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高中数学第四章导数应用测评训练含解析北师大版选修1_1
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这是一份高中数学第四章导数应用测评训练含解析北师大版选修1_1，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第四章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.设f(x)=xa-ax(0
A.0 B.a C.1 D.1-a
解析:令f'(x0)=ax0a-1-a=0(0
答案:C
2.若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值,最小值分别是m,n,则m-n的值为( )
A.2 B.4
C.18 D.20
解析:令f'(x)=3x2-3=0,∴x=1(x=-1舍去).
∵f(0)=-a,f(1)=-2-a,f(3)=18-a,
∴f(1)
∴m-n=(18-a)-(-2-a)=20.
答案:D
3.函数f(x)=x2-ln x的递减区间是( )
A.0,22
B.22,+∞
C.-∞,-22,0,22
D.-22,0,0,22
解析:f'(x)=2x-1x=2x2-1x,当0
4.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f'(x)>0,g'(x)>0,则x<0时,( )
A.f'(x)>0,g'(x)>0 B.f'(x)>0,g'(x)<0
C.f'(x)<0,g'(x)>0 D.f'(x)<0,g'(x)<0
解析:f(x)为奇函数且x>0时是增加的,所以x<0时是增加的,f'(x)>0;g(x)为偶函数且x>0时是增加的,所以x<0时是减少的,g'(x)<0.
答案:B
5.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是( )
A.0≤a≤21 B.a=0或a=7
C.a<0或a>21 D.a=0或a=21
解析:f'(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f'(x)≥0恒成立,函数不存在极值点.
答案:A
6.已知函数f(x)=xln x,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于( )
A.1 B.-1 C.±1 D.不存在
解析:因为f(x)=xlnx,所以f'(x)=lnx+1,于是有x0lnx0+lnx0+1=1,解得x0=1.
答案:A
7.
如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为( )
A.y=1125x3-35x
B.y=2125x3-45x
C.y=3125x3-x
D.y=-3125x3+15x
解析:根据题意知,所求函数在(-5,5)上是减少的.对于A,y=1125x3-35x,∴y'=3125x2-35=3125(x2-25),∴∀x∈(-5,5),y'<0,∴y=1125x3-35x在(-5,5)上是减少的,同理可验证B,C,D均不满足此条件,故选A.
答案:A
8.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售量为Q,则销售量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170P-P2.最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
解析:设毛利润为L(P),由题意知
L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)
=(8300-170P-P2)(P-20)
=-P3-150P2+11700P-166000,
所以,L'(P)=-3P2-300P+11700.
令L'(P)=0,解得P=30,或P=-130(舍去).
此时,L(30)=23000.
根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.
答案:D
9.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-5,-3] B.-6,-98
C.[-6,-2] D.[-4,-3]
解析:当x∈(0,1]时,得a≥-31x3-41x2+1x,令t=1x,则t∈[1,+∞),a≥-3t3-4t2+t,令g(t)=-3t3-4t2+t,t∈[1,+∞),则g'(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1),显然在[1,+∞)上,g'(t)<0,g(t)是减少的,所以g(t)max=g(1)=-6,因此a≥-6;同理,当x∈[-2,0)时,得a≤-2.由以上两种情况得-6≤a≤-2,显然当x=0时也成立.故实数a的取值范围为[-6,-2].
答案:C
10.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,其导数为f'(x),且满足f'(x)-f(x)=-exx2,又f(1)=e,则函数f(x)在定义域(0,+∞)上( )
A.有极大值 B.有极小值
C.是增加的 D.是减少的
解析:由f'(x)-f(x)=-exx2可得f'(x)-f(x)ex=-1x2,即f(x)ex'=-1x2,于是f(x)ex=1x+c,其中c为常数.又因为f(1)=e,所以ee=1+c,故c=0,从而f(x)=exx.于是f'(x)=ex(x-1)x2,令f'(x)=0得x=1,且01时,f'(x)>0,故函数f(x)在定义域(0,+∞)上有极小值.
答案:B
11.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(-∞,-2)
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)
解析:当a=0时,f(x)=-3x2+1有两个零点,不符合题意,故a≠0.f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),令f'(x)=0,得x=0或x=2a,由题意得a<0且f2a>0,解得a<-2,选B.
答案:B
12.已知函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f'(x)<0,设a=f(0),b=f12,c=f(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a
当x<1时,由(x-1)f'(x)<0知f'(x)>0,
即x<1时,f(x)是增加的.
a=f(0),b=f12,c=f(3)=f(-1),
∵-1<0<12,∴c
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若函数f(x)在x=a处的导数为A(aA≠0),函数F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则A= .
解析:f'(a)=A.
又F'(x)=f'(x)-2A2x,且F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.
∵aA≠0,∴A=12a.
答案:12a
14.一批物资用13辆汽车从A地运到300 km以外的B地,若车速为v km/h,则两车的距离不能小于v102 km时,这批物资全部从A地运到B地至少要花 h.
解析:最后一辆汽车从A地到B地所用的时间为
t=300+12×v102v=300v+3v25,v∈(0,+∞),
则t'=-300v2+325.令t'=0,得-300v2+325=0,
∴v=50.
又∵函数t=300v+3v25在(0,+∞)内只有一个极值点v=50,且这是极小值点,
∴当v=50时,所花费的时间最短为12h.
答案:12
15.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则f'(-3)f'(1)= .
解析:f'(x)=3ax2+2bx+c,结合图像可得x=-1,2为导函数的零点,即f'(-1)=f'(2)=0,故3a-2b+c=0,12a+4b+c=0,解得a=-c6,b=c4,故f'(-3)f'(1)=27a-6b+c3a+2b+c=-5.
答案:-5
16.若函数f(x)=4xx2+1在区间(m,2m+1)上是增加的,则实数m的取值范围是 .
解析:f'(x)=4-4x2(x2+1)2,令f'(x)>0,得-1
所以m≥-1,m<2m+1,2m+1≤1,解得-1
三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)
17.(本小题满分10分)求函数y=x22x的单调区间.
解∵y=x22x,y'=2x·2x-x2·2xln2(2x)2=2x-x2·ln22x,
解y'<0,即2x-x2·ln22x<0,得x<0或x>2ln2.
∴函数y=x22x在0,2ln2上是增加的,在(-∞,0),2ln2,+∞上是减少的.
18.(本小题满分12分)(2017北京高考)已知函数f(x)=excos x-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间0,π2上的最大值和最小值.
解(1)因为f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.
又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.
当x∈0,π2时,h'(x)<0,所以h(x)在区间0,π2上单调递减.
所以对任意x∈0,π2有h(x)
所以函数f(x)在区间0,π2上单调递减.
因此f(x)在区间0,π2上的最大值为f(0)=1,最小值为fπ2=-π2.
19.导学号01844053(本小题满分12分)(2017全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
解(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.
②若a>0,则由f'(x)=0得x=lna.
当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.
③若a<0,则由f'(x)=0得x=ln-a2.
当x∈-∞,ln-a2时,f'(x)<0;
当x∈ln-a2,+∞时,f'(x)>0.
故f(x)在-∞,ln-a2单调递减,在ln-a2,+∞单调递增.
(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.
②若a>0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna.从而当且仅当-a2lna≥0,即a≤1时,f(x)≥0.
③若a<0,则由(1)得,当x=ln-a2时,f(x)取得最小值,最小值为fln-a2=a234-ln-a2.从而当且仅当a234-ln-a2≥0,即a≥-2e34时f(x)≥0.
综上,a的取值范围是[-2e34,1].
20.导学号01844054(本小题满分12分)(2017全国Ⅱ高考)设函数f(x)=(1-x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
解(1)f'(x)=(1-2x-x2)ex.
令f'(x)=0得x=-1-2,x=-1+2.
当x∈(-∞,-1-2)时,f'(x)<0;
当x∈(-1-2,-1+2)时,f'(x)>0;
当x∈(-1+2,+∞)时,f'(x)<0.
所以f(x)在(-∞,-1-2),(-1+2,+∞)内单调递减,在(-1-2,-1+2)内单调递增.
(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.
当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0),
因此h(x)在[0,+∞)内单调递减,
而h(0)=1,故h(x)≤1,
所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.
当00(x>0),
所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0,
故ex≥x+1.
当0(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=5-4a-12,则x0∈(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)>ax0+1.
当a≤0时,取x0=5-12,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=1x2+aln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若不等式xf(x)<2x在(0,1)上恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)函数定义域为(0,+∞),f'(x)=-2x3+ax=ax2-2x3.
①当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在(0,+∞)上是减少的;
②当a>0时,由f'(x)=ax2-2x3>0,解得x>2a;由f'(x)=ax2-2x3<0,解得0
(2)不等式xf(x)<2x,即x1x2+alnx<2x,所以axlnx<1x在(0,1)上恒成立,
由于x∈(0,1),所以lnx<0,
因此a>1x2lnx.
令g(x)=1x2lnx,则g'(x)=-2xlnx+12(x2lnx)2,令g'(x)=0得x=1e,
当00;当x>1e时,g'(x)<0,
所以g(x)在x=1e取得极大值亦即最大值g1e=-2e,
故实数a的取值范围是a>-2e.
22.导学号01844055(本小题满分12分)已知f(x)=ax-ln x,x∈(0,e],g(x)=lnxx,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)讨论当a=1时,f(x)的单调性、极值.
(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+12.
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
解(1)∵f(x)=x-lnx,∴f'(x)=1-1x=x-1x,
∴当00,此时f(x)是增加的.
∴f(x)的极小值为f(1)=1,f(x)在定义域(0,e]上无极大值.
(2)∵f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1,
∴f(x)>0,f(x)min=1.
令h(x)=g(x)+12=lnxx+12,则h'(x)=1-lnxx2,
当00,h(x)在(0,e]上是增加的,
∴h(x)max=h(e)=1e+12<12+12=1=f(x)min,
∴在(1)的条件下,f(x)>g(x)+12.
(3)假设存在实数a,使f(x)=ax-lnx,x∈(0,e]有最小值3,
f'(x)=a-1x=ax-1x.
①当a≤0时,∵x∈(0,e],∴f'(x)<0,∴f(x)在(0,e]上是减少的,
f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=4e(舍去).
②当0<1a
③当1a≥e时,∵x∈(0,e],∴f'(x)<0,
∴f(x)在(0,e]上是减少的,f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=4e(舍去).
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时f(x)有最小值3.
第四章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.设f(x)=xa-ax(0
A.0 B.a C.1 D.1-a
解析:令f'(x0)=ax0a-1-a=0(0
答案:C
2.若函数f(x)=x3-3x-a在区间[0,3]上的最大值,最小值分别是m,n,则m-n的值为( )
A.2 B.4
C.18 D.20
解析:令f'(x)=3x2-3=0,∴x=1(x=-1舍去).
∵f(0)=-a,f(1)=-2-a,f(3)=18-a,
∴f(1)
∴m-n=(18-a)-(-2-a)=20.
答案:D
3.函数f(x)=x2-ln x的递减区间是( )
A.0,22
B.22,+∞
C.-∞,-22,0,22
D.-22,0,0,22
解析:f'(x)=2x-1x=2x2-1x,当0
4.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f'(x)>0,g'(x)>0,则x<0时,( )
A.f'(x)>0,g'(x)>0 B.f'(x)>0,g'(x)<0
C.f'(x)<0,g'(x)>0 D.f'(x)<0,g'(x)<0
解析:f(x)为奇函数且x>0时是增加的,所以x<0时是增加的,f'(x)>0;g(x)为偶函数且x>0时是增加的,所以x<0时是减少的,g'(x)<0.
答案:B
5.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是( )
A.0≤a≤21 B.a=0或a=7
C.a<0或a>21 D.a=0或a=21
解析:f'(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f'(x)≥0恒成立,函数不存在极值点.
答案:A
6.已知函数f(x)=xln x,若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1,则x0的值等于( )
A.1 B.-1 C.±1 D.不存在
解析:因为f(x)=xlnx,所以f'(x)=lnx+1,于是有x0lnx0+lnx0+1=1,解得x0=1.
答案:A
7.
如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为( )
A.y=1125x3-35x
B.y=2125x3-45x
C.y=3125x3-x
D.y=-3125x3+15x
解析:根据题意知,所求函数在(-5,5)上是减少的.对于A,y=1125x3-35x,∴y'=3125x2-35=3125(x2-25),∴∀x∈(-5,5),y'<0,∴y=1125x3-35x在(-5,5)上是减少的,同理可验证B,C,D均不满足此条件,故选A.
答案:A
8.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元,销售量为Q,则销售量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170P-P2.最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
解析:设毛利润为L(P),由题意知
L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)
=(8300-170P-P2)(P-20)
=-P3-150P2+11700P-166000,
所以,L'(P)=-3P2-300P+11700.
令L'(P)=0,解得P=30,或P=-130(舍去).
此时,L(30)=23000.
根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.
答案:D
9.当x∈[-2,1]时,不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.[-5,-3] B.-6,-98
C.[-6,-2] D.[-4,-3]
解析:当x∈(0,1]时,得a≥-31x3-41x2+1x,令t=1x,则t∈[1,+∞),a≥-3t3-4t2+t,令g(t)=-3t3-4t2+t,t∈[1,+∞),则g'(t)=-9t2-8t+1=-(t+1)(9t-1),显然在[1,+∞)上,g'(t)<0,g(t)是减少的,所以g(t)max=g(1)=-6,因此a≥-6;同理,当x∈[-2,0)时,得a≤-2.由以上两种情况得-6≤a≤-2,显然当x=0时也成立.故实数a的取值范围为[-6,-2].
答案:C
10.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,其导数为f'(x),且满足f'(x)-f(x)=-exx2,又f(1)=e,则函数f(x)在定义域(0,+∞)上( )
A.有极大值 B.有极小值
C.是增加的 D.是减少的
解析:由f'(x)-f(x)=-exx2可得f'(x)-f(x)ex=-1x2,即f(x)ex'=-1x2,于是f(x)ex=1x+c,其中c为常数.又因为f(1)=e,所以ee=1+c,故c=0,从而f(x)=exx.于是f'(x)=ex(x-1)x2,令f'(x)=0得x=1,且0
答案:B
11.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(-∞,-2)
C.(1,+∞) D.(-∞,-1)
解析:当a=0时,f(x)=-3x2+1有两个零点,不符合题意,故a≠0.f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),令f'(x)=0,得x=0或x=2a,由题意得a<0且f2a>0,解得a<-2,选B.
答案:B
12.已知函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时,(x-1)f'(x)<0,设a=f(0),b=f12,c=f(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a
当x<1时,由(x-1)f'(x)<0知f'(x)>0,
即x<1时,f(x)是增加的.
a=f(0),b=f12,c=f(3)=f(-1),
∵-1<0<12,∴c
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若函数f(x)在x=a处的导数为A(aA≠0),函数F(x)=f(x)-A2x2满足F'(a)=0,则A= .
解析:f'(a)=A.
又F'(x)=f'(x)-2A2x,且F'(a)=f'(a)-2aA2=A-2aA2=0.
∵aA≠0,∴A=12a.
答案:12a
14.一批物资用13辆汽车从A地运到300 km以外的B地,若车速为v km/h,则两车的距离不能小于v102 km时,这批物资全部从A地运到B地至少要花 h.
解析:最后一辆汽车从A地到B地所用的时间为
t=300+12×v102v=300v+3v25,v∈(0,+∞),
则t'=-300v2+325.令t'=0,得-300v2+325=0,
∴v=50.
又∵函数t=300v+3v25在(0,+∞)内只有一个极值点v=50,且这是极小值点,
∴当v=50时,所花费的时间最短为12h.
答案:12
15.已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则f'(-3)f'(1)= .
解析:f'(x)=3ax2+2bx+c,结合图像可得x=-1,2为导函数的零点,即f'(-1)=f'(2)=0,故3a-2b+c=0,12a+4b+c=0,解得a=-c6,b=c4,故f'(-3)f'(1)=27a-6b+c3a+2b+c=-5.
答案:-5
16.若函数f(x)=4xx2+1在区间(m,2m+1)上是增加的,则实数m的取值范围是 .
解析:f'(x)=4-4x2(x2+1)2,令f'(x)>0,得-1
所以m≥-1,m<2m+1,2m+1≤1,解得-1
三、解答题(本大题共6小题,需写出演算过程与文字说明,共70分)
17.(本小题满分10分)求函数y=x22x的单调区间.
解∵y=x22x,y'=2x·2x-x2·2xln2(2x)2=2x-x2·ln22x,
解y'<0,即2x-x2·ln22x<0,得x<0或x>2ln2.
∴函数y=x22x在0,2ln2上是增加的,在(-∞,0),2ln2,+∞上是减少的.
18.(本小题满分12分)(2017北京高考)已知函数f(x)=excos x-x.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间0,π2上的最大值和最小值.
解(1)因为f(x)=excosx-x,所以f'(x)=ex(cosx-sinx)-1,f'(0)=0.
又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.
(2)设h(x)=ex(cosx-sinx)-1,则h'(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx.
当x∈0,π2时,h'(x)<0,所以h(x)在区间0,π2上单调递减.
所以对任意x∈0,π2有h(x)
所以函数f(x)在区间0,π2上单调递减.
因此f(x)在区间0,π2上的最大值为f(0)=1,最小值为fπ2=-π2.
19.导学号01844053(本小题满分12分)(2017全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
解(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.
②若a>0,则由f'(x)=0得x=lna.
当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.
③若a<0,则由f'(x)=0得x=ln-a2.
当x∈-∞,ln-a2时,f'(x)<0;
当x∈ln-a2,+∞时,f'(x)>0.
故f(x)在-∞,ln-a2单调递减,在ln-a2,+∞单调递增.
(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.
②若a>0,则由(1)得,当x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(lna)=-a2lna.从而当且仅当-a2lna≥0,即a≤1时,f(x)≥0.
③若a<0,则由(1)得,当x=ln-a2时,f(x)取得最小值,最小值为fln-a2=a234-ln-a2.从而当且仅当a234-ln-a2≥0,即a≥-2e34时f(x)≥0.
综上,a的取值范围是[-2e34,1].
20.导学号01844054(本小题满分12分)(2017全国Ⅱ高考)设函数f(x)=(1-x2)ex.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.
解(1)f'(x)=(1-2x-x2)ex.
令f'(x)=0得x=-1-2,x=-1+2.
当x∈(-∞,-1-2)时,f'(x)<0;
当x∈(-1-2,-1+2)时,f'(x)>0;
当x∈(-1+2,+∞)时,f'(x)<0.
所以f(x)在(-∞,-1-2),(-1+2,+∞)内单调递减,在(-1-2,-1+2)内单调递增.
(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.
当a≥1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h'(x)=-xex<0(x>0),
因此h(x)在[0,+∞)内单调递减,
而h(0)=1,故h(x)≤1,
所以f(x)=(x+1)h(x)≤x+1≤ax+1.
当0
所以g(x)在[0,+∞)内单调递增,而g(0)=0,
故ex≥x+1.
当0
当a≤0时,取x0=5-12,则x0∈(0,1),f(x0)>(1-x0)(1+x0)2=1≥ax0+1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=1x2+aln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若不等式xf(x)<2x在(0,1)上恒成立,求实数a的取值范围.
解(1)函数定义域为(0,+∞),f'(x)=-2x3+ax=ax2-2x3.
①当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在(0,+∞)上是减少的;
②当a>0时,由f'(x)=ax2-2x3>0,解得x>2a;由f'(x)=ax2-2x3<0,解得0
(2)不等式xf(x)<2x,即x1x2+alnx<2x,所以axlnx<1x在(0,1)上恒成立,
由于x∈(0,1),所以lnx<0,
因此a>1x2lnx.
令g(x)=1x2lnx,则g'(x)=-2xlnx+12(x2lnx)2,令g'(x)=0得x=1e,
当0
所以g(x)在x=1e取得极大值亦即最大值g1e=-2e,
故实数a的取值范围是a>-2e.
22.导学号01844055(本小题满分12分)已知f(x)=ax-ln x,x∈(0,e],g(x)=lnxx,其中e是自然对数的底数,a∈R.
(1)讨论当a=1时,f(x)的单调性、极值.
(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+12.
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
解(1)∵f(x)=x-lnx,∴f'(x)=1-1x=x-1x,
∴当0
∴f(x)的极小值为f(1)=1,f(x)在定义域(0,e]上无极大值.
(2)∵f(x)的极小值为1,即f(x)在(0,e]上的最小值为1,
∴f(x)>0,f(x)min=1.
令h(x)=g(x)+12=lnxx+12,则h'(x)=1-lnxx2,
当0
∴h(x)max=h(e)=1e+12<12+12=1=f(x)min,
∴在(1)的条件下,f(x)>g(x)+12.
(3)假设存在实数a,使f(x)=ax-lnx,x∈(0,e]有最小值3,
f'(x)=a-1x=ax-1x.
①当a≤0时,∵x∈(0,e],∴f'(x)<0,∴f(x)在(0,e]上是减少的,
f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=4e(舍去).
②当0<1a
③当1a≥e时,∵x∈(0,e],∴f'(x)<0,
∴f(x)在(0,e]上是减少的,f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=4e(舍去).
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时f(x)有最小值3.
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