北师大版必修21.3两条直线的位置关系同步测试题

2019-2020学年北师大版必修二   两条直线的位置关系 课时作业

1．(2019·石家庄模拟)已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)

A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0

C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0

解析：选A.由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点(2，3)，所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.

2．已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为l2，直线x＋ny＋1＝0为l3.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)

A．－10 B．－2

C．0 D．8

解析：选A.因为l1∥l2，所以kAB＝＝－2.

解得m＝－8.

又因为l2⊥l3，所以－×(－2)＝－1，

解得n＝－2，所以m＋n＝－10.

3．已知点A(5，－1)，B(m，m)，C(2，3)，若△ABC为直角三角形且AC边最长，则整数m的值为(　　)

A．4 B．3

C．2 D．1

解析：选D.由题意得∠B＝90°，

即AB⊥BC，kAB·kBC＝－1，所以·＝－1.

解得m＝1或m＝，故整数m的值为1，故选D.

4．对于任给的实数m，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都通过一定点，则该定点的坐标为(　　)

A．(9，－4) B．(－9，－4)

C．(9，4) D．(－9，4)

解析：选A.(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5即为m(x＋2y－1)＋(－x－y＋5)＝0，故此直线过直线x＋2y－1＝0和－x－y＋5＝0的交点．由得定点的坐标为(9，－4)．故选A.

5．已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax＋y＋1＝0的距离相等，则a的值为________．

解析：由点到直线的距离公式可得＝，解得a＝或a＝－4.

答案：或－4

6．如果直线l1：ax＋(1－b)y＋5＝0和直线l2：(1＋a)x－y－b＝0都平行于直线l3：x－2y＋3＝0，则l1，l2之间的距离为________．

解析：因为l1∥l3，所以－2a－(1－b)＝0，同理－2(1＋a)＋1＝0，解得a＝－，b＝0，因此l1：x－2y－10＝0，l2：x－2y＝0，d＝2.

答案：2

7．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

解：(1)因为l1⊥l2，

所以a(a－1)－b＝0.

又因为直线l1过点(－3，－1)，

所以－3a＋b＋4＝0.

故a＝2，b＝2.

(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，

所以直线l1的斜率存在．

所以＝1－a.①

又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，

所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②

联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

8．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P.

(1)点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；

(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．

解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为

(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，

所以＝3，解得λ＝或λ＝2.

所以直线l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0.

(2)由

解得交点P(2，1)，如图，过P作任一直线l，设d为点A到直线l的距离，

则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)．

所以dmax＝|PA|＝.

[综合题组练]

1．(2019·山东省实验中模拟)设a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，则直线sin A·x＋ay－c＝0与bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是(　　)

A．平行 B．重合

C．垂直 D．相交但不垂直

解析：选C.由题意可得直线sin A·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，直线bx－sin B·y＋sin C＝0的斜率k2＝，k1k2＝－·＝－1，所以直线sin A·x＋ay－c＝0与直线bx－sin B·y＋sin C＝0垂直，故选C.

2．已知点A(1，3)，B(5，－2)，在x轴上有一点P，若|AP|－|BP|最大，则P点坐标为(　　)

A．(3.4，0) B．(13，0)

C．(5，0) D．(－13，0)

解析：选B.作出A点关于x轴的对称点A′(1，－3)，则A′B所在直线方程为x－4y－13＝0.令y＝0得x＝13，所以点P的坐标为(13，0)．

3．已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．

解析：由两直线互相平行可得a(b－3)＝2b，即2b＋3a＝ab，＋＝1.又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25.

答案：25

4．(应用型)(2019·安徽四校联考(二))已知入射光线经过点M(－3，4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为________．

解析：设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2，6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.

答案：6x－y－6＝0

5．已知直线l：x－y＋3＝0.

(1)求点A(2，1)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点A′；

(2)求直线l1：x－2y－6＝0关于直线l的对称直线l2的方程．

解：(1)设点A′(x′，y′)，

由题知解得

所以A′(－2，5)．

(2)在直线l1上取一点，如M(6，0)，则M(6，0)关于直线l的对称点M′必在l2上．设对称点为M′(a，b)，则解得M′(－3，9)．设l1与l的交点为N，则由得N(－12，－9)．又因为l2经过点N(－12，－9)，所以直线l2方程为

y－9＝(x＋3)，即2x－y＋15＝0.

6．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．

解：依题意知：kAC＝－2，A(5，1)，

所以lAC的方程为2x＋y－11＝0，

联立得C(4，3)．

设B(x0，y0)，则AB的中点M，

代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，

联立得B(－1，－3)，

所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.