高考数学一轮复习第九章第五节古典概型几何概型课时作业理含解析北师大版

第五节 古典概型、几何概型

授课提示：对应学生用书第383页

[A组　基础保分练]

1．（2021·厦门月考）甲、乙两名同学分别从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（　　）

A．　　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：由题意，甲、乙两名同学各自等可能地从“象棋”“文学”“摄影”三个社团中选取一个社团加入，共有3×3＝9种不同的结果，这两名同学加入同一个社团有3种情况，则这两名同学加入同一个社团的概率是＝．

答案：B

2．利用计算机在区间（0，4）内产生随机数a，则不等式log2（2a－1）＜0成立的概率是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：由log2（2a－1）＜0，可得0＜2a－1＜1，即＜a＜1，由几何概型的概率计算公式，可得所求概率P＝＝．

答案：D

3．（2021·长沙模拟）如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍．若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（　　）

A．  B．

C．1－  D．1－

解析：正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为82－8π．在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P＝＝1－．

答案：C

4．从集合A＝{2，3，－4}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2，－3，4}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第二象限的概率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：依题意k和b的所有可能的取法一共有9种，当直线y＝kx＋b不经过第二象限时，应有k＞0，b＜0，一共有4种，所以所求概率为．

答案：C

5．（2021·河南洛阳模拟）在边长为2的正三角形内部随机取一个点，则该点到三角形3个顶点的距离都不小于1的概率为（　　）

A．1－  B．1－

C．1－  D．1－

解析：若点P到三个顶点的距离都不小于1，则分别以A，B，C为圆心作半径为1的圆，则P的位置位于阴影部分，如图所示．在三角形内部的三个扇形的面积之和为×3××12＝，△ABC的面积S＝×22×sin 60°＝，则阴影部分的面积S＝－，则对应的概率P＝＝1－．

 答案：B

 6．某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课的时间为7：50～8：30，课间休息10分钟．某同学请假后返校，若他在8：50～9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为（　　）

A．　　 B．　　　

C．　　　 D．

解析：随机到达教室总的时间长度为40分钟，第二节课8：40开始，9：20结束，听第二节课的时间不少于20分钟，必须在9：00前到达教室，即8：50～9：00到达即可，时间长度为10分钟，根据几何概型可知听第二节课的时间不少于20分钟的概率P＝＝．

答案：B

7．（2019·高考江苏卷）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_________．

解析：设3名男同学分别为A，B，C，2名女同学分别为a，b，则所有等可能事件分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为．

同法一，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－＝．

答案：

8．如图所示，黑色部分和白色部分图形是由曲线y＝，y＝－，y＝x，y＝－x及圆构成的．在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_________．

解析：根据图像的对称性知，黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是．

答案：

9．已知关于x的二次函数f（x）＝b2x2－（a＋1）x＋1．

（1）若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求y＝f（x）恰有一个零点的概率；

（2）若a，b∈[1，6]，求满足y＝f（x）有零点的概率．

解析：（1）设（a，b）表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），…，（6，5），（6，6），共36个．

用A表示事件“y＝f（x）恰有一个零点”，即Δ＝[－（a＋1）]2－4b2＝0，则a＋1＝2b．则A包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个，所以P（A）＝＝．

即事件“y＝f（x）恰有一个零点”的概率为．

（2）用B表示事件“y＝f（x）有零点”，即a＋1≥2b．试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6}，构成事件B的区域为{（a，b）|1≤a≤6，1≤b≤6，a－2b＋1≥0}．

所以所求的概率为P（B）＝＝，即事件“y＝f（x）有零点”的概率为．

10．为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评成绩达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：

A类行业：85，82，77，78，83，87；

B类行业：76，67，80，85，79，81；

C类行业：87，89，76，86，75，84，90，82．

（1）试估算这三类行业中每类行业的单位个数；

（2）若在A类行业抽样的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．

解析：（1）由题意，抽取的三类行业单位个数之比为3∶3∶4．

由分层抽样的定义，有

A类行业单位的个数为×200＝60；

B类行业单位的个数为×200＝60；

C类行业单位的个数为×200＝80．

∴A，B，C三类行业单位的个数分别为60，60，80．

（2）记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M．

在A类行业的6个单位中随机选取3个单位的考评数据情形有：{85，82，77}，{85，82，78}，{85，82，83}，{85，82，87}，{85，77，78}，{85，77，83}，{85，77，87}，{85，78，83}，{85，78，87}，{85，83，87}，{82，77，78}，{82，77，83}，{82，77，87}，{82，78，83}，{82，78，87}，{82，83，87}，{77，78，83}，{77，78，87}，{77，83，87}，{78，83，87}．共20种．

这3个单位都是“星级”环保单位的考评数据情形有：{85，82，83}，{85，82，87}，{85，83，87}，{82，83，87}．共4种．

这3个单位都是“非星级”环保单位的考评数据情形有0种．

∴这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共有4种．

∴所求概率P（M）＝1－＝．

[B组　能力提升练]

1．（2021·石家庄摸底）大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总个数n＝CA＝36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m＝A＋CA＝12，所以小明恰好分配到甲村小学的概率P＝＝＝．

答案：C

2．（2021·广州四校联考）某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为2∶2∶1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，再从所抽取样本中选2人进行问卷调查，则至少有1人是高一学生的概率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：从高一、高二、高三所抽取的人数分别为4，4，2，再从所取样本中选2人进行问卷调查的总的情况数为C＝＝45，则至少有1人是高一学生的情况数为CC＋C＝4×6＋6＝30，故至少有1人是高一学生的概率为＝．

答案：C

3．（2020·安徽合肥模拟）已知圆C：x2＋y2＝4与y轴负半轴交于点M，圆C与直线l：x－y＋1＝0相交于A，B两点，那么在圆C内随机取一点，则该点落在△ABM内的概率为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：如图所示，由点到直线距离公式得|OC|＝＝，则|AB|＝2  ＝，同理可得|MD|＝＝，所以S△MAB＝|AB|·|MD|＝，由几何概型知，该点落在△ABM内的概率为＝＝．

答案：A

4．博览会安排了分别标有“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾，某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（　　）

A．P1·P2＝  B．P1＝P2＝

C．P1＜P2  D．P1＋P2＝

解析：三辆车的出发顺序共有6种可能：（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），（3，1，2），（3，2，1）．若该嘉宾按方案一乘车，坐到“3号”车的可能情况有（1，3，2），（2，1，3），（2，3，1），共3种，所以其坐到“3号”车的概率P1＝＝；若该嘉宾按方案二乘车，坐到“3号”车的可能情况有（3，1，2），（3，2，1），共2种，所以其坐到“3号”车的概率P2＝＝．所以P1＋P2＝．

答案：D

5．（2021·辽宁省实验中学期末测试）为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是_________．

解析：设事件A＝{春节和端午节至少有一个被选中}，则＝{两个节日都没被选中}，所以P（A）＝1－P（）＝1－＝0．7．

答案：0．7

6．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了“完全数”6和28，后人进一步研究发现后续3个“完全数”分别为496，8 128，33 550 336，现将这5个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为_________．

解析：记5个“完全数”中随机抽出2个为第一组，剩下3个为第二组，则基本事件总数为10．又6和28恰好在第一组有1种情况，6，28和其他3个数中的1个在第二组有3种情况，所以所求概率为＝．

答案：

7．（2021·甘肃诊断）甘肃省瓜州县自古就以盛产蜜瓜而名扬中外，生产的瓜州蜜瓜有4个系列30多个品种，质脆汁多，香甜可口，清爽宜人，含糖量达14%～19%，是消暑止渴的佳品．有诗赞曰：冰泉浸绿玉，霸刀破黄金；凉冷消晚暑，清甘洗渴心．调查表明，蜜瓜的甜度与海拔高度、日照时长、温差有极强的相关性，分别用x，y，z表示蜜瓜甜度与海拔高度、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定蜜瓜的等级，若ω≥4，则为一级；若2≤ω≤3，则为二级；若0≤ω≤1，则为三级．近年来，周边各省也开始发展蜜瓜种植，为了了解目前蜜瓜在周边各省的种植情况，研究人员从不同省份随机抽取了10块蜜瓜种植地，得到如下结果：

（1）若有蜜瓜种植地110块，试估计等级为三级的蜜瓜种植地的数量；

（2）从样本里等级为一级的蜜瓜种植地中随机抽取两块，求这两块种植地的综合指标ω至少有一个为4的概率．

解析：（1）计算10块种植地的综合指标，可得下表：

由上表可知：等级为三级的有A，H，共2块，其频率为．

用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为三级的蜜瓜种植地的数量为110×＝22（块）．

（2）由（1）可知，等级是一级的（ω≥4）有B，D，F，G，I，共5块，从中随机抽取两块，所有的可能结果为：（B，D），（B，F），（B，G），（B，I），（D，F），（D，G），（D，I），（F，G），（F，I），（G，I），共10个．

其中综合指标ω＝4的有D，F，2块，符合题意的可能结果为（B，D），（B，F），（D，F），（D，G），（D，I），（F，G），（F，I），共7个，

设“两块种植地的综合指标ω至少有一个为4”为事件M，

则P（M）＝．

[C组　创新应用练]

1．2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数．素数对（p，p＋2）称为孪生素数．从10以内的素数中任取2个构成素数对，其中能构成孪生素数的概率为（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：10以内的素数有2，3，5，7，共4个，从中任取2个构成的素数对有12个．根据素数对（p，p＋2）称为孪生素数，知10以内的素数组成的素数对（3，5），（5，7）为孪生素数，所以能构成孪生素数的概率P＝＝．

答案：D

2．（2021·惠州二调）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“任何一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和”，如40＝3＋37．在不超过40的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于40的概率是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：不超过40的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，共12个数．40＝3＋37＝11＋29＝17＋23，共3组数的和等于40，所以随机选取2个不同的数，其和等于40的概率为＝．

答案：C

3．（2021·大同调研）我国古代数学家赵爽所著的《周髀算经注》中给出了勾股定理的绝妙证明，如图所示是赵爽的弦图，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色、黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋（股－勾）2＝4×朱实＋黄实＝弦实，化简得勾2＋股2＝弦2，设其中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（　　）

A．866  B．500

C．300  D．134

解析：因为勾股比为1∶，不妨设勾为1，则股为，大正方形的边长为2，小正方形的边长为－1．设落在黄色图形内的图钉数为n，则有＝，解得n≈134．

答案：D