高中数学北师大版必修11.1利用函数性质判定方程解的存在教学设计及反思

第四章函数应用

§1函数与方程

§1.1利用函数性质判定方程解的存在

教学目标：1.理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程解的关系，并且能够利用函数性质判定方程解的存在性.

2.通过利用函数性质判定方程解的存在，提高数学知识的综合运用的能力.

3.通过学习体会事物间相互转化的辩证思想.

教学重难点：

重点：函数零点与相应方程解的关系；利用函数性质判定方程解的存在

难点：利用函数性质判定方程解的存在

教学方法：合作探究

课型：新授

教学过程：

一.  问题引入

1.我们学过了一元一次方程、一元二次方程的解法，那么方程 x+1=0是否存在实数解？

2.方程x2-x-6=0是否存在实数解？

3.方程3x-x2=0是否存在实数解？

二.  探究新知1

判断方程x2-x-6=0解的存在

解：考察函数f(x)=x2-x-6,其图像为抛物线

容易算出：f(0)<0, f(4)>0, f(-4)>0并且函数y=f(x)图像为连续曲线，                                                

1.函数零点的定义：

函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点.

思考：①零点是点吗？

②所有函数都有零点吗？

③函数y=f(x) 零点与对应方程f(x)=0实数解的关系：

方程f(x)=0有实数解函数y=f(x) 有零点

函数y=f(x) 存在零点就是对应方程f(x)=0存在实数解，那么我们可以通过判定函数y=f(x) 是否存在零点来判定对应方程f(x)=0是否存在实数解。

探究新知2

函数y=f(x) 满足什么条件存在零点？

⑴     如图1，y=f(x)在闭区间[a,b]，f(a)·f(b)<0，函数y=f(x)有零点吗？

⑵     如图2，此时函数y=f(x) 有零点吗？

⑶函数y=f(x)在 [a,b]上连续，能否改为在(a,b)连续

归纳总结

2.函数零点存在性的判定方法

若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点处的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数解。

注：条件① y=f(x)在 [a,b]上连续

② f(a)·f(b)<0

结论： y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点

例2  已知函数f(x)=3x-x2.问:方程f(x)=0在区间[-1,0]内有没有实数解?为什么?

解：∵f(-1)=3-1-(-1)2=＜0

f(0)=30-(0)2=1＞0

且函数f(x)=3x-x2的图像是连续曲线

∴f(x)在区间[-1,0]内有零点

即f(x)=0在区间[-1,0]内有实数解.

跟踪练习

判定方程4x3+x-15=0在[1,2]内是否存在实数解？并说明理由.

解：构造函数f(x)=4x3+x-15

∵f(1)=-10<0

f(2)=19>0

且函数f(x)=4x3+x-15图像是连续曲线

∴函数f(x)在区间[1,2]内有零点.

即方程4x3+x-15=0在区间[1,2]内有实数解.

例3  判定方程(x-2)(x-5)=1有两个相异的实数解,且一个大于5,一个小于2.

       解:方程(x-2)(x-5)=1可写成(x-2)(x-5)-1=0

对应函数为f(x)=(x-2)(x-5)-1∵函数f(x)图像是连续曲线

三.巩固提高

1.观察下面的四个函数图像,指出在区间
(-∞,0)内,方程fi(x)=0(i=1,2,3,4)哪个有解?说明理由.

2.指出下列方程存在实数解,并给出一个实数解的存在区间:

四.课时小结

1.本节课主要学习了哪些知识？

 2.本节课涉及了哪些主要数学思想？

五.作业

习题4-1A组第1题,B组第1题

六.板书设计

§1.1利用函数性质判定方程解的存在

1.函数零点的定义引例练习

例2     小结

2.函数零点存在性的判定方法例3     作业

课后反思