高考数学一轮复习第五章第二节等差数列及其前n项和课时作业理含解析北师大版

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第二节 等差数列及其前n项和

授课提示：对应学生用书第325页
[A组　基础保分练]
1．（2021·惠州模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a3＋a4＝15，a7＝13，则S5＝（　　）
A．28　　 B．25 　　　
C．20　　 D．18
解析：设等差数列{an}的公差为d，由已知得解得所以S5＝5a1＋d＝5×1＋×2＝25．
答案：B
2．在等差数列{an}中，a2＋a4＝2，a5＝3，则{an}的前6项和为（　　）
A．6 B．9
C．10 D．11
解析：设{an}的公差为d，由等差数列的性质知a2＋a4＝2a3＝2，则a3＝1，所以d＝＝1，a4＝a5－d＝2，所以S6＝＝3（a3＋a4）＝3×（1＋2）＝9．
答案：B
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8＝16，a6＝1，则数列{an}的公差为（　　）
A． B．－
C． D．－
解析：设数列{an}的公差为d，∵等差数列{an}的前n项和为Sn，S8＝16，a6＝1，∴解得a1＝，d＝－，故数列{an}的公差为－．
答案：D
4．（2021·莱阳一中月考）已知等差数列{an}中，a7＞0，a3＋a9＜0，则{an}的前n项和Sn的最小值为（　　）
A．S4 B．S5
C．S6 D．S7
解析：∵等差数列{an}中，a3＋a9＜0，∴a3＋a9＝2a6＜0，即a6＜0．又a7＞0，∴{an}的前n项和Sn的最小值为S6．
答案：C
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S7＞S5，则满足SnSn＋1＜0的正整数n的值为（　　）
A．10 B．11
C．12 D．13
解析：由S6＞S7＞S5，得S7＝S6＋a7＜S6，S7＝S5＋a6＋a7＞S5，所以a7＜0，a6＋a7＞0，所以S13＝＝13a7＜0，S12＝＝6（a6＋a7）＞0，所以S12S13＜0，即满足SnSn＋1＜0的正整数n的值为12．
答案：C
6．已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝．若对任意的n∈N＋，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（－8，－7） B．[－8，－7）
C．（－8，－7] D．[－8，－7]
解析：因为{an}是首项为a，公差为1的等差数列，所以an＝n＋a－1．因为bn＝，又对任意的n∈N＋，都有bn≥b8成立，所以1＋≥1＋，即≥对任意的n∈N＋恒成立．因为数列{an}是公差为1的等差数列，所以{an}是单调递增的数列，所以即解得－8＜a＜－7．
答案：A
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a4＝5，则S6＝　　　　．
解析：∵{an}为等差数列，∴S6＝×6＝×6＝15．
答案：15
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝2a3，则＝________．
解析：＝＝＝．
答案：
9．已知等差数列{an}的前三项的和为－9，前三项的积为－15．
（1）求等差数列{an}的通项公式；
（2）若{an}为递增数列，求数列{|an|}的前n项和Sn．
解析：（1）设公差为d，则依题意得a2＝－3，则a1＝－3－d，a3＝－3＋d，
所以（－3－d）（－3）（－3＋d）＝－15，得d2＝4，d＝±2，
所以an＝－2n＋1或an＝2n－7．
（2）由题意得an＝2n－7，所以|an|＝
①n≤3时，Sn＝－（a1＋a2＋…＋an）＝n＝6n－n2；②n≥4时，Sn＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋an＝－2（a1＋a2＋a3）＋（a1＋a2＋…＋an）＝18－6n＋n2．
综上，数列{|an|}的前n项和Sn＝
10．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1．数列{bn}满足b1＝2，bn＋1－2bn＝8an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：数列为等差数列，并求{bn}的通项公式．
解析：（1）当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n－1－1）＝2n－1．
因为a1＝1适合通项公式an＝2n－1，
所以an＝2n－1．
（2）证明：因为bn＋1－2bn＝8an，
所以bn＋1－2bn＝2n＋2，
即－＝2．
又＝1，
所以是首项为1，公差为2的等差数列．
所以＝1＋2（n－1）＝2n－1．
所以bn＝（2n－1）×2n．
[B组　能力提升练]
1．（2021·合肥市高三二检）已知是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝（　　）
A．－ B．－
C． D．
解析：设等差数列的公差为d，由题意可知，＝＋3d＝，解得d＝－，所以＝＋9d＝－，所以a10＝－．
答案：A
2．（2020·高考浙江卷）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，≤1．记b1＝S2，bn＋1＝S2n＋2－S2n，n∈N*，下列等式不可能成立的是（　　）
A．2a4＝a2＋a6 B．2b4＝b2＋b6
C．a＝a2a8 D．b＝b2b8
解析：对于A，因为数列{an}为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4＋4＝2＋6可得，2a4＝a2＋a6，A正确；
对于B，由题意可知，bn＋1＝S2n＋2－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2，b1＝S2＝a1＋a2，
∴b2＝a3＋a4，b4＝a7＋a8，b6＝a11＋a12，b8＝a15＋a16．
∴2b4＝2（a7＋a8），b2＋b6＝a3＋a4＋a11＋a12．
根据等差数列的下标和性质，由3＋11＝7＋7，4＋12＝8＋8可得
b2＋b6＝a3＋a4＋a11＋a12＝2（a7＋a8）＝2b4，B正确；
对于C，a－a2a8＝（a1＋3d）2－（a1＋d）（a1＋7d）＝2d2－2a1d＝2d（d－a1），
当a1＝d时，a＝a2a8，C正确；
对于D，b＝（a7＋a8）2＝（2a1＋13d）2＝4a＋52a1d＋169d2，
b2b8＝（a3＋a4）（a15＋a16）＝（2a1＋5d）（2a1＋29d）＝4a＋68a1d＋145d2，
b－b2b8＝24d2－16a1d＝8d（3d－2a1）．
当d＞0时，a1≤d，∴3d－2a1＝d＋2（d－a1）＞0即b－b2b8＞0；
当d＜0时，a1≥d，∴3d－2a1＝d＋2（d－a1）＜0即b－b2b8＞0，所以b－b2b8＞0，D不正确．
答案：D
3．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＋S3＝4，a3＋S5＝12，则a4＋S7的值是（　　）
A．20 B．36
C．24 D．72
解析：由a2＋S3＝4及a3＋S5＝12得解得所以a4＋S7＝8a1＋24d＝24．
答案：C
4．（2021·洛阳统考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为（　　）
A．6 B．7
C．12 D．13
解析：设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋（n－1）d．∵a6＋a7＝a3＋a10＞0，即2a1＋11d＞0，且a6a7＜0，a1＞0，∴a6＞0，a7＜0．∴d＝a7－a6＜0．又∵a7＝a1＋6d＜0，∴2a1＋12d＜0．当Sn＝＝＞0时，2a1＋（n－1）d＞0．由2a1＋11d＞0，2a1＋12d＜0知n－1最大为11，即n最大为12．
答案：C
5．（2021·山东师大附中模拟）已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项和S10＝________．
解析：由等差数列性质得2a3＝4，2a4＝10．
即a3＝2，a4＝5，公差d＝3，a1＝a3－2d＝2－6＝－4，
所以S10＝－4×10＋×3＝95．
答案：95
6．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10（n∈N＋），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________．
解析：由an＝2n－10（n∈N＋）知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－（a1＋a2＋a3＋a4）＋（a5＋a6＋…＋a15）＝20＋110＝130．
答案：130
7．（2021·嘉兴模拟）在数列{an}，{bn}中，设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝1，an＋1＝an＋2，3b1＋5b2＋…＋（2n＋1）bn＝2n·an＋1，n∈N＋．
（1）求an和Sn；
（2）当n≥k时，bn≥8Sn恒成立，求整数k的最小值．
解析：（1）因为an＋1＝an＋2，所以an＋1－an＝2，
所以{an}是等差数列．
又a1＝1，所以an＝2n－1，
从而Sn＝＝n2．
（2）因为an＝2n－1，所以3b1＋5b2＋7b3＋…＋（2n＋1）bn＝2n·（2n－1）＋1，①
当n≥2时，3b1＋5b2＋7b3＋…＋（2n－1）bn－1＝2n－1·（2n－3）＋1．②
①－②可得（2n＋1）bn＝2n－1·（2n＋1）（n≥2），
即bn＝2n－1．
而b1＝1也满足上式，故bn＝2n－1．
令bn≥8Sn，则2n－1≥8n2，即2n－4≥n2．
又210－4＜102，211－4＞112，结合指数函数增长的性质，可知整数k的最小值是11．
[C组　创新应用练]
1．（数学文化题）中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传．题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（　　）
A．174斤 B．184斤
C．191斤 D．201斤
解析：设大儿子分到的绵是x斤，依题意知这8个儿子分到的绵构成以x为首项，17为公差的等差数列，记其前n项和为Sn，则有S8＝8x＋×17＝996，即8x＋476＝996，解得x＝65，故第8个儿子分到的绵a8＝65＋7×17＝65＋119＝184．
答案：B
2．（2021·湖南师大附中模拟）已知函数y＝f（x）对任意自变量x都有f（x）＝f（2－x），且函数f（x）在[1，＋∞）上单调．若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f（a6）＝f（a2 012），则{an}的前2 017项之和为（　　）
A．0 B．2 017
C．2 016 D．4 034
解析：因为函数y＝f（x）对任意自变量x都有f（x）＝f（2－x），所以函数的对称轴为x＝1，因为f（a6）＝f（a2 012），所以a6＋a2 012＝2，由等差数列前n项和公式得T2 017＝＝＝2 017．
答案：B
3．（2021·绵阳模拟）已知圆的方程为x2＋y2－6x＝0，过点（1，2）的该圆的三条弦的长a1，a2，a3构成等差数列，则数列a1，a2，a3的公差的最大值是________．

解析：如图，由x2＋y2－6x＝0，得（x－3）2＋y2＝9，∴圆心坐标C（3，0），半径r＝3．由圆的性质可知，过点P（1，2）的该圆的弦的最大值为圆的直径，等于6，最小值为过P且垂直于CP的弦的弦长．∵|CP|＝＝2，∴|AB|＝2＝2，即a1＝2，a3＝6．
∴公差d的最大值为＝＝2．
答案：2