高考数学一轮复习第九章第八节离散型随机变量的均值与方差正态分布课时作业理含解析北师大版

第八节 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

授课提示：对应学生用书第389页

[A组　基础保分练]

1.已知随机变量X的分布列为

则E（6X＋8）＝（　　）

A.13.2　　 B.21.2　　　

C.20.2　　　 D.22.2

解析：由题意知EX＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，

∴E（6X＋8）＝6EX＋8＝6×2.2＋8＝21.2.

答案：B

2.（2021·大庆模拟）已知ξ～B，并且η＝2ξ＋3，则方差D（η）＝（　　）

A.  B. 

C.  D.

解析：由题意知，Dξ＝4××＝，∵η＝2ξ＋3，∴Dη＝4Dξ＝4×＝.

答案：A

3.（2020·河南焦作一模）设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是（　　）

（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ<X≤μ＋σ）≈0.682 6）

A.7 539  B.6 038

C.7 028  D.6 587

解析：因为X～N（1，1），所以μ＝1，σ＝1，μ＋σ＝2，μ－σ＝0，因为P（μ－σ<X≤μ＋σ）≈0.682 6，所以P（0<X≤2）≈0.682 6，则P（1<X≤2）≈0.341 3，所以阴影部分的面积为1－0.341 3＝0.658 7，所以从正方形ABCD中随机取10 000个点，则取自阴影部分的点的个数的估计值是6 587.

答案：D

4.（2021·海口期末测试）已知随机变量X服从正态分布N（a，4），且P（X>1）＝0.5，P（X>2）＝0.3，则P（X<0）＝（　　）

A.0.2  B.0.3 

C.0.7  D.0.8

解析：随机变量X服从正态分布N（a，4），所以曲线关于x＝a对称，且P（X>a）＝0.5.由P（X>1）＝0.5，可知a＝1，所以P（X<0）＝P（X>2）＝0.3.

答案：B

5.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为（　　）

A.  B. 

C.2  D.

解析：因为口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2，3，所以P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以EX＝2×＋3×＝.

答案：D

6.（2021·日照模拟）甲、乙两自动车床生产同种标准件，X表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X、Y的分布列分别是

据此判断（　　）

A.甲比乙质量好  B.乙比甲质量好

C.甲比乙质量相同  D.无法判定

解析：EX＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，

EY＝0.3＋0.4＝0.7，

∴EX<EY，

∴甲车床生产的零件次品较少.

答案：A

7.（2021·上饶期末测试）已知随机变量X的分布列如下，若随机变量Y＝2X＋3，则Y的期望是_________.

解析：根据随机变量的分布列的性质，可知＋＋p＝1，解得p＝，由期望的公式，可得随机变量X的期望E（X）＝－1×＋0×＋1×＝－.又Y＝2X＋3，所以EY＝2EX＋3＝2×＋3＝.

答案：

8.某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2）.若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为_________.

解析：记考试成绩为ξ，则考试成绩的正态曲线关于直线ξ＝90对称.因为P（70<ξ≤110）＝0.7，所以P（ξ≤70）＝P（ξ>110）＝×（1－0.7）＝0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1 000×0.15＝ 150.

答案：150

9.（2021·南通联考）甲、乙两人玩摸球游戏，每两局为一轮，每局游戏的规则如下：甲、乙两人从装有4个红球、1个黑球（除颜色外完全相同）的袋中轮流不放回摸取1个球，摸到黑球便结束该局，且摸到黑球的人获胜.

（1）若在一局游戏中甲先摸，求甲在该局获胜的概率；

（2）若在一轮游戏中约定：第一局甲先摸，第二局乙先摸，每一局先摸并获胜的人得1分，后摸并获胜的人得2分，未获胜的人得0分，求此轮游戏中甲得分X的概率分布及数学期望.

解析：（1）记“一局中甲先摸，甲在该局获胜”为事件A，易知黑球被摸到的情况有5种，且被甲摸到的情况有3种，所以P（A）＝.故甲在该局获胜的概率为.

（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，

则P（X＝0）＝×＝.

P（X＝1）＝×＝，P（X＝2）＝×＝，

P（X＝3）＝×＝，

所以X的概率分布为

数学期望EX＝×0＋×1＋×2＋×3＝.

10.（2021·邵阳联考）为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织了“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与.志愿者的工作内容有两项：①到各班宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；②整理、打包募捐上来的衣物.每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作，相关统计数据如下表所示：

（1）如果用分层抽样的方法从这50名志愿者中抽取5人，再从这5人中随机选2人，求至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率；

（2）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望.

解析：（1）用分层抽样的方法，抽样比是＝，

所以5人中参与班级宣传的志愿者有20×＝2（人），

参与整理、打包衣物的志愿者有30×＝3（人），

故所求概率P＝1－＝.

（2）X的所有可能取值为0，1，2，

则P（X＝0）＝＝，

P（X＝1）＝＝，

P（X＝2）＝＝，

所以X的分布列为

所以X的数学期望EX＝0×＋1×＋2×＝.

[B组　能力提升练]

1.（2021·徐州抽测）在某次投篮测试中，有两种投篮方案，方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮.方案乙：始终在B点投篮.每次投篮相互独立，某选手在A点投中的概率为，投中一次得3分，没有投中得0分；在B点投中的概率为，投中一次得2分，没有投中得0分.用随机变量ξ表示该选手一轮投篮测试的累计得分，如果ξ的值不低于3，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，且一轮测试最多投篮3次.

（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后ξ的分布列和数学期望；

（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.

解析：（1）在A点的一次投篮中，投中记作A，未投中记作；在B点的一次投篮中，投中记作B，未投中记作，

则P（A）＝，P（）＝1－＝，P（B）＝，P（）＝1－＝，

ξ的所有可能取值为0，2，3，4，则

P（ξ＝0）＝P（）＝P（）P（）P（）＝××＝，

P（ξ＝2）＝P（B）＋P（B）＝2×××＝，

P（ξ＝3）＝P（A）＝，

P（ξ＝4）＝P（BB）＝P（）P（B）P（B）＝××＝.

所以ξ的分布列为

所以Eξ＝0×＋2×＋3×＋4×＝3.05.

（2）选手选择方案甲，通过测试的概率P1＝P（ξ≥3）＝＋＝0.91，

选手选择方案乙，通过测试的概率

P2＝P（ξ≥3）＝2×××＋×＝＝0.896，

因为P2<P1，所以该选手选择方案甲通过测试的可能性较大.

2.（2021·武汉武昌区调研）某公司开发了一种产品，有一项质量指标为“长度”（记为l，单位：cm），从某批产品中随机抽取100件，测量发现长度全部介于85 cm和155 cm之间（包含85 cm和155 cm），得到如下频数分布表：

已知该批产品的该项质量指标值服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

（1）求P（132.2<l≤144.4）；

（2）公司规定：当l≥115时，产品为正品；当l<115时，产品为次品.公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元.记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望.

参考数据：≈12.2.

若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ<X≤μ＋σ）≈0.682 7，P（μ－2σ<X≤μ＋2σ）≈0.954 5，P（μ－3σ<X≤μ＋3σ）≈0.997 3.

解析：（1）样本平均数＝90×0.02＋100×0.09＋110×0.22＋120×0.33＋130×0.24＋140×0.08＋150×0.02＝120，

样本方差s2＝900×0.02＋400×0.09＋100×0.22＋0×0.33＋100×0.24＋400×0.08＋900×0.02＝150.

所以l～N（120，150），又σ＝≈12.2，

所以P（μ<l≤μ＋σ）＝P（120<l≤132.2）≈×0.682 7≈0.341 4，

P（μ<l≤μ＋2σ）＝P（120<l≤144.4）≈×0.954`5≈0.477`3，

所以P（132.2<l≤144.4）＝P（120<l≤144.4）－P（120<l≤132.2）≈0.135`9.

（2）由频数分布表得，P（l<115）＝0.02＋0.09＋0.22＝0.33，P（l≥115）＝1－0.33＝0.67.

随机变量ξ的所有可能取值为90，－30，且P（ξ＝90）＝0.67，P（ξ＝－30）＝0.33.

则随机变量ξ的分布列为

所以Eξ＝90×0.67－30×0.33＝50.4.

［C组 创新应用练］

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（1）求X的分布列；

（2）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；

（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

解析：（1）由柱状图并以频率代替概率可得，

一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.

可知X的所有可能取值为16，17，18，19，20，21，22，

P（X＝16）＝0.2×0.2＝0.04；

P（X＝17）＝2×0.2×0.4＝0.16；

P（X＝18）＝2×0.2×0.2＋`0.4×0.4＝0.24；

P（X＝19）＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；

P（X＝20）＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；

P（X＝21）＝2×0.2×0.2＝0.08；

P（X＝22）＝0.2×0.2＝0.04.

所以X的分布列为

（2）由（1）知P（X≤18）＝0.44，P（X≤19）＝0.68，故n的最小值为19.

（3）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）.

当n＝19时，

EY＝19×200×0.68＋（19×200＋500）×0.2＋（19×200＋2×500）×0.08＋（19×200＋3×500）×0.04＝4`040.

当n＝20时，

EY＝20×200×0.88＋（20×200＋500）×0.08＋（20×200＋2×500）×0.04＝4`080.

可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.