f(2)=8a-2b+4=-43,f'(2)=12a-b=0,
解得a=13,b=4.∴f(x)=13x3-4x+4.
答案:D
8.(2017天津高考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为(　　)
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.x23-y2=1 D.x2-y23=1
解析:∵双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=bax上,
∴c=2,ba=tan60°,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.所以双曲线的方程为x2-y23=1.故选D.
答案:D
9.若函数f(x)=x2+ax(a∈R),则下列结论正确的是(　　)
A.∀a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函数
B.∀a∈R,f(x)在(0,+∞)上是减函数
C.∃a∈R,f(x)是偶函数
D.∃a∈R,f(x)是奇函数
解析:f'(x)=2x-ax2,故只有当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上才是增函数,因此A,B不对;当a=0时,f(x)=x2是偶函数,因此C对;D不对.
答案:C
10.(2017全国Ⅲ高考)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(　　)
A.63 B.33 C.23 D.13
解析:以线段A1A2为直径的圆的方程是x2+y2=a2.
因为直线bx-ay+2ab=0与圆x2+y2=a2相切,
所以圆心到该直线的距离d=2abb2+a2=a,
整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),
所以c2a2=23,从而e=ca=63.故选A.
答案:A
11.若不等式2xln x≥-x2+ax-3对x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0) B.(-∞,4] C.(0,+∞) D.[4,+∞)
解析:由2xlnx≥-x2+ax-3,得a≤2lnx+x+3x,设h(x)=2lnx+x+3x(x>0),则h'(x)=(x+3)(x-1)x2.当x∈(0,1)时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增,所以h(x)min=h(1)=4.所以a≤h(x)min=4.故a的取值范围是(-∞,4].
答案:B
12.已知点P1,32是椭圆x24+y23=1上一点,点A,B是椭圆上两个动点,满足PA+PB=3PO,则直线AB的斜率为(　　)
A.-12 B.-22 C.12 D.22
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵PA+PB=3PO,点P1,32,
∴x1-1,y1-32+x2-1,y2-32
=3-1,-32,
∴x1+x2=-1,y1+y2=-32.
把A,B代入椭圆方程,得3x12+4y12=12,3x22+4y22=12,
两式相减,得3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴y1-y2x1-x2=-3(x1+x2)4(y1+y2).
∵x1+x2=-1,y1+y2=-32,
∴kAB=y1-y2x1-x2=-3(x1+x2)4(y1+y2)=-12.故选A.
答案:A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.(2017全国Ⅲ高考)双曲线x2a2-y29=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a=　　　　　. 
解析:由双曲线的标准方程可得其渐近线方程为y=±3ax.由题意得3a=35,解得a=5.
答案:5
14.若命题“存在实数x∈[1,2],使得ex+x2+3-m<0”是假命题,则实数m的取值范围为　　　　　. 
解析:∵命题“存在实数x∈[1,2],使得ex+x2+3-m<0”是假命题,
即命题“任意实数x∈[1,2],使得ex+x2+3-m≥0”是真命题,即ex+x2+3≥m.
设f(x)=ex+x2+3,则函数f(x)在[1,2]上为增函数,其最小值为f(1)=e+1+3=e+4,
故m≤e+4.
答案:(-∞,e+4]
15.(2017山东高考)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为　　　　　. 
解析:抛物线x2=2py的焦点F0,p2,准线方程为y=-p2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4|OF|=4·p2=2p.
所以y1+y2=p.
联立双曲线与抛物线方程得x2a2-y2b2=1,x2=2py,
消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0.
所以y1+y2=2pb2a2=p,所以b2a2=12.
所以该双曲线的渐近线方程为y=±22x.
答案:y=±22x
16.已知f(x)=x3+3x2+a(a为常数)在[-3,3]上有最小值3,那么f(x)在[-3,3]上的最大值是　　　　　. 
解析:f'(x)=3x2+6x,令f'(x)=0,
得x=0或x=-2.
又∵f(0)=a,f(-3)=a,
f(-2)=a+4,f(3)=54+a,
∴f(x)的最小值为a,最大值为54+a.
由题可知a=3,∴f(x)的最大值为57.
答案:57
三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)
17.(本小题满分10分)已知p:x2-6x+5≤0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0).
(1)若m=2,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若p是q充分不必要条件,求实数m的取值范围.
解(1)由x2-6x+5≤0,得1≤x≤5,∴p:1≤x≤5.
当m=2时,q:-1≤x≤3.
若p∧q为真,p,q同时为真命题,
则1≤x≤5,-1≤x≤3,即1≤x≤3.
(2)由x2-2x+1-m2≤0,得q:1-m≤x≤1+m.
∵p是q充分不必要条件,
∴[1,5]⫋[1-m,1+m],
∴m>0,1-m≤1,1+m≥5,解得m≥4.
∴实数m的取值范围为m≥4.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2-43ax+b,f(1)=2,f'(1)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程.
解(1)f'(x)=2ax-43a,
由已知得f'(1)=2a-43a=1,f(1)=a-43a+b=2,解得a=32,b=52,
∴f(x)=32x2-2x+52.
(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.
19.(本小题满分12分)设命题p:函数f(x)=lgax2-x+a16的定义域为R;命题q:不等式3x-9x (1)如果p是真命题,求实数a的取值范围;
(2)如果命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.
解(1)若命题p是真命题,则有:①当a=0时,定义域为{x|x<0},不符合题意;②由a>0,1-4a×a16<0得a>0,a>2或a<-2,∴a>2.
因此,实数a的取值范围为(2,+∞).
(2)若命题q是真命题,则不等式3x-9x 令t=3x,t>1,y=t-t2.
当t=1时,ymax=0,∴a≥0.
若命题“p∨q”为真命题,且“p∧q”为假命题,则p,q一真一假.
①若p真q假,则a>2,a<0,此时a无解.
②若p假q真,则a≤2,a≥0,得0≤a≤2.
综上,实数a的取值范围为0≤a≤2.
20.导学号01844063(本小题满分12分)

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若C,D分别是椭圆的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.证明:OM·OP为定值.
(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点.若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)解a=2,b=c,a2=b2+c2,∴b2=2,
∴椭圆方程为x24+y22=1.
(2)证明C(-2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x1,y1),
则OP=(x1,y1),OM=(2,y0).
直线CM:y=y04(x+2),即y=y04x+12y0,代入椭圆方程x2+2y2=4,
得1+y028x2+12y02x+12y02-4=0.
∵x1=-12·4(y02-8)y02+8,∴x1=-2(y02-8)y02+8,
∴y1=8y0y02+8,
∴OP=-2(y02-8)y02+8,8y0y02+8,
∴OP·OM=-4(y02-8)y02+8+8y02y02+8=4y02+32y02+8=4(定值).
(3)解设存在Q(m,0)满足条件,则MQ⊥DP.
MQ=(m-2,-y0),DP=-4y02y02+8,8y0y02+8,
则由MQ·DP=0得-4y02y02+8(m-2)-8y02y02+8=0,
从而得m=0,
∴存在Q(0,0)满足条件.
21.导学号01844064(本小题满分12分)(2017全国Ⅲ高考)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)≤-34a-2.
解(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x+2ax+2a+1=(x+1)(2ax+1)x.
若a≥0,则当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调递增.
若a<0,则当x∈0,-12a时,f'(x)>0;
当x∈-12a,+∞时,f'(x)<0.
故f(x)在0,-12a单调递增,在-12a,+∞单调递减.
(2)由(1)知,当a<0时,f(x)在x=-12a取得最大值,最大值为f-12a=ln-12a-1-14a.
所以f(x)≤-34a-2等价于ln-12a-1-14a≤-34a-2,
即ln-12a+12a+1≤0.
设g(x)=lnx-x+1,则g'(x)=1x-1.
当x∈(0,1)时,g'(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0.
所以g(x)在(0,1)单调递增,在(1,+∞)单调递减.
故当x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0.
所以当x>0时,g(x)≤0.
从而当a<0时,ln-12a+12a+1≤0,
即f(x)≤-34a-2.
22.导学号01844065(本小题满分12分)(2017天津高考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为b22.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=32c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.
①求直线FP的斜率;
②求椭圆的方程.
解(1)设椭圆的离心率为e.
由已知,可得12(c+a)c=b22.
又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,
即2e2+e-1=0.
又因为0 所以,椭圆的离心率为12.
(2)①依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),
则直线FP的斜率为1m.
由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为x2c+yc=1,
即x+2y-2c=0,
与直线FP的方程联立,可解得x=(2m-2)cm+2,
y=3cm+2,
即点Q的坐标为(2m-2)cm+2,3cm+2.
由已知|FQ|=32c,有(2m-2)cm+2+c2+3cm+22=3c22,
整理得3m2-4m=0,所以m=43,即直线FP的斜率为34.
②由a=2c,可得b=3c,故椭圆方程可以表示为x24c2+y23c2=1.
由①得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,
与椭圆方程联立3x-4y+3c=0,x24c2+y23c2=1,消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,
解得x=-13c7(舍去)或x=c.
因此可得点Pc,3c2,进而可得|FP|=(c+c)2+3c22=5c2,
所以|PQ|=|FP|-|FQ|=5c2-3c2=c.
由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.
因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=3c2×34=9c8,
所以△FQN的面积为12|FQ||QN|=27c232,
同理△FPM的面积等于75c232,
由四边形PQNM的面积为3c,得75c232-27c232=3c,
整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.
所以,椭圆的方程为x216+y212=1.