高中数学第四章导数应用第4课时导数及其应用训练含解析北师大版选修1_1

第4课时　导数及其应用

1.已知f(x)=x3-x2+6x-a,若对任意实数x,f'(x)≥m恒成立,则m的最大值为(　　)

A.3 B.2 C.1 D.-

解析:f'(x)=3x2-9x+6,因为对任意实数x,f'(x)≥m恒成立,即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立,所以Δ=81-12(6-m)≤0,解得m≤-,即m的最大值为-,故选D.

答案:D

2.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是(　　)

A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)

B.-x0是f(-x)的极小值点

C.-x0是-f(x)的极小值点

D.-x0是-f(-x)的极小值点

解析:f(x)与-f(-x)的图像关于原点对称,故x0(x0≠0)是f(x)的极大值点时,-x0是-f(-x)的极小值点,故选D.

答案:D

3.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是(　　)

A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]

C.[2,+∞) D.[1,+∞)

解析:由f'(x)=k-,又f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0在x∈(1,+∞)上恒成立,

即k≥在x∈(1,+∞)上恒成立.

又当x∈(1,+∞)时,0<<1,故k≥1.故选D.

答案:D

4.函数f(x)=1+x+(x∈R)的零点的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:因为f'(x)=1+x+x2=>0,因此函数f(x)在R上单调递增,且f(-2)=-<0,f(2)=>0,因此函数f(x)零点的个数为1,故选B.

答案:B

5.若0<x1<x2<1,则(　　)

A.>ln x2-ln x1

B.<ln x2-ln x1

C.x2>x1

D.x2<x1

解析:令f(x)=,则f'(x)=.

当0<x<1时,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)上单调递减.

∵0<x1<x2<1,

∴f(x2)<f(x1),即,

∴x2>x1,故选C.

答案:C

6.(2015陕西高考)函数y=xex在其极值点处的切线方程为　　　　　　　　　. 

解析:令y'=(x+1)ex=0,得x=-1,

则切点为.

∵函数在极值点处的导数为0,即切线斜率为0,则切线方程为y=-.

答案:y=-

7.(2015天津高考)已知函数f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则a的值为　　　　　. 

解析:因为f(x)=axlnx,

所以f'(x)=alnx+ax·=a(lnx+1).

由f'(1)=3得a(ln1+1)=3,所以a=3.

答案:3

8.已知函数f(x)=ex(ax2-2x+2),其中a>0.

(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+e2y-1=0垂直,求实数a的值;

(2)讨论f(x)的单调性.

解f'(x)=ex[ax2+(2a-2)x](a>0).

(1)由题意得f'(2)·=-1,解得a=.

(2)令f'(x)=0,得x1=0,x2=.

①当0<a<1时,f(x)的增区间为(-∞,0),,减区间为;

②当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;

③当a>1时,f(x)的增区间为,(0,+∞),减区间为.

9.导学号01844061已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.

(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;

(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.

解(1)当a=-4时,由f'(x)==0得x=或x=2,

由f'(x)>0得x∈或x∈(2,+∞),

故函数f(x)的单调递增区间为和(2,+∞).

(2)因为f'(x)=,a<0,

由f'(x)=0得x=-或x=-.

当x∈时,f(x)单调递增;

当x∈时,f(x)单调递减;

当x∈时,f(x)单调递增,

易知f(x)=(2x+a)2≥0,且f=0.

①当-≤1时,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=±2-2,均不符合题意.

②当1<-≤4时,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]上的最小值为f=0,不符合题意.

③当->4时,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得,而f(1)≠8,

由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去),

当a=-10时,f(x)在(1,4)单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意.

综上有,a=-10.

10.导学号01844062已知函数f(x)=ax2+x-xln x.

(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;

(2)若f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围.

解(1)当a=0时,f(x)=x-xlnx,函数定义域为(0,+∞).

f'(x)=-lnx,由-lnx=0,得x=1.

当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函数;

当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上是减函数.

(2)由f(1)=2,得a+1=2,所以a=1,

因此f(x)=x2+x-xlnx.

由f(x)≥bx2+2x,得(1-b)x-1≥lnx.

因为x>0,所以b≤1-恒成立.

令g(x)=1-,可得g'(x)=,

因此g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

所以g(x)min=g(1)=0,

故b的取值范围是(-∞,0].