高中数学第四章导数应用习题课1导数的综合应用训练含解析北师大版选修1_1

习题课——抛物线的综合问题及应用

1.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为30°的直线,与抛物线交于A,B两点,若∈(0,1),则=(　　)

A. B.

C. D.

解析:因为抛物线的焦点为,直线方程为y=x+,与抛物线方程联立得x2-px-p2=0,解方程得xA=-p,xB=p,

所以.故选C.

答案:C

2.设抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则此直线的斜率的取值范围是(　　)

A. B.[-2,2]

C.[-1,1] D.[-4,4]

解析:准线x=-2,Q(-2,0),设y=k(x+2),

由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,

当k=0时,x=0,即交点为(0,0);

当k≠0时,由Δ≥0,得-1≤k<0或0<k≤1.

综上,k的取值范围是[-1,1],故选C.

答案:C

3.已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,O为原点.若|OA|=|OB|,△AOB的垂心恰为抛物线的焦点F,则直线AB的方程是(　　)

A.x=p B.x=3p

C.x=p D.x=p

解析:由抛物线的对称性,知A,B两点关于x轴对称.

设A点坐标为(x1,y1),则B点坐标为(x1,-y1).

抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为F,

由F是△AOB的垂心,知AF⊥OB,

因此kAFkOB=-1,

即=-1.①

由点A在抛物线上,得=2px1.②

将②代入①,得x1=,故直线AB的方程为x=p.

答案:D

4.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是　　　　　　　　. 

解析:依题意可知,机器人行进的轨迹方程为y2=4x.设斜率为k的直线方程为y=k(x+1),联立消去y,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.

由Δ=(2k2-4)2-4k4<0,得k2>1,解得k<-1或k>1.

答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)

5.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=　　　　　. 

解析:设点A,B的横坐标分别是x1,x2,则依题意有焦点F(1,0),|AF|=x1+1=2,x1=1,直线AF的方程是x=1,此时弦AB为抛物线的通径,故|BF|=|AF|=2.

答案:2

6.导学号01844020过点P(2,2)作抛物线y2=3x的弦AB,恰被P所平分,则AB所在的直线方程为　　　　　. 

解析:方法一:设以P为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有=3x1,①

=3x2,②

x1+x2=4,y1+y2=4.③

①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=3(x1-x2).④

将③代入④得y1-y2=(x1-x2),

即,

∴k=.

∴所求弦AB所在直线方程为y-2=(x-2),即3x-4y+2=0.

方法二:设弦AB所在直线方程为y=k(x-2)+2.

由

消去x,得ky2-3y-6k+6=0,

此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标,由韦达定理和中点坐标公式,得y1+y2=,又y1+y2=4,∴k=.

∴所求弦AB所在直线方程为3x-4y+2=0.

答案:3x-4y+2=0

7.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为　　　　　. 

解析:由于P,Q为抛物线x2=2y,即y=x2上的点,且横坐标分别为4,-2,则P(4,8),Q(-2,2),从而在点P处的切线斜率k1=4.据点斜式,得曲线在点P处的切线方程为y-8=4(x-4);同理,曲线在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2).将这两个方程联立,解得交点A的纵坐标为-4.

答案:-4

8.导学号01844021抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.

解如图所示,依题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),

则直线方程为y=-x+p.

设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),

则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD|=x1++x2+,

即x1++x2+=8.①

又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,

由消去y,得x2-3px+=0,

∴x1+x2=3p.将其代入①得p=2,

∴所求抛物线方程为y2=4x.

当抛物线方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x.

9.导学号01844022如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB.求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.

解点A,B在抛物线y2=4px上

设A,B,OA,OB的斜率分别为kOA,kOB,所以kOA=,kOB=,

由OA⊥OB,得kOA·kOB==-1,①

又点A在AB上,得直线AB方程为

(yA+yB)(y-yA)=4p,②

由OM⊥AB,得直线OM方程为y=x,③

设点M(x,y),则x,y满足②,③两式,

将②式两边同时乘以-,并利用③式,可得=-x2+,

整理得yAyB+(x2+y2)=0,

由①式知,yAyB=-16p2,所以x2+y2-4px=0,

因为A,B是原点以外的两点,所以x>0.所以M的轨迹是以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆去掉坐标原点.