高中1.1利用函数性质判定方程解的存在复习练习题

利用函数性质判断方程解的存在

[A组　学业达标]

1．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是(　　)

A．1，－4  B．4，－1

C．1,3  D．不存在

解析：函数f(x)＝x2－3x－4的零点就是方程x2－3x－4＝0的两根4与－1.

答案：B

2．设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0所在的区间是(　　)

A．(0,1)     B．(1,2)      C．(2,3)  D．(3,4)

解析：设f(x)＝ln x＋x－4，则f(1)＝－3＜0，

f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，

f(4)＝ln 4＞0，则x0∈(2,3)．

答案：C

3．下列函数：①y＝lg x；②y＝2x；③y＝x2；④y＝|x|－1，其中有2个零点的函数是(　　)

A．①②     B．③④       C．②③  D．④

解析：分别作出这四个函数的图像(图略)，其中④y＝|x|－1的图像与x轴有两个交点，即有2个零点，选D.

答案：D

4．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是(　　)

A．若f(a)·f(b)＞0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

B．若f(a)·f(b)＜0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

C．若f(a)·f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

D．若f(a)·f(b)＜0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0

解析：根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)＜0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故B、D错．若f(a)·f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)＞0，但f(x)＝x2－1在(－2,2)内有两个零点，故A错，C正确．

答案：C

5．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于(　　)

A．0      B．1        C．－1    D．不能确定

解析：奇函数的图像关于原点对称，若有三个零点，则三个零点之和为0.

答案：A

6．已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下部分对应值表：

可以看出函数至少有________个零点．

解析：由表可知f(2)＞0，f(3)＜0，f(4)＞0，f(5)＜0，

又函数f(x)的图像是连续不断的，故在(2,3)、(3,4)和(4,5)之间各至少存在一个零点．

答案：3

7．若关于x的方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图像可以是________．

解析：在对应①②③④四个函数图像中，作直线y＝2，会发现①中f(x)＝2时，x＝0∉(－∞，0)；②中f(x)＝2无解；③中f(x)＝2时得到的解x＞0，不合题意；④中f(x)＝2得到的解x＜0，合题意，综上可知填④.

答案：④

8．已知方程x2＋(a－1)x＋(a－2)＝0的一个根大于1，另一个根小于1，则a的取值范围是________．

解析：由已知，函数f(x)＝x2＋(a－1)x＋(a－2)有两个零点，一个大于1，另一个小于1.结合函数图像(图略)得f(1)＜0，即1＋(a－1)＋(a－2)＜0，解得a＜1.

答案：(－∞，1)

9．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的值．

解析：若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知该函数只有一个零点．

若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若f(x)只有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根．

所以判别式Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.

综上所述，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点．

10．已知二次函数f(x)的二次项系数为a(a＜0)，且f(x)＝－2x的实根为1和3，若函数y＝f(x)＋6a只有一个零点，求f(x)的解析式．

解析：∵f(x)＝－2x的实根为1和3，

∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)．

∴f(x)＝ax2－(2＋4a)x＋3a.

又函数y＝f(x)＋6a只有一个零点，

∴方程f(x)＋6a＝0有两个相等实根．

∴ax2－(2＋4a)x＋9a＝0有两个相等实根．

∴Δ＝(2＋4a)2－36a2＝0，即5a2－4a－1＝0.

∴a＝1或a＝－.又a＜0，∴a＝－.

∴f(x)＝－x2－x－.

[B组　能力提升]

11．若函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有(　　)

A．一个    B．两个     C．至少两个  D．无法判断

解析：依据给出的函数性质，易知f(－2)＝0，画出函数的大致图像如图所示：由图可知f(x)有两个零点．

答案：B

12．若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于(　　)

A．－2  B．1

C．－2或1  D．0

解析：由题意知，x≠0，则原方程即为lg(x＋2)＝，在同一平面直角坐标系中作出函数y＝lg(x＋2)与y＝的图像，如图所示，由图像可知，原方程有两个根，一个在区间(－2，－1)上，一个在区间(1,2)上，所以k＝－2或k＝1.故选C.

答案：C

13．若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．

解析：由题意可知f(2)＝2a＋b＝0，即b＝－2a.

∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)＝0，

解得x＝0或x＝－.

答案：0或－

14．设函数f(x)＝则函数y＝f(x)－的零点个数是________．

解析：令y＝f(x)－＝0，

得或

解得或∴x＝或x＝1－.

答案：2

15．若函数f(x)＝|x2－2x|－a有4个零点，求实数a的取值范围．

解析：函数f(x)＝|x2－2x|－a的零点就是方程|x2－2x|－a＝0的解．

由|x2－2x|－a＝0，得|x2－2x|＝a.

在平面直角坐标系中，画出函数y＝|x2－2x|的图像，再作出直线y＝a，使它们有4个交点，如图：

则实数a的取值范围是(0,1)．

16．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．

(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；

(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．

解析：(1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，

∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根．则解得k＝－2.

(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根，

∴

则

设y＝α2＋β2，即y＝－k2－10k－6，

且y在区间上是减函数．

∴α2＋β2在区间上的最大值是18，

最小值是，

即α2＋β2的取值范围为