高考数学一轮复习第四章第三节平面向量的数量积课时作业理含解析北师大版

第三节 平面向量的数量积

授课提示：对应学生用书第319页

[A组　基础保分练]

1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为60°，向量m＝5e1－2e2，则|m|＝（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．2  D．7

解析：|m|＝＝＝＝．

答案：A

2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝4，则（a－b）·b＝（　　）

A．－16  B．－13

C．－12  D．－10

解析：（a－b）·b＝a·b－b2＝|a||b|cos 60°－|b|2＝2×4×－42＝－12．

答案：C

3．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|∶|b|∶|c|＝1∶∶2，则a，c的夹角为（　　）

A．30°  B．60°

C．90°  D．120°

解析：法一：设向量a，c的夹角为θ．∵a＋b＋c＝0，∴a＋c＝－b，∴（a＋c）2＝（－b）2，即|a|2＋|c|2＋2|a|·|c|cos θ＝|b|2．又|a|∶|b|∶|c|＝1∶∶2，∴cos θ＝＝－，∴θ＝120°．

法二：在△ABC中，依题意可设＝a，＝c，＝b，向量a，c的夹角为θ．∵|a|∶|b|∶|c|＝1∶∶2，∴C＝90°，A＝60°，∴θ＝120°．

答案：D

4．（2021·长春模拟）已知在边长为4的正方形ABCD中，＝，＝，则在方向上的投影为（　　）

A．4  B．

C．2  D．

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得C（4，4），E（2，0），F（0，1），所以＝（－2，－4），＝（－4，－3），则在方向上的投影为＝＝4．

答案：A

5．已知x>0，y>0，a＝（x，1），b＝（1，y－1），若a⊥b，则＋的最小值为（　　）

A．4  B．9

C．8  D．10

解析：依题意，得a·b＝x＋y－1＝0⇒x＋y＝1．

法一：＋＝＋＝5＋＋≥9，当且仅当x＝，y＝时取等号．

法二：设f（x）＝＋＝＋（0<x<1），则f′（x）＝，当<x<1时，f′（x）>0，f（x）单调递增；当0<x<时，f′（x）<0，f（x）单调递减，所以f（x）min＝f＝9．

答案：B

6．（2021·衡水模拟）已知向量a＝（1，k），b＝（2，4），则“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由|a＋b|2＝a2＋b2，得a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2，得a·b＝0，得（1，k）·（2，4）＝0，解得k＝－，所以“k＝－”是“|a＋b|2＝a2＋b2”的充要条件．

答案：C

7．（2021·临川九校联考）已知平面向量a＝（2m－1，2），b＝（－2，3m－2），且a⊥b，则|2a－3b|＝_________．

解析：因为a⊥b，所以a·b＝－2（2m－1）＋2（3m－2）＝0，解得m＝1，

所以a＝（1，2），b＝（－2，1），所以2a－3b＝（2，4）－（－6，3）＝（8，1），

所以|2a－3b|＝＝．

答案：

8．（2020·高考天津卷）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为　　　　，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为_________．

解析：∵＝λ，∴AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠B＝120°，

·＝λ·＝λ||·||cos 120°

＝λ×6×3×＝－9λ＝－，

解得λ＝，

以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy，

∵BC＝6，∴C（6，0），

∵|AB|＝3，∠ABC＝60°，∴A的坐标为A，

∵又∵＝， 则D，设M（x，0），则N（x＋1，0）（其中0≤x≤5），

＝，＝，

·＝＋＝x2－4x＋＝（x－2）2＋，

所以，当x＝2时，·取得最小值．

答案：　

9．已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角为．

（1）求|a＋3b|；

（2）若向量a＋2b与ta＋2b垂直，求实数t的值．

解析：（1）∵向量a，b满足|a|＝3，|b|＝1，a与b的夹角为，

∴|a＋3b|＝＝

＝＝3．

（2）∵向量a＋2b与ta＋2b垂直，∴（a＋2b）·（ta＋2b）＝0，

∴ta2＋（2t＋2）a·b＋4b2＝0，

∴9t＋（2t＋2）×3×1×cos＋4＝0，解得t＝－．

10．（2021·合肥模拟）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2）．

（1）设c＝4a＋b，求（b·c）a；

（2）若a＋λb与a垂直，求λ的值；

（3）求向量a在b方向上的投影．

解析：（1）∵a＝（1，2），b＝（2，－2），

∴c＝4a＋b＝（4，8）＋（2，－2）＝（6，6）．

∴b·c＝2×6－2×6＝0，

∴（b·c）a＝0a＝0．

（2）a＋λb＝（1，2）＋λ（2，－2）＝（2λ＋1，2－2λ），

由于a＋λb与a垂直，

∴2λ＋1＋2（2－2λ）＝0，∴λ＝．

（3）设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cos θ．

∴|a|cos θ＝＝＝－＝－．

[B组　能力提升练]

1．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|a－2b|＝2，则|b|＝（　　）

A．4　　　　　　 B．2

C．  D．1

解析：|a－2b|2＝|a|2－4a·b＋4|b|2＝4－4×2×|b|cos 60°＋4|b|2＝4，解得|b|＝1或|b|＝0（舍去）．

答案：D

2．如图所示，已知G是△ABC的重心，H是BG的中点，且AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，则·＝（　　）

A．  B．2

C．  D．

解析：设D是△ABC的边BC的中点，连接GD（图略），因为G是△ABC的重心，所以A，G，D三点共线，＝＝×（＋）＝（＋）．又H是BG的中点，所以＝（＋）＝＝（4＋），则·＝（＋）·（4＋）＝（4||2＋5||·||cos∠BAC＋||2）＝×＝．

答案：A

3．已知||＝6，||＝2，∠AOB＝30°，若t∈R，则|＋t|的最小值为（　　）

A．6  B．2

C．3  D．6－2

解析：依题意得|＋t|2＝|（1－t）＋t|2＝36（1－t）2＋12t2＋36（1－t）t＝12t2－36t＋36＝12＋9≥9，当且仅当t＝时取等号，因此|＋t|的最小值是3．

答案：C

4．（2020·高考全国卷Ⅲ）已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝（　　）

A．－  B．－

C．  D．

解析：∵|a＋b|2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝．

答案：D

5．如图所示，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·＝_________．

解析：连接AP，BP（图略），则＝＋，＝＋＝－，所以·＝（＋）·（－）＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5．

答案：5

6．已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b．若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为_________．

解析：由题意得，|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，||＝||．由⊥，得（a－b）·（a＋b）＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|＝1，由||＝||，得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0．所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，所以||＝||＝，故S△OAB＝××＝1．

答案：1

7．已知向量m＝（sin α－2，－cos α），n＝（－sin α，cos α），其中α∈R．

（1）若m⊥n，求角α；

（2）若|m－n|＝，求cos 2α的值．

解析：（1）若m⊥n，则m·n＝0，

即为－sin α（sin α－2）－cos2 α＝0，

即sin α＝，

可得α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z．

（2）若|m－n|＝，即有（m－n）2＝2，

即（2sin α－2）2＋（2cos α）2＝2，

即为4sin2α＋4－8sin α＋4cos2 α＝2，

即有8－8sin α＝2，

可得sin α＝，

即有cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－．

[C组　创新应用练]

1．已知将函数f（x）＝4cos的图像和直线g（x）＝x－1的所有交点从左到右依次记为A1，A2，…，A5．若P点坐标为（0，），则|＋＋…＋|＝（　　）

A．0  B．2

C．6  D．10

解析：依题意，A1和A5，A2和A4都关于点A3对称，由P（0，），A3（1，0），得＝（1，－），则＋＋…＋＝5＝5（1，－）＝（5，－5），所以|＋＋…＋|＝10．

答案：D

2．已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则·的最大值是（　　）

A．2  B．4

C．4  D．8

解析：如图所示，建立平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，2），D（2，2），圆B的方程为x2＋y2＝2，∴P（cos θ，sin θ），∴＝（－2，－2），＝（cos θ，sin θ－2），

∴·＝－2cos θ－2sin θ＋4＝4－4sin，∴当sin＝－1时，·的最大值是8．

答案：D

3．在平面直角坐标系xOy中，已知向量与关于y轴对称，向量a＝（1，0），则满足不等式2＋a·≤0的点A（x，y）构成的集合用阴影表示为（　　）

解析：∵A（x，y），向量与关于y轴对称，∴B（－x，y），＝（－2x，0）．∵2＋a·≤0，∴x2＋y2－2x

＝（x－1）2＋y2－1≤0，故满足要求的点A（x，y）在以（1，0）为圆心，1为半径的圆上以及圆的内部．

答案：B

4．设θ为两个非零向量e1，e2的夹角，若对任意实数λ，|e1＋λe2|min＝1，则下列说法正确的是（　　）

A．若θ确定，则|e1|唯一确定

B．若θ确定，则|e2|唯一确定

C．若|e1|确定，则θ唯一确定

D．若|e2|确定，则θ唯一确定

解析：|e1＋λe2|min＝1，即|e1－（－λe2）|min＝1，如图所示，|e1－（－λe2）|表示线段EF的长度，其中E为定点，F为动点，当⊥e2时，|e1－（－λe2）|最小，所以|e1|sin θ＝1，故当θ确定时，|e1|是确定的，但当|e1|确定时，因为θ∈[0，π]，故θ可能会有两个不同的解．|e2|总是不确定的．

答案：A