2020届高考数学一轮复习：课时作业45《直线、平面垂直的判定及其性质》(含解析) 练习

课时作业45　直线、平面垂直的判定及其性质

1．(2019·广东广州模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　B　)
A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n
B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β
D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n
解析：若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n∥β，∴α⊥β，故B正确；若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C错误；若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n异面，故D错误，故选B.
2．(2019·河南安阳一模)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是(　C　)
A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b
B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
C．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β
D．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β
解析：对于A，若a⊥α，α∥β，则α⊥β，
又b⊥β，故a∥b，故A正确；
对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，
∴存在直线m⊂α，使得m∥b，
又b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.故B正确；
对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，
又α∥β，∴b⊂β或b∥β，故C错误；
对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确，故选C.
3．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则(　D　)
A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α
B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α
C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l
D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直
解析：对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误．D正确．
4．(2019·福建泉州一模)在下列四个正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是(　D　)


解析：如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，易知E，F，G，M，N，Q六个点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且选项A、B、C中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项D中的直线BD1与平面EFG不垂直，满足题意，故选D.

5．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为(　A　)

A. B．1
C. D．2
解析：设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，
所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1＝，
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，
则DE＝h.
又2×＝h，所以h＝，DE＝.
在Rt△DB1E中，B1E＝ ＝.
由面积相等得× ＝x，得x＝.
6．(2019·唐山一模)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么在这个空间图形中必有(　B　)

A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH
C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF
解析：根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，
又HE∩HF＝H，
∴AH⊥平面EFH，B正确．
∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，
∴A不正确．
∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，
∴EF⊥平面HAG，
又EF⊂平面AEF，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，∴C不正确．
由条件证不出HG⊥平面AEF，∴D不正确．
7．如图所示，直线PA垂直于⊙O所成的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是(　B　)

A．①② B．①②③
C．① D．②③
解析：对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，
∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，
又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；
对于②，∵点M为线段PB的中点，
∴OM∥PA，
∵PA⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，
∴OM∥平面PAC；
对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．
8．(2019·广州模拟)如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确结论的个数是(　B　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：画出该几何体，如图所示，

①因为E，F分别是PA，PD的中点，
所以EF∥AD，所以EF∥BC，
直线BE与直线CF是共面直线，故①不正确；
②直线BE与直线AF满足异面直线的定义，故②正确；
③由E，F分别是PA，PD的中点，可知EF∥AD，所以EF∥BC，
因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以直线EF∥平面PBC，故③正确；
④因为BE与PA的关系不能确定，
所以不能判定平面BCE⊥平面PAD，故④不正确．
所以正确结论的个数是2.
9．(2019·洛阳模拟)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足　DM⊥PC(或BM⊥PC)　时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)

解析：∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，
连接AC，则BD⊥AC，且PA∩AC＝A，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
10．(2019·兰州实战考试)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF.现有下列条件：①AC⊥β；②AC与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.
其中能成为增加条件的序号是　①③　.
解析：由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．
①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，
又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，
∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，
又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；
②不能得到BD⊥EF，故②错误；
③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知平面ABCD⊥β，
又AB⊥α，AB⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥α.
∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β＝EF，
∴EF⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，
∴BD⊥EF，故③正确；
④中，由①知，若BD⊥EF，则EF⊥平面ABCD，
则EF⊥AC，故④错误，故填①③.
11．(2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
解：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.
因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，
所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.
证明如下：连接AC交BD于O，如图．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．

连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.
MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，
所以MC∥平面PBD.
12．(2018·北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．

(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD.
证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，
所以PE⊥AD.
因为底面ABCD为矩形，
所以BC∥AD，所以PE⊥BC.
(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD，
所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.
所以平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.

因为F，G分别为PB，PC的中点，
所以FG∥BC，FG＝BC.
因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
所以DE∥BC，DE＝BC.
所以DE∥FG，DE＝FG.
所以四边形DEFG为平行四边形．
所以EF∥DG.
又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，
所以EF∥平面PCD.

13．(2019·山西临汾模拟)如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，E为MC的中点，则下列结论不正确的是(　C　)

A．平面BCE⊥平面ABN B．MC⊥AN
C．平面CMN⊥平面AMN D．平面BDE∥平面AMN
解析：如图，分别过A，C作平面ABCD的垂线AP，CQ，使得AP＝CQ＝1，
连接PM，PN，QM，QN，将几何体补成棱长为1的正方体．
∴BC⊥平面ABN，又BC⊂平面BCE，
∴平面BCE⊥平面ABN，故A正确；
连接PB，则PB∥MC，显然，PB⊥AN，

∴MC⊥AN，故B正确；
取MN的中点F，连接AF，CF，AC.
∵△AMN和△CMN都是边长为的等边三角形，
∴AF⊥MN，CF⊥MN，
∴∠AFC为二面角A-MN-C的平面角，
∵AF＝CF＝，AC＝，
∴AF2＋CF2≠AC2，即∠AFC≠，
∴平面CMN与平面AMN不垂直，故C错误；
∵DE∥AN，MN∥BD，
DE∩BD＝D，DE，BD⊂平面BDE，MN∩AN＝N，MN，AN⊂平面AMN，
∴平面BDE∥平面AMN，故D正确．故选C.
14．(2019·泉州模拟)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：

①三棱锥A-D1PC的体积不变；
②A1P∥平面ACD1；
③DP⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是　①②④　.
解析：连接BD交AC于点O，连接DC1交D1C于点O1，
连接OO1，则OO1∥BC1，
所以BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，
所以三棱锥P-AD1C的体积不变．
又因为V三棱锥P-AD1C＝V三棱锥A-D1PC，
所以①正确；
因为平面A1C1B∥平面AD1C，A1P⊂平面A1C1B，
所以A1P∥平面ACD1，②正确；
由于当点P在B点时，DB不垂直于BC1，即DP不垂直BC1，故③不正确；
由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D1，
所以DB1⊥平面AD1C.
又因为DB1⊂平面PDB1，
所以平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．
15．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝.

(1)求证：B1C∥平面A1BM；
(2)求证：AC1⊥平面A1BM；
(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)证明：连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，如图所示．

在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1的中点，
∴OM∥B1C，
又∵OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，
∴B1C∥平面A1BM.
(2)证明：∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM⊂平面ABC，
∴AA1⊥BM，
又∵M为棱AC的中点，AB＝BC，∴BM⊥AC.
∵AA1∩AC＝A，AA1，AC⊂平面ACC1A1，
∴BM⊥平面ACC1A1，∴BM⊥AC1.
∵AC＝2，∴AM＝1.
又∵AA1＝，
∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，
tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝，
∴∠AC1C＝∠A1MA，
即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，
∴A1M⊥AC1.
∵BM∩A1M＝M，BM，A1M⊂平面A1BM，
∴AC1⊥平面A1BM.
(3)当点N为BB1的中点，即＝时，
平面AC1N⊥平面AA1C1C.


证明如下：
设AC1的中点为D，连接DM，DN.
∵D，M分别为AC1，AC的中点，
∴DM∥CC1，且DM＝CC1.
又∵N为BB1的中点，
∴DM∥BN，且DM＝BN，
∴四边形BNDM为平行四边形，
∴BM∥DN，
∵BM⊥平面ACC1A1，
∴DN⊥平面AA1C1C.
又∵DN⊂平面AC1N，
∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.